2024-2025学年江苏省南京市八年级数学上学期期末复习——最值问题

8年级数学期末复习——最值问题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，等边△ABC的边长为4，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是（    ）  A．6 B．12 C．8 D． 2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，△ABC中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　） A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在锐角△ABC中，AB8，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（   ） A． B．2 C． D．1 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，△AOB和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 第5题图 第6题图 7．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在△ABC中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 8．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，，，，点D为延长线上一点．当点D在延长线上运动时，的最小值为 ． 9．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，已知：A为y轴正半轴上一点，，B在x轴上移动，以为边作正三角形，连，则的最小值为 ． 10．（22-23八年级上·江苏南京·期中）已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是 ． 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 11．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 12．（2024·八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为 2的等边三角形中，D 是 的中点，点 E 在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为 . 13．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在线段上．若为的中点，则的周长的最小值为 ．    第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在等腰直角三角形△ABC中，，P是 上一动点．则的最小值是 ． 16．（22-23八年级下·江苏南京·开学考试）为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 17．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ． 第15题图 第17题图 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C B D C D 1．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定等等，先由等边三角形的性质得到，再由轴对称的性质得到也是边长为4的等边三角形，则，，证明，得到，则当三点共线时最小，即此时最小，最小值为． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∵与关于直线l对称， ∴也是边长为4的等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，即此时最小，最小值为， 故选C．    2．B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，    ∵，，，点M、N分别是的中点， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 3．D 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键． 4．C 【分析】求两段折线的最小值，往往需要将折线转化到一条直线上，变为求点到直线的距离.本题可过作，则即为所求，再根据等腰直角三角形的三边关系求出其长度即可. 【详解】解:如图，作，垂足为,交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值. 是的平分线, ， 是点到直线的最短距离(垂线段最短), ， . 的最小值是. 故选: . 【点睛】本题考查了折线之和的最值问题，观察图形，进行适当变形，转化为求点到直线的距离是解答关键. 5．D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，求出的长是解题的关键． 如图，取的中点T，连接．首先证明，求出，根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点T，连接． ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， ∴的最小值为1． 故选：D． 6． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 7． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作关于的对称点，由对称性可知，点在上，当时，的最小值为，再利用面积法求出的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点， ∵是的平分线， ∴点在上， ∴， ∴当时，的最小值为， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8． 【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，根据含30度角的直角三角形性质及线段的和差得出，过点A作于点G，根据斜边大于垂边可知，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得出答案． 【详解】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E ∴在中，， 过点A作于点G 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差，根据已知条件作出合适的辅助线是解题的关键． 9． 【分析】以为边作等边三角形，求出点H的纵坐标，由“”可证，可得，当时，的最小值为． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形， ∵， ∴，    和是等边三角形， ，，， ，且，， ， ， 当有最小值时，值最小， 当时，即的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．4 【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，，，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图， ∵作点M、点Q关于的对称， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知：当时，最小， ∴根据作图可知此时：最小，且最小为， ∵，作点M、点Q关于的对称，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中有：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置． 11． 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，得到，，推出，得到四边形的周长的最小值为，根据对称的性质、正方形的性质和勾股定理可求出、，即可解决问题． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， ，， ， ， 四边形的周长的最小值为， 正方形的边长为， ，，， ， 四边形的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键． 12． 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明. 从而可以得出作点关于的对称点， 连接， 则依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可. 【详解】如图，连接，    ∵都是等边三角形， ∴，， ， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，， 则， ∴当在同一直线上时， 的最小值等于线段长，且时， 的周长最小， 由轴对称的性质，可得 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点. 13． 【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键． 由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值． 【详解】，点为的中点， ， ∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点 连接 ， ， ∴当共线时，的值最小， ， ， ∴， ， 的最小值为 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了线段垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；连接，，根据垂直平分线的性质得出，根据勾股定理求得，根据垂线段最短得出的最小值为的长，求出的最小周长即可． 【详解】解：连接，，如图所示：    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，D为边的中点， ∴，， ∵，为定值， ∴当最小时，周长最小， ∴当最小时，最小， ∵，，， ∴ ∴的最小值为的长，即的最小值为12， ∴周长最小值为， 故答案为：17． 15．5 【分析】由关于对称，根据两点之间线段最短可知，连接，交于P，连接，则此时的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：作等腰直角三角形关于的对称直角三角形， 连接，与交于点P，线段最短得到就是的最小值， ∵等腰直角三角形中，， ， ， ∵B、D关于对称， ， ． ， ， 由勾股定理得，． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出的长是解此题的关键． 16． 10 13 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段的长度．过点E作，交的延长线于F点．在中运用勾股定理计算求解． （2）由（1）的结果可作，过点A作，交的延长线于F点，使，，连接交于点C，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值就是代数式的最小值． 【详解】解：（1）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是10． ， ， ， ， 解得：． （2）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是13． 故答案为10，，13． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 17．10 【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此，所以最小值为，用勾股定理算出即可． 【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N， ∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称， ∴，， ∴， ∴AM＋MN＋EN的最小值是， ∵AD＝AB＝4，E是AD中点， ∴，， ∴，， ∵∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$