精品解析：福建省泉州市安溪县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024年秋季八年级期中质量监测数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数4的平方根是（） A. 2 B. －2 C. D. 2. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 同角的余角相等 D. 全等三角形的面积相等 5. 估计1的值在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 若的结果不含的一次项，则，应满足（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，添加下列条件，仍不能判定的是（ ）     A. B. C. D. 8. 下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 10. 如图，在中，和的平分线交于点，延长交于，，分别在，上，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是________． 12. 已知，则_____． 13. 如图，△ABC≌△DEF，线段AD=5，DE=3，则BD= _______. 14. 如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 15. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是_______. 16. 清溪中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个9列的长方形队列．若原队列增加126人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少126人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有_______名同学． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 已知：如图，，，．求证：． 21. （1）下图是华东师大版八年级上册数学教材第52页的图形，它是用四个长和宽分别为，的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），请利用阴影部分面积的不同表示方法写出一个代数恒等式：_______； （2）根据（1）中探索的结论，回答问题：当，时，求的值． 22. 如图1，在中，，延长至D，过点D作交的延长线于点E，延长至F，过点F作交的延长线于点G，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点H，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 23. 我国著名数学家华罗庚曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读以下材料：若，求的值． 解：设，， 则，， 根据以上材料，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）如图，已知数轴上，，三点表示的数分别是，，．分别以，为边作正方形、正方形，延长交于点．若长方形的面积为．求正方形与正方形面积的和． 24. 设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． （1）请用上述的方法步骤计算：； （2）请用整式的乘法法则来说明的速算原理； （3）若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 25. 如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）若，则 ； （2）求证：； （3）好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季八年级期中质量监测数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数4的平方根是（） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的概念，推出4的平方根为±2． 【详解】解：∵（±2）2=4， ∴4的平方根为±2． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查平方根的定义，关键在于推出（±2）2=4． 2. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：，3.14，都是有理数，开方开不尽是无理数， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项计算判断即可，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：A、，正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 同角的余角相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角得性质、平行线得性质、余角得等于及全等三角形得性质逐一判断即可得答案． 【详解】A.对顶角相等是真命题，故该选项不合题意， B.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意， C.同角的余角相等是真命题，故该选项不合题意， D.全等三角形的面积相等是真命题，故该选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 估计1的值在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用“夹逼法”得出的范围，继而也可得出的范围． 【详解】， ， ． 故选：． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用． 6. 若的结果不含的一次项，则，应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将展开，合并同类项之后令x的一次项的系数为0，即可求解． 【详解】＝， ∵ 结果不含的一次项， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，理解多项式中不含x的一次项即x的一次项的系数为0是解题的关键． 7. 如图，，添加下列条件，仍不能判定的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 利用，加上为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：，， 当添加时，不能判定， 当添加时， ； 当添加时，； 当添加时，． 故选：A． 8. 下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题真假性的判断，代入具体数值检验选项是否成立是解决本题的关键． 要证明命题“若，则”为假，需找到满足但的例子即可． 【详解】解：选项A：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项B：，。 则有，，满足，但，此时，命题不成立； 选项C：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项D：，， 则有，，不满足，故排除， 综上，选项B是唯一满足条件的反例，说明原命题为假． 故选：B ． 9. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 【答案】B 【解析】 【分析】根据SAS可证得≌，可得出，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】解：由题意得：，，， ≌， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出≌．. 10. 如图，在中，和的平分线交于点，延长交于，，分别在，上，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 在取点，使，证明，可得，证明，进而可以判定B选项错误，再证明，可得，进而判定C选项正确． 【详解】解：如图在上取点，使， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故B选项错误； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故C选项正确； 不能证明， 故选：C ． 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ， ， 故答案为：2． 12. 已知，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12． 13. 如图，△ABC≌△DEF，线段AD=5，DE=3，则BD= _______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出AB=DE=3，即可得出答案． 【详解】解：△ABC≌△DEF，DE=3， ∴AB=DE=3， ∵线段AD=5， ∴BD=AD-AB=5-3=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等 14. 如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 15. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是_______. 【答案】±1 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值． 【详解】解：这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和积的2倍，故a=±1， 故答案为：±1． 16. 清溪中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个9列的长方形队列．若原队列增加126人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少126人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有_______名同学． 【答案】450 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，设原长方形队列有（n为正整数）名同学，增加126人可组成的正方形队列，减少126人可组成的正方形队列，由人数不变，可列出关于a，b的方程组，作差后可得出，即，结合和同奇或同偶及，可求出a，b的值，结合方程①可求出n值，取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设原长方形队列有（n为正整数）名同学，增加126人可组成的正方形队列，减少126人可组成的正方形队列， 根据题意得：， 得：， 即， ∵和同奇或同偶，且， ∴或或， ∴或或， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ∴原长方形队列有450名同学． 故答案为：450． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握立方根定义，算术平方根定义，是解题的关键．根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值意义进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式，完全平方公式和提公因式法分解因式是解题的关键． （1）提取公因数即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先根据完全平方公式和单项式乘单项式法则计算中括号内的乘方和乘法，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则计算除法，最后把m，n的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 20. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据等式的性质可得，然后再结合判定两个三角形全等的方法进行证明． 【详解】略 21. （1）下图是华东师大版八年级上册数学教材第52页的图形，它是用四个长和宽分别为，的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），请利用阴影部分面积的不同表示方法写出一个代数恒等式：_______； （2）根据（1）中探索的结论，回答问题：当，时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解决本题的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，根据面积之间的和差关系即可得出结论； （2）利用（1）的结论代入计算即可． 【详解】解：（1）图形中大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 四个长为，宽为的长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）当时， ． 22. 如图1，在中，，延长至D，过点D作交的延长线于点E，延长至F，过点F作交的延长线于点G，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点H，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，进一步可得，根据即可证明； （2）由可得，再证明，得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 我国著名数学家华罗庚曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读以下材料：若，求的值． 解：设，， 则，， 根据以上材料，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）如图，已知数轴上，，三点表示的数分别是，，．分别以，为边作正方形、正方形，延长交于点．若长方形的面积为．求正方形与正方形面积的和． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、数形结合思想等知识点，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）按算法赏析的方法进行求解即可； （2）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，设，，则、，则． 【小问1详解】 解：设，则，， ∴； 【小问2详解】 解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有， 设，， 则、， 所以正方形与正方形面积的和为： ． 24. 设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． （1）请用上述的方法步骤计算：； （2）请用整式的乘法法则来说明的速算原理； （3）若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 【答案】（1）； （2） 是一个十位数字为1的两位数， ， ． （3） ，，， ． 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，掌握多项式乘多项式的运算法则和理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则求解； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则求解． 【小问1详解】 解：第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）若，则 ； （2）求证：； （3）好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 【答案】（1）6； （2） 证明：如图1，延长交的延长线于点， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知：，，，，， 在和中， ， ， ， 故答案为：6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，在上取点，使，连接， ，， ， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $