精品解析：广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 高二级数学科试题 命题人：吴永恒 审题人：文钊颗 本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知向量，则（ ） A. B. 8 C. 3 D. 9 2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A. B. C. D. 3. 双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 5. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”必要不充分条件 B. 若，为两个事件，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，满足，则与相互对立 7. 已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ） A B. C. D. 8. 设，如果把函数的图象被两条直线所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，的最佳近似表示式是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 10. 已知椭圆左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 总体由编号为的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为__________． 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 13. 如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是__________. 14. 已知抛物线的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是拋物线上的动点，则（1）拋物线的准线方程为__________，（2）的最小值为__________. 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 16. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 17. 在四棱锥中，底面∥，. （1）证明：∥平面； （2）证明：； （3）求与平面所成的角的正切值. 18. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 19. 对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题： 如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. （1）求抛物线的解析式和点A坐标； （2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 高二级数学科试题 命题人：吴永恒 审题人：文钊颗 本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知向量，则（ ） A. B. 8 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算及模的坐标表示计算即得. 【详解】由向量，得， 所以. 故选：C 2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C． 【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 3. 双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆的焦点坐标，从而设双曲线的方程为，即，再由渐近线可得，求出，即可求解. 【详解】椭圆方程为：，所以焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有共同的焦点， 则设双曲线的标准方程为，且①， 因为双曲线的一条渐近线方程是，所以②， 联立①②，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：C. 4. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 5. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B. 若，为两个事件，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，满足，则与相互对立 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 7. 已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，得到，再由，可得，是方程的解，将代入方程，由求出. 【详解】设，，，直线方程为， 联立直线与抛物线方程，可得， 显然，所以． 又，即， 即，， 故，是方程的解， 将代入方程， 整理得，显然， ， ，即． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 8. 设，如果把函数的图象被两条直线所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，的最佳近似表示式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出经过点的直线方程，进而求得答案. 【详解】依题意，经过点的直线方程为， 而点在以点为端点的线段上， 因此，所以，C正确，D错误； 当且仅当是线段中点时，，而它是线段上除端点外的任意点，A错误； 显然可能异号，此时选项B无意义，B错误. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出. 【详解】圆的圆心坐标，半径 圆 ，即的圆心坐标，半径 ∴圆心距 又在圆上，在圆上 则的最小值为，最大值为． 故A、B正确； 两圆圆心所在的直线斜率为，C正确； 圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误. 故答案为：ABC 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得 ， 即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，所以，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，， ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，的最大值为，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A,根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意画出截面图，计算即可；对于C，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可；对于D，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可； 【详解】对于A，连接，因为,平面,平面, 所以平面,    又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故A正确； 对于B，如图，四边形为过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形，    因为平面平面, 且平面平面,平面平面, 根据面面平行的判断定理知，， 又因为为中点，所以为四等分点，则四边形的周长为： ,故B错误； 对于C，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，    则, 则, 设平面的法向量，则， 令，则，故， 则, 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又， 综上可知，，故C正确， 对于D，如图所示，连接,取的中点为, 连接，设外接圆圆心为,外接球球心为, 连接,则,    在中，设其外接圆半径为， 由正弦定理知，，所以，即， 依题易得，故,弦所对的圆周角相等， 故四点共圆，则, 设外接球半径为,过作,交于, 则在中，，即,① 在中，，即,② 联立①②，解得,故外接球的表面积为,故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 总体由编号为的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为__________． 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 【答案】09 【解析】 【分析】根据随机数表法选出满足要求的编号，依次是14，05，11，09，得到答案. 【详解】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始， 依次是14，05，11，09， ∴第四个数字是09. 故答案为：09. 13. 如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是__________. 【答案】4或12 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】设点到它的左焦点的距离是， 由可知，，即， 则由双曲线定义，解得或， 故答案为：4或12 14. 已知抛物线的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是拋物线上的动点，则（1）拋物线的准线方程为__________，（2）的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据抛物线方程，得，所以，故抛物线的准线方程为. ②先求出直线过定点，再求出的轨迹方程，数形结合，求出最值. 【详解】①根据抛物线方程，得，所以，故抛物线的准线方程为. ②由直线方程得， 所以直线过定点，连结，则, 由题意知点在以为直径的圆上,设，所以点Q的轨迹方程为 （不包含点），记圆圆心为, 过点,,分别作准线的垂线，垂足分别为,,,连接， 则, 当且仅当,,,四点共线且点在中间时等号同时成立， 所以的最小值. 故答案为：； 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 【答案】（1）众数75；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用众数与中位数的定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的众数、中位数估计值； （2）利用平均数定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的平均数估计值. （3）利用古典概型概率求法即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75； 在内频率之和为， 设中位数为，由图可知中位数在， 由，得中位数 【小问2详解】 由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数： 【小问3详解】 在和两组中的人数分别为： 人和人， 所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c， 在分组中抽取的人数为2人，记为1，2， 所以这5人中随机抽取2人的情况有： ， 共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种， 所以所求概率为. 16. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 17. 在四棱锥中，底面∥，. （1）证明：∥平面； （2）证明：； （3）求与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角，即可得出答案. 【小问1详解】 因为∥，平面，平面， 所以∥平面. 【小问2详解】 在四边形中，作于，于， 因， 可知四边形为等腰梯形，则， 可得，， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又因，可得平面， 且平面，所以. 【小问3详解】 如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，则， 可得， 设平面的法向量，则有， 令，则，可得， 则， 设与平面所成角为，则， 可得， 所以与平面所成角的正切值为. 18. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. 【小问2详解】 该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 19. 对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题： 如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. （1）求抛物线的解析式和点A坐标； （2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 【答案】（1）；. （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把点代入即可求解. （2）①由抛物线焦点和准线性质，及三点共线即可求最值； ②求出以为直径的圆的圆心，再求出圆心到准线的距离即可证明. 【小问1详解】 把代入得: ，解得， 所以抛物线C的解析式为； 在中，令得，或，所以. 【小问2详解】 ①根据题意，抛物线解析式为， 所以抛物线的焦点为，准线为， 设抛物线焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图: 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， 因为， 所以， 因为， 所以点与点重合时的值最小，此时的值最小， 因为，，，，， 所以的最小值为. ②证明：设直线的解析式为， 由，得或， 不妨设 ，， 以为直径的圆，圆心为的中点即，， 抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为， 所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $