5.3.1 等比数列-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

第五章数列 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是 是 () 15,奇数项之和是12.5，则它的首项与公差 A.d<0 分别是 ( B.a1=0 A.0.5,0.5 B.0.5,1 C.S>S; C.0.5,2 D.1,0.5 D.S6与S,均为S.的最大值 2.已知数列{an}满足an=26一2n,则使其前n 4.已知在等差数列{an}中，S。为其前n项和， 项和S,取最大值的n的值为 () A.11或12 B.12 若S,=9,a十a十a6=7,则S,-S6= C.13 D.12或13 3.(多选)设{a.}是等差数列，S,为其前n项 提示，请完成《素能提升训练》训练六 和，且S<S。=S,>S,则下列结论正确的 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第1课时等比数列的定义 [学习任务] 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程， 3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一等比数列的定义 飞微判断 1.一般地，如果数列{a}从第2项起，每一项 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”). 与它的前一项之比都等于 常数9， (1)数列1，一1,1，一1，…是等比数列. ( 即2中=q恒成立，则称{a,}为等比数列，其 a (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项 中q称为等比数列的 的比为常数，则该数列为等比数列.() 2.递推公式形式的定义：a1=g(m∈N+且n (3)等比数列的首项不能为零，但公比可以 an-1 为零 () ≥2)或中=q,n∈N+ (4)常数列一定为等比数列. ( a 17 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 知识点二等比数列的通项公式 其中当②中m=1时，即化为①. 1.通项公式：若等比数列{a.}的首项为a1,公 当③中g>0且q≠1时，y=4·g为指数 比为g,则an= (n∈N+). 型函数. 2.通项公式的推广和变形 微练习 若等比数列{a,}的公比为q,则 1.已知数列{an}成等比数列.若a2=4,a5 a,=a ① ，则数列(a}的通项公式是 1 三am ② 2.写出一个公比g=的递增等比数列的通项 =. ③ q 公式 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 等比数列的基本运算 2.已知等比数列{a。}的前三项依次为a一1，a [例1]在等比数列{an}中： 十1，a+4,则an= (1)a4=2,a1=8,求ami 探究二等比数列的判定与证明 (2)a2十a5=18,a3十a6=9,an=1,求n. [例2]数列{a.}满足a1=1,S.+1=4a.十3. (1)求证：数列(a.+1一2a.}是等比数列； (2)求数列{a,}的通项公式. 川规律方法川 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等北 数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方 法.从方程的魂点看等比数列的通项公式a.=a:· g'(aq≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可 以求得另一个量.求解时，要注意应用≠0验证求得 的结果 跟踪训练 1.若等比数列的前三项分别为5，一15,45，则 第5项是 () A.405 B.-405 C.135 D.-135 18 第五章数列 川规律方法川 A.4 B.8 判断一个数列是等比数列的常用方法 C.16 D.32 (1)定义法：若数列(a,》满足=q(n∈N+,q为 a (2)若{an}为递增数列，且a号=a1o,2(an十 雪级且不为零)或&=g(n>2且n∈N4,9为常最且 a+2)=5a+1,求通项公式an 不为零)，则数列{a}是等比数列. (2)通项公式法：若数列{a}的通项公式为a,=41· q1(a1≠0，g≠0)，则数列(a,}是等比数列. (3)构造法：在条件中出现a+1-a.+b关系时， 往往构造新数列{a,十x},方法是把a+1十x=(a,十 x)与a+1=a.十b对照，求出x即可. 跟踪训练 3.数列{a.}的前n项和为S.,且S。=n2(n∈ N),数列{b.}满足b=2,b.=3b.-1十2(n ≥2，n∈N'). (1)求数列{a.}的通项公式； 川规律方法川 (2)求证：数列{bn十1}是等比数列. (1)应用a.=ag",可以凭借任意已知项和公比 直接写出通项公式，不必再求a, (2)等比数列的单调性由a1,9共同确定，但只要 单调，必有9>0且9≠1. 跟踪训练 4.若等比数列{an}满足a1十a2=3,a1十a5= 81,则数列{an}的公比为 () A.-2 B.2 C.-3 D.3 5.已知等比数列{an}满足a5一a3=8,a6一a4 探究三等比数列通项公式的推广应用 =24,则a3= [例3](1)已知等比数列{a.}满足a1十a5十 A.3 B.-3 ag=21,a4十ag十a2=42√2，则a2=( C.1 D.-1 随堂巩固促应用 胎证反馈迁移运用 1,(多选)下列各组数成等比数列的是( 3.已知等比数列{an}中，a2=一2，as=16,则 A.1,-2,4,-8B.-2,2,-22,4 该数列的公比为 C.x,x2,x3,x D.a1,a2,a3,a4 4.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比 2.已知等比数列{a,}满足a=2a1a,=4(a, 1 数列an= 一1)，则{a.}的公比等于 ( A号 B号 提示请完成《素能提升训练》训练七 C.2 D.4 19 高中数学·选择性必修第三册(RJB) 第2课时等比数列的性质 [学习任务] 1.掌握等比中项的概念并会应用. 2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算. 自主学习探新知 渠前预习双基落实 知识点一等比中项 g)的等比数列. 如果x,G,y是等比数列，那么称G为x与y 3.若{a.}是等比数列，公比为q,则数列{aan} 的 .即G=xy.由此可知，G= a≠0)，侵，@)都是等比数列，且公比分 土√xy. 别是 赵微思考 4.若{a.},{bn}是项数相同的等比数列，公比 [思考]当G=xy时，G一定是x,y的等 也都是等 比中项吗？ 分别是p和g,那么a,6.与合 比数列，公比分别为 和 赵微练习 1.在等比数列{an}中，a1=1,as=32,则a3a4= () A.32 B.16 知识点二等比数列的常用性质 C.8 D.4 1.一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数 2.(多选)如果数列{a,}是等比数列，那么下列 s,t,p,q满足s十t=p十q,则a,a,=a,a,特 数列中一定是等比数列的是 () 别地，如果2s=p十q,则a=aag B.a} 2.在等比数列{a.}中，连续取相邻k项的和 C.(aa+ D.{an+a.+1} (或积)(k=2时q≠一1)构成公比为g(或 互动探究解疑难 要点归钠重难笑破 探究一 等比中项的应用 A-是 B-含 [制1a会2与士中的等比中项是（ 2 c号 n A.-1 B.1 川规律方法川 C② (1)曲等比中项的定义可知G= →G=ab→G 2 D.土 2 a G =士√ab,所以只有a,b同号时，a,b的等比中项有两 (2)已知数列-1，a1,a2,a3,一4成等差数 个，异号时，没有等比中项， 列，数列1，b,b2,b3,一4成等比数列，则 (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷 数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比 ag一的值为 ( 中项。 (3)a,G,b成等比数列等价于G=ab(ab>0). 20 第五章数列 跟踪训练 4.在等比数列{an}中，若a,=一2，则此数列的 1.已知一1，a,x,b,一9成等比数列，则实数x= 前13项之积等于 探究三灵活设元求解等比数列问题 2.在等差数列{an}中，a4=0,如果a4是ag与 [例3】有四个实数，前三个数成等比数列， a4+s的等比中项，那么k= 且它们的乘积为216，后三个数成等差数 探究二等比数列的性质及应用 列，且它们的和为12，求这四个数 [例2](1)在等比数列{a.}中，若a,十aa十ag 十aw=ga,a=-，则+++ a asas ano (2)已知数列{an}是等比数列，a3十a,=20, a1a=64,求a11的值. 川规律方法川 几个数成等比数列的设法 (①三个数成等比数列设为号a,4 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …,号，g,aag,ag, (2)四个符号相同的数成等比数列设为号，日 agaq. 川规律方法川 推广到一极：偶数个符号相可的数成等比数列设 利用等比数列的性质解题的基本思路和优缺点 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用， 为…4·行aga网叫n aaa 分析等此数列项与项之间的关系，选择恰当的性质 (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同 解题. 时，可设为a,agag,ag. (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，需要一定的 思维能力 跟踪训练 5.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 口跟踪训练 1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是 3.在等比数列{an}中，若a2=2,a6=12,则a1o 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.√5一2和√5+2的等差中项与等比中项分 C.56 D.78 别为 ( 3.在等比数列{an}中，已知a1十a2=3,a3十a4 A.√5，±2 B.2,±√5 =6,那么a5十a6= 4.已知公差大于零的等差数列{an}中，a2,a8, C.√5，±1 D.1,土5 2.在各项均为正数的等比数列{a。}中，若a1a a12依次成等比数列，则的值是 a =9,则(a2as)-a,= ( A.6 B.12 提示请完成《素能提升训练》训练八 21所以a+a1+d+a1+2d=66, 2.解析依题意，口，)是公比g=号的递增等比数列的通 所以d=-3,所以a,=25+(n-1)×(-3)=28-3m. (2)设等差数列{an}的前n项和为T., 项公式，故可填a.=-(侵)广.（答案不电-） 令a,=28-3n≥0，解得a<婴， 答案 。.=-(合)八（答案不唯-） 所以当n≤9时，a,≥0；当n≥10时，a,<0. 互动探究解疑难 故S,=|a|+…+|a,|+|ae|+…+|a,|=a1十…+ 探究一 a,-(ao+…十a,) [例1][解](1)图为 a.=a1q°， =2T,-T,=2×9(25,+1D_1725,-23)=217. 2 2 a,=a19°， 随堂巩固促应用 所以 a19=2, ① 1.A由于项数为10，故S。-S,=15-12.5=5d, aq=8, ② d=0.5,由15+12.5=10a+10X9×0.5,得4，= 号得d=,从西g=,丙a=2 2 0.5. 于是a,=-1 g-2,所以a,=a1q1=2 2.Da.=26-2n,.a.-a.-t=-2(n≥2，n∈N,), ∴数列{a,}为等差数列. (2)方法-周为a十a,=a,9+a19=18,③ a+aa=ag+ag=9,④ 又a=24,d=-25.=24n+n"2X(-2)=- 由黑释g=合，从而a=32.又a.=1,所以32× +25m=-(a-}+第。 (侵)》-1，中2-g,所以n=6 n∈N+,∴.当n=12或13时，S,最大 3.ABDS<S。=S,>S,a>0,a,=0,a<0. 方法二周为a十a,=ga,十a),所以g=是 d<0.∴S与S,均为S.的最大值. 由a1q+a1q=18,得a1=32. S,-S,=a6+a,+a,+a,=2(a,+as)<0. 由a,=a1q1-1,得n=6. .S<S,故C错误. 跟踪训练 4.解析S,S,一S,S,一S成等差数列， 1.Aa,=a,g,而a,=5,g=g=-3,a,=405. 而S,=9,S。-S,=a,+a,十au=7,∴.S,-S。=5. a 答案5 2.解析 由已知可得-特pa+1-a-Da 5.3等比数列 十)，解得a=5,所以a,=4,a=6,所以g=2=6 a14 5.3.1等比数列 所以a=x(》 案（》 第1课时等比数列的定义 探究二 [例2][解](1)证明：当n=1时，a1=1,S2=a1+a2= 自主学习探新知 4a1+3, 知识点一 解得a2=6, 1.同一个公比 当n≥2时，由S.+1=4a,+3可知，S,=4a.-1+3, 微判断 两式作差可得a+1=4a.一4a.-1, (1)(2)×(3)×(4)× 即a+1-2a,=2(a-2a。-). 知识点二 1.ag- 又4-2，=4，所以a.-2a-1≠0，所以2a=2. a.-2a.-1 2.ggmg 所以数列《a+1一2a.}是首项为4，公比为2的等比 微练习 数列， (2)由(1)知a+1-2a,=4×2-1=2*1, 1.解析由a,=a,g,得-=4，所以9=一司 两边同除以21，得器一会-1 a.=4(-2)厂，meN. 又-所以数列)是首项为公为1的 答案a.=4(-)neN 差数列， 8 ÷受-+a-1D=2”2,参理得a=2(2m-1. 4,解析设数列{a}的公比为g,则q=3,由已知可得a 2 故数列{a,}的通项公式为a,=2”-(2n一1). <1,所以9a<1,所以a,<号，故a,可取品故满是条 跟踪训练 件的等比数列的通项公式可能为a,=。, 3.解(1)当n=1时，a1=S,=1;当n≥2时， a.=S.-S-1=n2-(n-1)'=2m-1. 故答案为行（客家不唯一小 检验，当n=1时，a1=1=2×1一1符合 答案 3 所以a,=2n-1(n∈N"). 10(答案不唯一) 6+1351+2+13(61+1) (2)证明：当≥2时，6干市-6十1 6-1+1 第2课时等比数列的性质 3,而b+1=3, 所以数列{b.十1}是等比数列，且首项为3，公比为3. 自主学习探新知 探究三 知识点一 [例3][解析](1)设数列{a,}的公比为g,剩a,十a十a 等比中项 =(a1十a十a,)g,即21g=422,解得q=√2. 微思考 周为a+a5+a,=a1(1+g+q)=21a1=21,所以a1=1, [提示]不一定，如数列0,0,5就不是等比数列. 则a=a1g=8. 知识点二 (2)由a=ao=asq0-,且a≠0，得a=g, 即a1q=q. 3.g 又q≠0，.41=g 4阳台 由2(a,+a+.)=5a+1,得2a.(1+g)=5qa. 微练习 ”0,≠021+q)=5g,解得g=号或g=2. 1.A因为在等比数列{an}中，a=1,a。=32,所以aa,= ”a=g,且(a}为道增数列，0=2， a1a。=32. lq=2. 2.ABC取等比数列a.=(一1)”，则数列a.十a+1=0不 a,=2X21=2°(n∈N). 是等比数列，故D错误：对其他选项，均满足等比数列通 [答案](1)B(2)见解析 项公式的性质，故选ABC. 跟踪训练 互动探究解疑难 4.D设等比数列{a,}的公比为q,因为a1十a1=3,a1十a 探究一 =81,所以0十a9=3,所以a1+g2= [例1] [解析]1)：()（佰）=吉 la q'+a g=81, a1g(1+q) 7解得 9=3. (± 5.C设等比数列{a.}的公比为q,则q≠0，由已知可得 a-a=a1q(g-1)=8, 解得a,=g 5与生的等比中项是士号。 2 2 as-a,=a1q(g-1)=24 (2)由-1，a,a,a,-4成等差数列得a-a=d= g=3, 因此a=a1g=1. 二二卫=-是由-1644，一4成等比数列得献 随堂巩固促应用 =-1×(-4)=4. 1.ABD对于A1,-2,4-8中，由子=== 又等比数列的所有奇数项同号，所以=一2， 一2，得数列是以一2为公比的等比数列：对于B,一√2， 所以=子 2，a4中，由2- [答案](1)D(2)C =一√2，得数 跟踪训练 1,解析设一1，a,x,b,一9为数列{a.}的前五项，设公比 列是以一√2为公比的等比数列：对于C,当x=0时，不 为q,a1=-1,a,=a1·g=-9,解得g2=3.所以a,=a 是等比数列，对于D,aaa,a“中，由与一a ·g2=一3.所以x=一3 答案一3 气=。，得数列是以口1为公比的等比数列，故 2.解析设等差数列{a)的公差为d,显然d≠0， 选ABD. 由题意得a,=a1十3d=0,∴.a1=-3d. 2.D因为a1a=4(a2-1),所以aiq2=4(a19-1),即q 又a,是a,与a+的等比中项，a=asa+ -8g+16=0,解得q=4. 即[a1+(k-1)d=(a1+7d)·[a,+(k+7)d], 3.解析由等比数列知，a=ag-2=(一2)g=16,解得g 即[(k-4)d]2=4d·(k+4)d. =-2. 解得k=12或k=0(含去). 答案-2 答案12 9 探究二 跟踪训练 [例2][解析](1)周为上+1=+，1十 5.解析设这四个数分别为a,aq,aq2,aq, a a10 a, 则a-1,aq-1,aq-4,ag-13成等差数列. =%十a 2(ag-1)=(a-1)+(ag-4), 】 由等比数列的性质知aao=aga, 2(ag'-4)=(ag-1)+(ag-13), 所以2+1+1+1-4十a,十a,十ae 1a(g-1)=3, 整理得 ag(g-1)2=6, 解得a=3,q=2. 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 答案45 (2){an}为等北数列，aa,=aa,=64. 随堂巩固促应用 又，a1+a,=20, a,a,是方程2-20r+64=0的两个根. 1.C5-2和5+2的等差中项为5+2)5-22-5， 2 4=4,4=16,a=4,a,=16我a1=16,a,=4. √5-2和5+2的等比中项为±√(W5-2)(W5-2)=士1. ①当4=40=16时，2-=4. 2.D在等比数列{a,}中，由等比数列的性质可得 此时au=aq=4X42=64: a=a1a,=9,解得a,=3: 0当a=16a-=4时，2-g=} 由2+6=1+7可得a2a,=aa,=9, 所以(a4a)产-a,=92-3=78. 此时a=a0=16×(仔)广= 3.解析因为{a.)是等比数列，所以a1十a,a,十a,a十 a6也成等比数列.又因为a1十a=3,a1十a=6,所以a6 [答案])-号 (2)见解析 十a,=12. 跟踪训练 答案12 3.解析方法一设{a.}的公比为q,则 a9=2, 4,解析设公差大于零的等差数列{a,}的公差为d,则有 a1g°=12， d>0,因为a,a,a依次成等比数列， 解得g=6.an=a1g=ag×(g)2=2X36=72. 所以有a=aaa→(a1+7d)'=(a1十d)(a1+11d)→ 方法二{a,}是等比数列，a=a:·aw, 19d'=-ad. 因为d>0,所以a1=-19d, 调光出-出二品言 答案72 a:aitd 4.解析由于{a,}是等比数列， 答案号 .a au=azau=ajan=adn=asa=aas=a;, '.aaa=(a;)'a;=a,a=-2, 5.3.2等比数列的前n项和 a1aa…au=(-2)3=-2. 答案一2 探究三 第1课时等比数列的前n项和公式 [例3][解]方法一设前三个数依次为8，a,ag, 自主学习探新知 则2·a·ag=216,所以a=216.所以a=6. 知识点一 a(1-q 因此前三个数为6 ,6,6g.由题意知第4个数为12q 1-g ,g≠1 41 微判断 -6. (1)×(2)/(3)× 所以6十69+129-6=12，解得g=号 知识点二 故所求的四个数为9,6,4,2. 2.g"S. 方法二设后三个数为4一d,4,4十d, 3.1g(2)%ta249a十at起 1-(-q) 1+q 则第一个数为子(4-d05, 微练习 由题意知子(4-d02×(4-d0×4=216, 1.解析{a}是等比数列， a1十aa,十a,a:+a,a,十aa,十ao为等比数列， 解得4一d=6. 所以d=一2. 且公比g=a十2=4，a,十an=1X4=256。 a1十a2 故所求得的四个数为9,6,4,2. 答案256 10