训练11 数列求和及综合应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

14,解(1)设第n年的销售量为a。万柄，则该汽车的年 销售量构成首项为10，公差为10的等差数列， 5.A由巴知可得S+S十S,+S 4 所以a。=10n, =1+1+2)+1+2+4)+1+2+4+@）=6,a=6. 设第n年每辆车的平均销售利润为b。元，则每辆汽车 4 1 的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比 6.解析因为a.= 元+√m+I 数列，所以b,=3000X0.91, 记第n年的销售利润为c,则c,=a.×b.=30000n× √m-n十I 0.91万元； (Wm-√m+T)(m+√m+I) 即第n年的销售利润为3n×0.9一亿元. =一√n十√m十1，所以数列{a.}的前k项之和为S一 (2)到2027年年底，设销售利润总和为S亿元， -1+2-2+√5-5+√4-…-√E++I= 则S=3(1+2×0.9+3×0.9+4×0.93+5×0.9十6 √十1一1=9，解得k=99 ×0.95+7×0.9), ① 答案99 0.9S=3(1×0.9+2×0.92+3×0.9+4×0.9+5× 1 0.9°+6×0.9°十7×0.9)， ② 7.解析a一a-1一n(m十1D’ ①-②化简得S=3(100-170×0.9)≈55.2亿元， 111 而总投资为20十30=50亿元， a-a=2X3=23' 因为55.2>50，则到2027年年底，该集团能通过该品 111 4-a,=3X4-3-4' 牌汽车实现盈利， 111 训练十一数列求和及综合应用 a-4-4X5-45 ee。。。 1.A因为{an}为等差数列且a1=1,d=1,所以a.=n,所 11 1=1-1 a.-a.-nx(n+1nn十1 11 100项和为（仔-）+（侵-）+ …十 从而可得a,一4=交n十可' (0)=1-1器故选A 印4-名周为a,<受，所以心号 答案[臣+o) 2.D由5-5a+54>40,即a+2>8,又a,=a,+ 8.解(1)证明：由题设，得a1十(n十1)=2(a.十n),而 4d,所以a,=a,-4d,则a+2d=a-4d+2d=as-2d a+1=2, ≥8，即a5≥8+2d,又as≤4，则8+2d≤4，解得d≤ (an十n)是首项、公比均为2的等比数列， 一2，选项中只有选项D满足. 故a.十n=2”,即a,=2"-m. 3.B当m=0时，显然满足a+,≤S.; 当m≠0时，数列{}是以m为首项，以受为公比的 ②南a咖6号（日2》小 m(1- 等比数列，所以S, 1- 2=2m1-2）, 1 9.解(1)由题意可得，(2a,+d)(3a,+3d)=36, 由a1<S.可得2<2m(1-是）即2m(2-1D≥m, 把a=1代入上式，得d=2或d=-5. d>0,∴.d=2,则a,=2n-1. 由2(2”-1)≥1恒成立，可得m>0. 综上可知m>≥0，故选B. 2)6=品=，则工=+是++… 4.A数列{a,}是公差不为零的等差数列，设公差为d, +2m1 则/8=5，J+2d=5, 27, 8=2a+729-42.解得侣 ld=1, 号红-+2++22+0， 21 2 所以a.=a1十(n-1)d=3十n-1=n+2, 两或作是得号，=1+1+号十…+品-20-3 2- 11 所以6=(m+2)(m+3)-n+2n+3 1-2m-1=3-2mt3. 所以数到6的项和5.=一-十-十…叶 2- 2" 2 T.=6-2m+3<6M6. 11=11 21 n+2n+33n+33m+9 故M的最小值为6. 47 10.C由等差数列的前n项和公式得S,=5a十a) 2 18,解《点a6)在南我y学上. =5aa, 6-32=2-,a,=b,=2-t=2. 2 因为a1是a1与S的等比中项，所以a=a,S,即a= 设等差数列{a.)的公差为d, 5a1a1 图劳0=多所以>0. 若选择条件①：5.=20，则5.=4×2+43d=20,解 得d=2, 所以a=5a1=a1+2d,即d=2a1. ∴.a,=2+2(n-1)=2n 3 1 因为a,=2=a,十d=3a,所以a=2,d=1, 若选择条件②：S,=2a1,则S,=a1十a2十a3=2a3, 所以a-专+m-=含20号， a1十ag=a, .2+2+d=2+2d,解得d=2, 2 ∴.a.=2十2(n一1)=2n: 所以6.=2n1)a.=(2m-1)(2n+= 2n-1 若选择条件③：3a一a=6,则3(a1十2d)-(a1+4d) 2n+1' =2-2=8,∴2a1十2d=8,即2×2+2d=8,∴d=2, ∴.an=2+2(n-1)=2m. 所以6.》的前n项和T,=6,+6十…+b,=1-3 (2)由(1可知S.-na+a2_n2+2m=n1十n. 2 2 ++中1 1 2n 111 所以{h,}的前2022项和为T:=2X2022千 2×2022 T.-(（-)+(侵-)+…+（月-）-1 8器故选C -1 + 11.C当n-1时，a1-2, 因为a1+2a2+3a,+…+na.=2", 复设存在正垫数，俊得T,>瓷且6>日， 所以n≥2时，a1+2a十3a十…+(n-1)a-1=2-1. 1、15 两式相戏得到=2，收么=2，=1时不适合 1-中>6' k>15,此不等式无解， 即 2->g k<8. 1,n=1, 此式，所以6，=m+1)2 4。 (n(n+1万n≥2. 不存在正整数k,使得T>品且么>号 14.解(1)a1=a.十a+(n∈N), 当n=1时，S,=6,=1: 且a1=1,a2=-2, 当≥2时，5=1+（合-号+-+…+ .a1=1,a=-2,a=-3,a,=-1,a=2,a,=3,S,=0. )=是一<是所以≥号：所以：的策小位 a.+i=a,十a.+a, (2)证明：由题意， a+a=a+1十ata 是故选C …a+1十a+a=a.十a+:十a+1十a+2y 即a,十ats=0,a+3=一a, 12.C{a}是方公差为4的等方差数列， …a+w=-a+a=a,n∈N' a+1-a=4,a=18, 训练十二数列的应用 .a.=a6+(n-5)·4=18+4n-20=4n-2, ∴.a,=√4n-2, 1.C设这些老人的年龄形成数列{4，}，设最年长者的年 2 2 龄为a1,则由题可知数列{a,}是公差为一1的等差数 小a,+a,m-2+√4m+7 列，且S。=1520,则S.=19a,+19X18×(-1)= 2 -2-景-7-. 1520,解得a1=89. 2.D因为该家庭决定起始投入1万元，预计每周收益 “5=6-2)+2(10-6)+…+2(V98 1%,所以100周后该家庭在此项投资活动的资产总额 -)=号（√8-2）=2(1E-2)=3E,故 为1×(1+1%)≈2.7（万元）. 3.B2016年和2017年种植绿色植被面积为815×(1十 选C. 2%),2018年和2019年种植绿色植被面积为815×(1 48训练十一 数列求和及综合应用 基础练 现周应用 7.若数列{a,)满足a。一a-1-n十D(n之 1.已知等差数列{an}中，a1=1,d=1,则数列 2,且n∈N),a1=2,对于任意n∈N'有A 1的前100项和 >4.恒成立，则入的取值范围 ( adnti 是 A19 R器 8.已知数列{an}满足：a1=1,且aw+1一2am= n-1,其中n∈N. c器 D.jo (1)证明数列{a,十n}是等比数列，并求数 列{an}的通项公式： 2.已知等差数列{a.的前n项和为S.,且满 1 足a≤4，S≥40，则该数列的公差d可取 (2)设6.2-a0m+2)S为数列么. 的值是 ( 的前n项和，求S A.3 B.1 C.-1 D.-3 3.已知数列{am}的前n项和为Sm,若对任意 的正整数n,都有a+1≤S,则称{a,}为 “和谐数列”，若数列2丹 为“和谐数列”， 则m的取值范围为 A.(-1,+c∞) B.[0,+o∞) C.(0,十∞) D.(1,+o) 4.已知数列{a.}是公差不为零的等差数列， 9.已知等差数列{a.}的公差d>0,设{an}的 若a1=5,且S,=42(n∈N),设b.= 前n项和为Sna1=1,S2S=36. 1,则数列{b,的前n项和S,为 (1)求数列{a.}的通项公式； a4m+1 (2)设6，=品马，数列么的前n项和为 1 A.3n+9 B.3n+9 T。,若对一切n∈N',都有T.<M(M为 c 正整数)成立.求M的最小值. D千3 5.设有穷数列{an}的前n项和为S。,令T. S+S十…+S,称T。为数列aa…, a.的“凯森和”.已知数列1,2,4，a的“凯 森和”为6，则a= A.6 B.5 C.4 D.3 6.数列{a,的通项公式为a.一n+n十司 若该数列的前k项之和等于9，则k 21 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 能力练了赶移运用 4>g？若存在，求出满足题意的k值： 10.已知S。是等差数列{an}的前n项和， 若不存在，请说明理由。 a,的公差d>0,a=号4是4与S 的等比中项，设b,=(2n+1)a 1 ,则{b}的 前2022项和为 () A8器 .n C.0 n48器 11.已知数列{an}满足a1十2a2十3a1十…十 u,=2”,设6。-(m十2，S为数列 {bn}的前n项和.若Sn<t对任意n∈N 恒成立，则实数t的最小值为 () A.1 B.2 创新练/素能骑优 c. n 14.设数列{an}中，若aw+1=am十am+（n∈ 12.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二 N),则称数列{a}为“凸数列” (1)设数列{an}为“凸数列”，若a1=1,a2 项起，每一项的平方与它的前一项的平方 =一2，试写出该数列的前6项，并求出该 的差都等于同一个常数，那么这个数列就 6项之和： 叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的 方公差.设{an}是由正数组成的等方差数 (2)在“凸数列”中，求证a+6=a。,n ∈N°. 列，且方公差为4，as=32,则数列 2 的前24项和为 an十am+ 人号 B.3 C.32 D.6 13.已知等差数列{a.}的前n项和为Sn,数 列6，满足：点6，)在曲线y是上，a =b, ,数列 1 的前n项和 为T 从①S,=20,②Sa=2a3,③3a-a6=b 这三个条件中任选一个，补充到上面问题 的横线上并作答 (1)求数列(an},{b}的通项公式： (2②)是香存在正整数k,使得工，>品且 22