训练8 等比数列的性质-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

6.解析由。一3=0可得a=名4故a,是公比 叉b,=1,所以数列{b}是首项为1，公比为2的等比数列： (3)由(2)知，数列{b}是首项为1，公比为2的等比数 为号的等比载到.由数列（十}为“梦超数列”，得以 列，所以6=2， +1}是以b,十1=3为首项，3为公比的等比数列，所以 即8=21，所以d,=n·21 6+1=3×3"1=3,则6.=3”-1. 14.解(1)因为Sn=2a.十n-4,所以当n=1时，S,=2a 答案3”-1 十1-4，解得a1=3. 7.解析设正项等比数列{a.}的公比g(g>0), (2)证明：因为.=20.+n-4, 'a+t=2a+1+3a 所以当n≥2时.S。-1=2a-1十n-1-4, 81=2a1+3,即=2g十3 S,-S,1=(2a.+n-4)-(2a.-1十n-5), 即a.=2a.-1-1. g=3或q=-1(含去). 所以a。-1=2(a.-1-1),又bn=a.-1. 答案：3 所以b.=2b。-1· 8.解(1)由题得a=3(-2)°=-96. 且h=a,-1=2≠0. (2)由已知得4,4=20,419=160，所以q=2, 所以数列b}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a,=ag1=20×2-=5×2-1. 9.解(1)证明：a.1=2a,十1. 训练八等比数列的性质 .a+1十1=2(a,+1),即641=2h: :6=a1十1=2≠0.b≠0， 1.ABa=号2-是8=(-1X(-16)=16.6 2 会=26是等比载列 ±4..ab=±6. 2.D由等比数列的性质可得，a,a,=a≠0，因此ad。a (2)由(1)知{b}是首项b,=2,公比为2的等比数列， 一定成等比数列，故选D. ∴.h.=2×2-1=2",即4十1=2*..a=2"-1, 3.B,{4.}是等比数列， 10.Bn=1时，a,=2a,-2,a,=2； n≥2时，S,1=2a-1一2， aua,或等比数到d=a,a,即a=2号=63. a.=S.-S。-=2a,-2a.1a.=2a,-1 4,B由a4,ad4an=(aaa)(a4,)a=a8=32=2,得a 所以数列{.}是首项为2，公比为2的等比数列， =2,则4=0，=4，=2. 所以a.=2 1l.BD当q=1时，a,+1-an=0:当g=-1时，a.+1十a 5.CD设等比数列{a,的公比为g,由3a,2a2a:成等 0A.C均错误a,=a,附a=a(g),→ 差数列可得a=3u1+2a:,即a19=3a1+2a19,'a ≠0， g,是等比数列，aai=ag1·a,=aq·(g)', .4-2g-3=0.解得q=3或9=-1. a1a=g,是等比数列. aa ÷84型-0g-世=g=9成1. 12.ABC显然g≠0.因为aa:>0,所以(a1q)(aq)= agn一ia drot(1-q）a:n (aaz)g>0,周此A选项正确：由a1十a,<0→a,(1+ 6解析设指入的3个数依次为a,b.c,即分a,be,8成 g)<0→a1<0,而a,十a,<0>a,(1十q)<0,显然1+g 等比载列，由等比数列的性质可得8=ac=名×8=4， >0→>-1，因此B正确：由at>a,>0→4>1→ 因为口=2>0.所以b=26=一2，含去)，所以这3个 9>1,a.+a+t-2a4=a,十a.9-2a,q=a(1-g)> 0→a,十a。+a>2a+t,因此C正确：由a,a+1<0→aw· 数的积为alb=4×2=8. 答案8 a,·4<0→q<0.(a+1-a.)(a4-a+q)=-q(a1- a,)≥0，因此D项不正确， 7,解析这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公 13.解(1)图为a+1=2(十1)a,所以a+:= 比的等比数列{4}(1≤n≤10，n∈N”),则第10个正方 2(H十1) 形的面积S=ai。=2×2°=2"=2048（平方屋米）. ds 答案2048 所以a,=4a1=4,a1=3a:=12. 8.解(1)aaa=a2=216,.42=6,aa1=36. 因为6-只，所以么-9=14-受-26-号=4 又a,+a2=21-a,=15, ∴a1,a,是方程x-15x十36=0的两根3和12. (2)数列{b.}是首项为1，公比为2的等比数列. 理由如下： 当4，=3时9=4=2，a.=3·2: 因为m1=2u十1Da所以当-2g,即h4=2h 十1n 当a=12时4=2a,=12·(合） 43 (2)'.aa=a q.a.q=a a.q=18q=72, 14.解(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为 ∴q=4.y=士2. a1a2a:,a.+ 9.解方法一设这个等比数列为{a,},公比为， 由题意，得a,=13.5,a:=13.5(1-10%),a1=13.5(1 -10%)2,… 由等比数列的定义，知数列{a,}是等比数列， aa,a=a,gat·a4=d·g=(骨）×() 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, .a.=a1g=13.5×0.9"-. =6=216. .n年后车的价值为a+1=13.5×09”万元. 方法二设这个等比载到为a,公北为g,则a,=号， (2)由(1)得4=13.5×0.9'≈8.9（万元）， 2 ,由题意知aa,a,也成等比数列且a,>0, 用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 训练九等比数列的前项和公式 d=号×号=36a,=6 1.C数列{2}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前 ∴aaa,=a·a=a=216. 10.B设插入的第一个数为a,则插入的另一个数为受 奶项和为8一号-2”- 2.Ca=3S:十2，a,=3S十2，等式两边分别相减得a, 由a号20成等美载列得2x号-a+20 a1=301,即a,=4a1,∴.q=4. 3.C由等比数列的性质可得S,S,一S,S:一S,S。一 .a-a一20=0，解得a=一4或a=5. S:成等比数列，.7,14.S-21,56-5:成等比数列， 当a=一4时，梅入的两个载的和为a十号=： ∴.S:-21=28,.S:=49,∴.S。-49=56,.5.=105. 当a=5时，插入的两个氧的和为a+号-17宁 4.C易知公地9≠1.由9S=5,得9.1-) 1一0 11,解析因为等比数列满足a1+a,=10,a2十a=5, 41-4),解得g=2. 1-q 所以受 “日是首项为1，公比为的等比载到. a. 又4，十a,=41十a4=l0,解得a,=8. 故a,=8·(侵) =2,loga=og,2-=4- 1- 2 .其前5项和为 31 1 161 所以log:a1十loga十+log:4.=3十2十1十…十(4 12 -m)=[3+(4-)n-=-m+7m 2 21 5.B由5=2a1=2(51-5)得S1=号S,所以 答案二n十7 2 《5,是以5=a=1为首项，号为公比的等比址到，所 12.解析设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总 值是d。万元， 以8-（受） 则at=a,十a,m%,a=1十m%. 6.解析：g=2,n=5,S=62.:.a二2=62，即 a 1- .数列{a}是首项a,一a,公比q=1十m%的等比数 a0-22=62.a,=2. 列..a,=a(1十m%)-1 1-2 .2021年8月底该厂的生产总值为a。=a(1十 答案2 m%)”-1=a(1十m%)”(万元). 7.解析设等比数列的项数为2项，所有奇数项之和为 答案a(1十m%)” S4,所有偶数项之和为S。,则=S:S年=2，又它的 13.解(1)根据所给图形规律可知：当n每增加1时，黑 首项为1，所以通项公式为a,=2",中间两项的和为a, 色小三角形的个数变为原来的3倍，即数列{a,}是以3 十a+1=21+2"=24,解得n=4,所以项数为8. 为首项，3为公比的等比数列，.a,=3·3-1=3", 答案8 (2)根据所给图形规律可知：当n每增加1时，去掉的 8解设a,的公比为q,由题设得口9=6， 小三角形的个数是原来的3倍再加1个： 16a1+dg=30, 设去掉小三角形个数构成数列(b.},则b+1=3h,十1. 解得0,3， /0,2. 文b=1, 1q=2 1g=3. ∴.b.=3h十1=4，b=3b2+1=13,b=3b1+1=40,h 当a1=3,q=2时，a.=3×2”',5,=3(2"-1): =36,+1=121,b,=3b:十1=364， 当a1=2,g=3时a。=2×3",S,=3°-1. 即当n=6时，在大黑色三角形内共去掉364个小三 9.解(1)等差数列{a}, 角形， ∴.设公差为d,a,-a,=2d→2d=4→d=2, 44训练八 等比数列的性质 8.已知数列a为等比数列, 基碑练 观固应周 (1)若a.+a:+a-21,aaa=216, 1.(多选)已知x是1,2的等差中项,是 求a; 一1,一16的等比中项,则ab等于 _~_ (2)若aa-18,aa-72,求公比q A.6 B.-6 C.-12 D.12 2.对任意等比数列(a.),下列说法一定正确 的是 ) A.a,a。,a。成等比数列 B.a。.a.a成等比数列 C.a。,a.a。成等比数列 D.a,a,a。成等比数列 3.已知等比数列a.)中,a-7,a-21,则a 的值为 。 ) A.35 B.63 C.213 D.士21③ 4.在等比数列a。中,若a。aaa。a。=32,则 等比数列,求插入的这三个数的乘积 .的值为 ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 5.(多选)在等比数列(a。)中,3at,a。,2a。 成等差数列,则0212022于 a1s-a2o20 ) A.-3 B.-1 C.1 D.9 能力练/围 个数成等比数列,则这3个数的积为 10.在2和20之间插入两个数,使前三个数 7.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个 成等比数列,后三个数成等差数列,则插 ( 人的两个数的和为 ) 正方形的对角线为边画第2个正方形,以 第2个正方形的对角线为边画第3个正方 形,这样一共画了10个正方形,则第10个 D.1# 平方厘米. C.4 正方形的面积等于 15 高中数学·选择性必修 第三册(RJB) 11.设等比数列a.)满足a.十a。=10,a。+a。 创新练/ -5,则log。a.十loga十..+loga。= 14.某人买了一辆价值13.5万元的新车,专 12.某工厂2020年1月的生产总值为a万 家预测这种车每年按10%的速度贬值. 元,计划从2020年2月起,每月生产总值 (1)用一个式子表示n(nEN)年后这辆 比上一个月增长m%,那么到2021年8 车的价值; 月底该广的生产总值为 万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车 13.如图,在谢宾斯基三角形中 他大概能得到多少钱? =1 =2 (1)每个三角形中黑色小三角形的个数依 次构成数列a。,求a.的通项公式; (2)当n一6时,求在大黑色三角形内共去 掉几个小三角形的个数 16