检测1平面向量单元检测（基础卷）-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测1平面向量单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 4．（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 5．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 7．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 8．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2023·山东青岛·一模）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 10．（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为，为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 13．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 14．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 16. (15分) （2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 17. (15分) （24-25高三上·天津南开·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)求； (3)求的值. 18. (17分) （23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：是等腰三角形. (2)若，求的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D C D C A AD BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 2．D 【分析】根据数量积的运算律，整理等式，可得答案. 【详解】由，得． 因为为单位向量，所以化简可得：，解得， 则与夹角的余弦值为． 故选：D. 3．C 【分析】利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 4．D 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 5．C 【分析】利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长公式即可得到结果. 【详解】设的夹角为，由题意得，， 所以， 故选：C 6．D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可． 【详解】，因为，则，解得． 故选：D． 7．C 【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可. 【详解】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. 8．A 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 9．AD 【分析】根据垂直和平行满足的坐标关系即可求解AB，根据模长公式即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时 ，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确. 故选：AD 10．BCD 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】 对于A，是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错误； 对于B，由，得，所以 ， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，，C正确； 对于D，由，得 ， 所以 ，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确. 故选：BCD. 11．BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 12． 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 13． 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 14． 【分析】设，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解. 【详解】解析：几何意义+等和线 由题记， 则由， 得，且． 作图，如右图所示： 为正三角形，， 由，得C在直线上， 又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上， ∴． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 16．(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据余弦定理求解,即可由二倍角公式以及和角公式求解. 【详解】（1）由正弦定理可得,故 （2）由余弦定理可得， 由于，故， （3）由余弦定理可得， 故 18．(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【详解】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知化简，结合两角和的余弦公式即可求证； （2）由（1）知，，利用余弦定理和二倍角公式得，从而，由三角函数性质可求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以，是等腰三角形. （2）由（1）知，所以，. . 因为，所以. . ，其中， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测1平面向量单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 4．（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 5．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 7．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 8．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2023·山东青岛·一模）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 10．（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为，为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 13．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 14．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 16. (15分) （2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 17. (15分) （24-25高三上·天津南开·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)求； (3)求的值. 18. (17分) （23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：是等腰三角形. (2)若，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$