训练12 数列的应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

训练十二 数列的应用 山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学 基确练/现固应用 论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿 1.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日 色发展之路的理论之基.某市为了改善当地 月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁 生态环境，2014年投入资金160万元，以后每 为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部 年投入资金比上一年增加20万元，从2021 为一遂，遂千百五二十岁，…生数皆终，万 年开始每年投入资金比上一年增加10%，到 物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住 2024年底该市生态环境建设投资总额大约为 有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依 (其中1.13=1.331,1.1≈1.464,1.1≈ 次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为 L.611) ( 一遂，则最年长者的年龄为 A.2559万元 B.2969万元 A.71 B.72 C.3005万元 D.3040万元 C.89 D.90 5.为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的 2.某家庭决定要进行一项投资活动，预计每 号召，某市中小学按照教学计划，开展在线课 周收益1%.假设起始投入1万元，按照复 程教学和答疑.某高一学生家长于3月5日 利（复利是指在每经过一个计息期后，都将 在某购物平台采用分期付款的形式购买了一 所得利息加入本金，以计算下期的利息)计 台价值m元的平板电脑给学生进行网上学习 算，经过100周，该家庭在此项投资活动的 使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月 资产总额大约为 ( 5日即4月5日开始偿还，每月5日还款，且 A.1.3万元 B.1.7万元 每个月还款钱数都相等.若购物平台的月利 C.2.3万元 D.2.7万元 率为，则该家长每月的偿还金额是( 3.某地区重视环境保护，绿色植被种植面积 A登元 B.m(1+p)2 呈上升趋势，经调查，从2006年到2015年 (1+p)元 这10年间每两年上升2%，2014年和 C.m1+p) 12 元 D.mp(1+) 2015年种植绿色植被815万平方米.当地 (1+p)-7元 政府决定今后四年内仍按这个比例发展下 6.某厂2009年的产值为a万元，预计产值每 去，那么从2016年到2019年种植绿色植 年以n%递增，则该厂到2023年末的产值 被面积大约为（四舍五入） () (单位：万元)是 A.848万平方米 B.1679万平方米 7.屠老师从2015年9月10日起，每年这一 C.1173万平方米D.12494万平方米 天到银行存款一年定期1万元，且每年到 4.2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯 期的存款将本金和利息再存入新一年的一 坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们 年定期，若一年定期存款利率2.50%保持 提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出： 不变，到2023年9月10日将所有的存款 “我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿 和利息全部取出，他可取回的钱数约为 水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金 元.（保留整数.1.025≈1.2184） 23 高中数学·选择性必修第三册(RB) 8.某公司一下属企业从事某种高科技产品的：9.新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅 生产，该企业第一年年初有资金2000万 能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还 元，将其投人生产，到当年年底资金增长了 能够减轻环境的污染，为了加强环保建设， 50%.预计以后每年年增长率与第一年的 提高社会效益和经济效益，某市计划用若 相同，公司要求企业从第一年开始，每年年 干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换 底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投 一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力 入下一年生产，设第n年年底企业上缴资 型和混合动力型车，今年初投入了电力型 金后的剩余资金为a.万元. 公交车128辆，混合动力型公交车400辆： (1)用d表示a1与a2,并写出a+,与a,的 计划以后电力型车每年的投人量比上一年 关系式： 增加50%，混合动力型车每年比上一年多 (2)求证：当d≠1000时，数列{an一2d}为 投入a辆. 等比数列，并说明d<1000的现实意义： (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数 (3)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的 S(n): 剩余资金为4000万元，试确定企业每年上 (2)若该市计划7年内完成全部更换，求4 缴资金d的值.（用m表示） 的最小值 24 清，则该大学毕业生按现计划的所有还款 能力练/赶移运用 数额比按原约定所有还款数额少() 10.某单位制作了一个热气球用于广告宣传。 (注：“等额本金还款法”是将本金平均分 已知热气球在第一分钟内能上升30米， 配到每一期进行偿还，每一期所还款金额 以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 由两部分组成，一部分为每期本金，即贷 号，则该气球上升到70米至少要经过 款本金除以还款期数，另一部分是利息， 即贷款本金与已还本金总额的差乘以利 率：1年按12个月计算) A.3分钟 B.4分钟 A.18300元 B.22450元 C.5分钟 D.6分钟 C.27450元 D.28300元 11.随着新一轮科技革命和产业变革持续推 13.市民小张计划贷款60万元用于购买一套 进，以数字化、网络化、智能化以及融合化 商品住房，银行给小张提供了两种贷款方 为主要特征的新型基础设施建设越来越 式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋 受到关注.5G基站建设就是“新基建”的 众多工程之一，截至2020年底，我国已累 势，且从第二个还款月开始，每月还款额 计开通5G基站超70万个，未来将进一 与上月还款额的差均相同：②等额本息： 步完善基础网络体系，稳步推进5G网络 每个月的还款额均相同.银行规定，在贷 建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 款到账日的次月当天开始首次还款（若 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万 2019年7月7日贷款到账，则2019年8 个5G基站，以后每个月比上一个月多建 月7日首次还款). 设1万个，预计我国累计开通500万个 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率 5G基站时要到 ( 为0.004. A.2022年12月 B.2023年2月 (1)若小张采取等额本金的还款方式，现 C.2023年4月 D.2023年6月 已得知第一个还款月应还4900元，最后 12.某大学毕业生为自主创业于2019年8月 一个还款月应还2510元，试计算小张该 初向银行贷款360000元，与银行约定按 笔贷款的总利息； “等额本金还款法”分10年进行还款，从 (2)若小张采取等额本息的还款方式，银 2019年9月初开始，每个月月初还一次 行规定，每月还款额不得超过家庭平均月 款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况 收入的一半，已知小张家庭平均月收入为 良好准备向银行申请提前还款，计划于上 1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批 2024年8月初将剩余贷款全部一次还 (不考虑其他因素)： 25 ●高中数学·选择性必修第三册(RJB) (3)对比两种还款方式，从经济利益的角 (1)记2013年为第一年，每年发放的燃油 度来考虑，小张应选择哪种还款方式 型汽车牌照数量构成数列{a},每年发放 (参考数据：1.004240≈2.61.) 电动型汽车牌照数为构成数列{b},完成 下列表格，并写出这两个数列的通项 公式； a,=10 a=9.5 a= b=2 b.=3 (2)从2013年算起，累计各年发放的牌照 数，哪一年开始超过200万张？ 创新练/素能绮优 14.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中 燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车 2万张，为了节能减排和控制总量，从 2013年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上 一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发 放的牌照超过15万张，以后每一年发放 的电动车的牌照的数量维持在这一年的 水平不变. 2610.C由等差数列的前n项和公式得S,=5a十a) 2 18,解《点a6)在南我y学上. =5aa, 6-32=2-,a,=b,=2-t=2. 2 因为a1是a1与S的等比中项，所以a=a,S,即a= 设等差数列{a.)的公差为d, 5a1a1 图劳0=多所以>0. 若选择条件①：5.=20，则5.=4×2+43d=20,解 得d=2, 所以a=5a1=a1+2d,即d=2a1. ∴.a,=2+2(n-1)=2n 3 1 因为a,=2=a,十d=3a,所以a=2,d=1, 若选择条件②：S,=2a1,则S,=a1十a2十a3=2a3, 所以a-专+m-=含20号， a1十ag=a, .2+2+d=2+2d,解得d=2, 2 ∴.a.=2十2(n一1)=2n: 所以6.=2n1)a.=(2m-1)(2n+= 2n-1 若选择条件③：3a一a=6,则3(a1十2d)-(a1+4d) 2n+1' =2-2=8,∴2a1十2d=8,即2×2+2d=8,∴d=2, ∴.an=2+2(n-1)=2m. 所以6.》的前n项和T,=6,+6十…+b,=1-3 (2)由(1可知S.-na+a2_n2+2m=n1十n. 2 2 ++中1 1 2n 111 所以{h,}的前2022项和为T:=2X2022千 2×2022 T.-(（-)+(侵-)+…+（月-）-1 8器故选C -1 + 11.C当n-1时，a1-2, 因为a1+2a2+3a,+…+na.=2", 复设存在正垫数，俊得T,>瓷且6>日， 所以n≥2时，a1+2a十3a十…+(n-1)a-1=2-1. 1、15 两式相戏得到=2，收么=2，=1时不适合 1-中>6' k>15,此不等式无解， 即 2->g k<8. 1,n=1, 此式，所以6，=m+1)2 4。 (n(n+1万n≥2. 不存在正整数k,使得T>品且么>号 14.解(1)a1=a.十a+(n∈N), 当n=1时，S,=6,=1: 且a1=1,a2=-2, 当≥2时，5=1+（合-号+-+…+ .a1=1,a=-2,a=-3,a,=-1,a=2,a,=3,S,=0. )=是一<是所以≥号：所以：的策小位 a.+i=a,十a.+a, (2)证明：由题意， a+a=a+1十ata 是故选C …a+1十a+a=a.十a+:十a+1十a+2y 即a,十ats=0,a+3=一a, 12.C{a}是方公差为4的等方差数列， …a+w=-a+a=a,n∈N' a+1-a=4,a=18, 训练十二数列的应用 .a.=a6+(n-5)·4=18+4n-20=4n-2, ∴.a,=√4n-2, 1.C设这些老人的年龄形成数列{4，}，设最年长者的年 2 2 龄为a1,则由题可知数列{a,}是公差为一1的等差数 小a,+a,m-2+√4m+7 列，且S。=1520,则S.=19a,+19X18×(-1)= 2 -2-景-7-. 1520,解得a1=89. 2.D因为该家庭决定起始投入1万元，预计每周收益 “5=6-2)+2(10-6)+…+2(V98 1%,所以100周后该家庭在此项投资活动的资产总额 -)=号（√8-2）=2(1E-2)=3E,故 为1×(1+1%)≈2.7（万元）. 3.B2016年和2017年种植绿色植被面积为815×(1十 选C. 2%),2018年和2019年种植绿色植被面积为815×(1 48 +2%)×(1+2%).2016年到2019年共种植绿色植被 面积为815×(1+2%)+815×(1+2%)×(1+2%)≈ 依题意，数列a,)是首项为128，公比为1+50%=号的 1679(万平方米). 等比数列，{b.}是首项为400，公差为a的等差数列， 4.B由题意可知，从2014年到2020年该市每年投入的 于是得{a,}的前n项和 资金成等差数列，且首项为160，公差为20（单往： 12s[1-(侵)】 万元)， 则2020年该市投入的资金为160十20×6=280（万元）， 12 3 256[()-1]， 由题意知，从2021年开始，每年授入的资金成等比数 {6,}的前n项和T.=400m+n(m一D。 2 列，且首项为280×1.1=308（万元），公比为1.1， 所以经过n年，该市被更换的公交车总数为 因此，到2024年底该市生态环境建设投资总额约为160 ×7+7X6×20+308X9-1.12≈2969（万元）. sm)=S.+T.=256[（2）广-1]+40m+n2Da. 2 2 1-1.1 (2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10000， 5.B设每月的偻还金额都是a元，则m(1+十p)=a十 a(1十)+a(1+p)2+…+a(1+p)1, 于是得256[（受）-1]+400x7+6。 2 ≥10000， 即m(1+p)”=a1-1+)] 1-(1+)1 即21a>8082,解得。≥146品 解得a=mp1+p)” 而a∈N”,于是得a的最小值为147， (1+)-1 所以a的最小值147. 6.解析，2009年的产值为α万元，预计产值每年以n%递 10.B由题意可知，热气球在每分钟上升的高度构成等比 增，则每一年的产值构成以a为首项，以(1十n%)为公比的 数列{a.}则a.表示热气球在第n分钟上升的高度（单 等比数列，a如=am·(1十n%)“=a·(1十n%)“. 答案a·(1+n%)“ 位：米)，且a=30,公比g=号 经过n分钟，热气球上升的总高度 7,解析由题意可知，他可取回的钱数约为(1十0.025)十 (1+0.025)2+(1+0.025)3+(1+0.025)°+…+(1+ 30×1-(号门 0.025y=1.0251-1,0252≈1.025×0.2184 S-81-92 1-q 2 1-1.025 0.025 1- 8.9544(万元)，即89544元. =01-(号)门 答案89544 8.解(1)由题意可知，a1=2000(1十50%)-d=3000 周为S=90[1-(号)门]≈63.3<70， d,a=a,1+500-d=450-号d,a1=a.1+ 8=90[1-(号)门≈72.2>70. 50%)-d=2a.-d 所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米 11.B每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公 (2)证明：因为8-24_20-1-d-2d 3 2a--20 差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站 a.-1-2a -1-2d= a.-1-2d 需要m个月，则70+5m+n(01)×1=500,化简整理 2 =是，所以当d≠10时，数到a,一2d为等比数到， 得，n十9n-860=0,解得n≈25.17或一34.17（含 当a1>2000时，才能保证每年投入生产高于2000万 去).所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25 元，即3000-d>2000→d<1000 个月，也就是到2023年2月. (3)由(2)可知：数列{a。一2d}为等比数列，该数列的首 12.C截止2024年8月，两种还款方式所还利息也相 项为a1-2d=3000-3d, 同，且两种还款方式最终所还本金相同， ,∴，按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额 周此a,-2d=(3000-3d)·(2) →a.=(3000 少的部分为：按原计划还款时，自2024年9月起至原 计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息. 3d…(）+2d :每月应还本金为360000÷120=3000， ∴.2024年8月还完后本金还剩360000-3000×60 由题意可知，a.=4000→(3000-3d)·( +2d =180000, =4000→d=1000(3°-2+1) .2024年9月应还利息为180000×0.5%： 3-2 2024年10月应还利息为(180000一3000)×0.5%； 9.解(1)设a,b,分别为第n年投入的电力型公交车，混 2024年11月应还利息为(180000一3000×2)× 合动力型公交车的数量， 0.5%:… 49 最后一次应还利息为(180000-3000×59)×0.5%： .后60个月的利息合计为 4 [180000×60-3000×(1+2+3+…+59)]×0.5% =(10800000一3000×1770)×0.5%=27450. 即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定 （-+）+15+65×a一，5≤m≤20，aeN, 所有还款数颜少27450元. 105+124.25+6.75×(m-20),n≥21. 13.解(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还 当n=4时，M,=a1+a2+a,十a,+b,+b+b,十b,= 款额构成一个等差数列，记为{a.},S表示数列{a,}的 53.25, 前n项和，则a1=4900,aw=2510, 当5≤n≤20时，M=-子+17m-号 则Sm-240a+a2=120×（4900+2510) 2 由M,≥200，得n2-68n+843≤0， =889200, 得34-√313≤n≤20.又34-√/313≈16.3且n∈ 故小张该笔货款的总利息为 N,,所以17≤n≤20， 889200-600000=289200元. 所以2029年累计各年发放的牌照数开始超过200 (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方 万张。 式，每月还款额为一等比数列， 训练十三数学归纳法 则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+ 0.004)里=600000×(1+0.004)40， 1,C因为边数最少的凸n边形为三角形，所以”。=3. /1-1.004240 2.B当n=1时，n十1=2，故左边所得的项为1十a十a. 所以x（1-1.004 ）=600000×1.00440, 3.A因为当n=k(∈N”)时命题成立，则可以推出当 即x=600000X1.004×0.004 =k十1时该命题也成立，所以假设当n=4时命题成 1.0040-1 立，那么n=5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n= ≈600000×2.61×0.004≈3891. 4时命题不成立： 2.61-1 因为3891<1000×7-500， 4D当=时，不等式左瑞为1十号十行十}十…十 所以小张该笔货款能够获批， 当=十1时，不学式左格为1十合十号十…叶 (3)小张采取等额本息货款方式的总利息为 3891×240-600000=933840-600000=333840, 因为333840>289200， 共(2+1-1)-2+1=2项. 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金 5.D “a=1,a=号，5=1+号+a=6-aa 3 还款方式. 14.解(1)由已知，由已知数列{a.}是等差数列，数列{b) 子同理可得4，-号现察1，号子号…，猪息4 是等比数列，因此列举前四项可填表如下： (我a=2) a,=10 a2=9.5 a= 9 a=8.5 6,C根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n =k,左边=12十22+…十(k-1)2+k2+(k-1)2+…+ b1=2 b=3 b=4.5 b,=6.75 22+1: n=k十1时，左边=1°+2十+(k一1)2十k°+(k十1) 由题意，当1≤m≤20时，a.=10+(n-1)×(-0.5)= 十2十（便一1）2十…十2+1，比较两式，从而等式左边应 10.5-0.5n;当n≥21时，an=0. 添加的式子是(k+1)十k, 110.5-0.5n,1≤n≤20，且n∈N°， 因此a.= 7.解析在2*1=2×2=2+2>+2≥2+2k十1中 0,n≥21，且n∈N”, 用了k≥2k十1，这是一个不确定的结论.如k=2时，k 而根据题意a,十b=15.25≥15， <2k+1. 因此数列{化》的通项公式为 答案(2) 6-2x(侵)”1G<,且eN 8.证明①当n=1时，左边=1-22=-3，右边=一3， 等式成立： (6.75,n≥5，且n∈N'. ②假设n=k(k≥1，k∈N)时，等式成立， (2)由(1)可知记S。为数列{an)的前n项和，T.为数列 即12-2+3一4十+(2k-1)一(2k)2=-(2k十1). {b,}的前n项和，设累计各年发放的牌照数为M,则 当n=k+1时，1-2+32-42+…+(2k-1)°-(2k) M=S,十T. +(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)°-(2k+2)2 50