立体几何中的平行问题 课时练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

课时精练22　立体几何中的平行问题 一、基础巩固 1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) EF∥PA EF∥PB EF∥PC 以上均有可能 2.已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为(　　) 3 2 1 0 3.在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) 异面 平行 相交 以上均有可能 4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(　　) 一个侧面平行 底面平行 仅一条棱平行 某两条相对的棱都平行 5.(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　) A B C D 6.如图，α∥β∥γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，则AC的长为________ cm. 　　 第6题图　　　　　　第7题图 7.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________. 8.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________.(填序号) 9.(13分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B. 10.(14分)如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝2 cm，BC＝3 cm，DE＝4 cm，求EF的值. 二、综合运用 11.(多选)下列结论正确的是(　　) 平行于同一条直线的两条直线平行 平行于同一条直线的两个平面平行 平行于同一个平面的两条直线平行 平行于同一个平面的两个平面平行 12.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列四个命题中正确的为(　　) 若α∥β，γ∥β，则α∥γ 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 若α∥β，l⊂α，则l∥β 若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n 13.(14分)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点. (1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？ (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值. 三、创新拓展 14.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) 没有水的部分始终呈棱柱形 水面EFGH所在四边形的面积为定值 棱A1D1始终与水面所在的平面平行 当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 参考答案 1.B　[由线面平行的性质定理可知EF∥PB.] 2.C　[对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误； 对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误； 对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确， 因此真命题的个数为1.] 3.B　[在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1， ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC， ∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE. ∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.] 4.C　[当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误. 如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG. 又∵SA⊂平面SAB，平面SAB∩α＝DG， ∴SA∥DG. 同理SA∥EF，∴DG∥EF. 同理，若α∥BC，则GF∥DE. ∵截面是梯形， ∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行.] 5.AC　[对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF， DE⊂平面DEF， ∴直线AB与平面DEF平行，故A正确； 对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误； 对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF， ∴直线AB与平面DEF平行，故C正确； 对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD， 又D为BC的中点， ∴AB∥OD， ∵OD与平面DEF相交， ∴直线AB与平面DEF相交，故D错误.] 6.　[过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF， 如图所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF， 所以＝＝， 因为AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm， 所以＝， 解得BC＝ cm， 所以AC＝AB＋BC＝2＋＝(cm).] 7.矩形　[因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF， 所以CD∥EF. 同理HG∥CD，所以EF∥HG. 同理HE∥GF， 所以四边形EFGH为平行四边形. 又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF， 所以平行四边形EFGH为矩形.] 8.①或③　[由面面平行的性质定理可知，①正确； 当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误； 当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.] 9.证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP， ∵MP∥BB1，∴＝. ∵BD＝B1C，DN＝CM，∴MB1＝NB， ∴＝，∴＝， ∴NP∥CD∥AB. ∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B， BB1⊂平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B. 又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP， MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP， ∴MN∥平面AA1B1B. 10.解　如图所示，连接AF交平面β于点G，连接CF，BG，EG，AD. ∵AC∩AF＝A， ∴直线AC和AF确定一个平面AFC， 则平面AFC∩β＝BG， 平面AFC∩γ＝CF， 又β∥γ，∴BG∥CF. ∴＝.同理可证＝. ∴＝，∴＝， ∴EF＝6 cm. 11.AD　[A中，平行于同一条直线的两条直线平行是正确的； B中，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，所以不正确； C中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以不正确； D中，平行于同一个平面的两个平面是相互平行的，所以正确.] 12.ACD　[对于A，由面面平行的传递性可知A正确； 对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β， 则α∥β或α与β相交，所以B错误； 对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行， 所以C正确； 对于D，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ， 所以l∥m，同理l∥n，由平行线的传递性可得m∥n， 所以D正确.] 13.解　(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，即＝1时，BC1∥平面AB1D1.证明如下： 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形， 所以O为A1B的中点， 在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1. 又因为OD1⊂平面AB1D1， BC1⊄平面AB1D1， 所以BC1∥平面AB1D1. 所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1. (2)由平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， 得BC1∥D1O， 所以＝.又O为A1B的中点， ∴D1是A1C1的中点， ∴四边形ADC1D1是平行四边形， ∴＝1. 14.ACD　[由题图，显然A是正确的，B是错误的； 对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的； 因为水是定量的(定体积V). 所以S△BEF·BC＝V， 即BE·BF·BC＝V， 所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的.] 学科网（北京）股份有限公司 $$