2024-2025学年江苏省南京市八年级数学上学期期末复习——一次函数中等题

8年级数学期末复习——一次函数中等题 姓名：___________得分：__________ 一、解答题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（、为常数，）的图像如图所示． (1)若图像经过点和． ①求与的函数表达式； ②当时，的取值范围是______． (2)尺规作图：在同一坐标系中作的函数图像．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 2．（19-20八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一次函数y=2x+b. (1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b的值; (2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b的值. 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点，分别向下平移3个单位长度得到点，．  (1)点，的坐标分别为______，_______； (2)求证：点，，在一条直线上． 5．（22-23八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数． (1)若该函数的图像经过点，求b的值； (2)在（1）的条件下，当时，x的取值范围为 ； (3)若它的图像与两条坐标轴围成的图形的面积等于9，则b的值为 ． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．    (1)从“数”的角度：证明“点，和在同一条直线上”； (2)从“形”的角度：在方格纸中画出图形，并说明“”． 7．（22-23八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数的图像经过两点． (1)求的值； (2)当时，函数值的范围是_______； (3)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，则的取值范围为______． 8．（22-23八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出这个函数图象，并根据图象回答：当x______时，． (3)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集为______． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，直线的函数表达式为，且分别交x轴、y轴于点A，B．直线的函数表达式为，经过点，分别交x轴、直线于点D，E，且E点坐标为． (1)求k和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示的数分别为，两点之间的距离记为．结合对变量的理解，解决下列问题． (1)当时， ； 当时， ； 进一步发现是x的函数，函数表达式为 ； (2)在平面直角坐标系中，画出y1与x的函数图像，并写出该函数图像的两条不同类型的性质； (3)在上述平面直角坐标系中，存在正比例函数，当和时，都大于．结合图像，直接写出的取值范围． 11．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． (1)求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 13．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上．学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要整理装备．客车和校车离部队的距离与所用时间的函数图像如图②所示，其中，点在线段上． (1)部队和基地相距______，客车到达仓库前的速度为______． (2)求校车离部队的距离与的函数表达式以及教官们领取装备所用的时间． (3)为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，则客车第二次出发时的速度至少是多少？ 14．（2023八年级·专题练习）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)　　，　　，　　； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 15．（22-23八年级上·江苏南京·期末）假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系， 请根据图像回答下列问题： (1)甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟； (2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像． 16．（22-23八年级上·江苏南京·期末）高速列车和普通列车每天往返于甲、乙两地，高速列车从甲地出发往返3次（到站后立即返回，不考虑到站停留时间）；普通列车从乙地出发，到达甲地后停留，然后以原速返回，到达乙地后停止，两车同时出发，匀速行驶，普通列车离开甲地返回乙地时，高速列车恰好第二趟返回到达甲地，普通列车距离乙地的路程与行驶时间之间函数关系的图象如图所示． (1)甲、乙两地相距_____，求线段所表达的函数表达式； (2)高速列车的速度是_____，两车每天相遇_____次； (3)求两车最后一次相遇时距离乙地的路程． 17．（22-23八年级上·江苏南京·期末）A、B两地相距40，甲由A地出发骑自行车去B地，速度为10，当甲出发后，乙由A地乘汽车沿同一条路线出发去B地，速度为40．设甲出发后，甲离A地的距离为，乙离A地的距离为． (1)求，与x之间的函数表达式； (2)在下面直角坐标系中画出，与时间x之间的函数图像（标出相关数据）； (3)乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？ 18．（22-23八年级上·江苏南京·期末）小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，两人离B地的路程与行驶时间之间的函数图像如图所示． (1)A地与B地的距离为 ，小明的速度是 ； (2)求出点P的坐标，并解释其实际意义； (3)设两人之间的距离，在图②中，画出s与x的函数图像（请标出必要的数据）； (4)当两人之间的距离小于时，则x的取值范围是 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)①；② (2)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质． （1）①利用待定系数法求一次函数的解析式即可； ②利用解析式计算出自变量为和1所对应的函数值，然后根据一次函数的性质求解； （2）直线与轴、轴分别交于点、，在轴的负半轴上截取，在轴的负半轴上截取，则直线满足条件． 【详解】（1）解：①根据题意得， 解得， 与的函数表达式为； ②当时，；当时，， 当时，的取值范围是； 故答案为：； （2）如图，在轴的负半轴上截取，在轴的负半轴上截取， 则直线为函数的图象．    2．（1）±4；（2）5 【分析】（1）分别求出一次函数y=2x+b与坐标轴的交点，然后根据它的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4列出方程即可求出b的值； （2）由题意可知：三条直线交于一点，所以可先求出一次函数y=-2x+1与y=x+4的交点坐标，然后代入y=2x+b求出b的值． 【详解】解：（1）令x=0代入y=2x+b， ∴y=b， 令y=0代入y=2x+b， ∴x=-， ∵y=2x+b的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4， ∴×|b|×|-|=4， ∴b2=16， ∴b=±4； （2）联立， 解得：， 把（-1，3）代入y=2x+b， ∴3=-2+b， ∴b=5， 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，图形与坐标的性质，待定系数求一次函数的解析式，解题的关键是根据条件求出b的值，本题属于基础题型． 3．(1) (2)一、三、四 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）将原点代入，解方程求解即可得到答案； （2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过原点， ，解得； （2）解：， 函数值随着的增大而增大，，即该函数图像经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 4．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移与图形变化，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据平移的性质求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出其解析式，再将点B的坐标代入，即可证明． 【详解】（1）∵， ．将点，分别向下平移3个单位长度得到点，， ∴，即， 故答案为：； （2）设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 当时，， ∴点，，在一条直线上． 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，即可求解； （2）当，即，解不等式即可； （3）设函数图像与轴交于点，与轴交于点，分别求出，的坐标，即可解答． 【详解】（1）一次函数经过点 解得： （2） 一次函数的解析式为： 解得： 故答案为： （3）设函数图像与轴交于点，与轴交于点 一次函数解析式为： 令，有，解得， ，即 令，有， ，即 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图像与坐标轴交点问题，一次函数图像的性质，以及解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握一次函数图像与坐标轴交点特征，一次函数图像的性质，以及一元一次不等式的解法． 6．(1)证明详见解析； (2)说明详见解析． 【分析】此题主要考查了数形结合思想的应用． （1）设直线的表达式为，将，代入求出直线的表达式为，再将点代入，得点在直线上，据此即可得出结论； （2）设方格纸中每个小正方形的边长为1，在方格纸上构造，使，，，进而根据三角形三边之间的关系可得出结论． 【详解】（1）证明：设直线的表达式为：， 将，代入， 得：，解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 点在直线上， 点，，在同一条直线上； （2）解：设方格纸中每个小正方形的边长为1，如图所示：    由勾股定理得：，，， 根据三角形三边之间的关系得：， ． 7．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）由，随的增大而增大，即可求解； （3）根据（2）的结论，结合函数的值都大于函数的值，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）将代入， 解得， 所以一次函数为， （2）解：∵，，随的增大而增大， 当时， ∴当时，， （3）当时，， 因为函数的值都大于函数的值， 所以， 解得 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，根据交点求不等式的解集，掌握一次函数的性质是解题的关键． 8．(1)这个一次函数的表达式为； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求解； （3）求得点P的坐标，观察图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：画出函数图象如图： ∵时，， 解得， 观察图象，当时，． 故答案为：； （3）解：∵该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， 解得， ∴， 则， ∴， 即； 如图，当时，该一次函数的图象在正比例函数的图象的上方， ∴关于x的不等式即的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． 9．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式； （1）把代入直线的函数表达式求出点E坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据函数解析式分别求出点A、D的坐标，再根据点E坐标结合三角形面积公式计算即可； （3）找出直线在直线上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得：， 解得：； （2）当时， 解得：， ∴， 由（1）知直线的函数表达式为， 当时，即， 解得：， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴由函数图象可得不等式的解集为． 10．(1)，或，； (2)画图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 函数图像关于直线对称； (3)且． 【分析】（）根据两点间的距离即可，然后代入求值； （）根据画图象步骤画出图象即可，再根据函数图象写出性质即可； （）根据函数交点即可求出范围； 此题考查了一次函数图象的图象及性质，熟练掌握一次函数图象的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当时，，     当，，则或， 故答案为：，或，； （2）根据画函数图象步骤， 列表： 描点，连线 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 函数图像关于直线对称； （3）如图， 根据图象可知，且． 11．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将C点和D点坐标代入直线l2：y＝kx+b，即可求出k，b，得到解析式； （2）首先求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出CD和CE，值相等，即可说明CD＝CE； （3）当点P在B上方时，OP∥DE，得出直线OP的解析式，跟直线l1联立求解，求出交点P的坐标；当点P在B下方时，设点P关于y轴的对称点Q，链接OQ交直线l1为点P'，同理求出OQ的解析式，从而解决问题． 【详解】（1）将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得， ，解得 ∴直线l2：y＝-2x+2； （2）当-2x+2= x﹣4时，x=2 ∴E(2，-2) ∴ ∴ ∴CD＝CE； （3）∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE， ∴点P在l1上有两个位置， ①当点P在点B上方时，如图， ∵OP∥DE， ∴直线OP的函数解析式为y=-2x， ∴-2x=x-4 ∴ ∴ ∴ ②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'， ∴ ∴直线OQ的解析式为：y=2x ∴2x= x-4 ∴x=-4 ∴y=-8 ∴P'（-4，-8） 综上所述：或（-4，-8）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，两点之间的距离公式，一次函数中的几何问题．分类讨论思想和转化思想是本题的关键． 12．(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得的值； （3）过点作轴于，设，则可证明，即可得出，，分情况讨论的值，求解即可． 【详解】（1）解：直线分别交轴，轴于点，， 令，则， 故点的坐标为， 令，则， 故点的坐标为， 直线分别交轴，直线于点，， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 直线与直线交于点， ， 解得， 故点的坐标为； 综上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）连接， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ， ， 解得：； （3）过点作轴于， 设， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 解得或，重合舍去）， 故， 当时，， 解得或（舍， 故， 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． 13．(1)； (2)，教官们领取装备所用的时间； (3)客车第二次出发时的速度至少是． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象直接得出部队和基地的距离；根据客车小时行驶的距离为，求出客车到达仓库前的速度； （2）用待定系数法求函数解析式；再把代入解析式求出x，然后求出客车在仓库停留的时间； （3）求出校车到达基地的时间，就可得出客车到达基地最大时间，然后求出客车速度的最小值． 【详解】（1）解：由图象可知，部队和基地相距， 客车到达仓库前的速度为：， （2）校车离部队的距离y与t的函数表达式为， 把，代入解析式得： ， 解得， ∴校车离部队的距离y与t的函数表达式为； 把代入得，， 解得， ∵客车的速度为， ∴客车到达仓库的时间为， ∵， ∴教官们领取装备所用的时间； （3）把代入得，， 解得， ∴校车2小时到达营地， 为确保师生到达基地时装备已经整理完毕， 客车到达基地的时间， ∴客车第二次出发时的速度． ∴客车第二次出发时的速度至少是． 14．(1)10，15，200 (2)小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． (3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据时间路程速度，即可求出值，结合休息的时间为5分钟，即可得出值，再根据速度路程时间，即可求出的值； （2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值，即可得出结论； 准确分析图中的数量关系，利用数形结合解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：(分钟)， (分钟)， (米分)． 故答案为：10；15；200． （2）线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为． 联立两函数解析式成方程组， ，解得：， (米． 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）根据题意得：， 解得：，． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 15．(1)， (2)P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米． (3)见解析 【分析】（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义求解即可； （2）分别求出直线和直线的解析式，联立即可求得交点坐标，表示的实际意义为相遇时的时间及路程； （3）分别求出点、时，的值，直线的相交时，距离为，当时距离为，画出分段函数即可； 【详解】（1）甲在南京博物院参观的时间为（分钟） 甲返回小区的速度为（千米/分钟） 故答案为：，； （2）设直线的函数表达式为． ∵， ∴， 解得． ∴直线的函数表达式为 当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为． ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∴， 解得． 当时，． ∴． 答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米． （3）如图即为y（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数图像． 当时，两人之间的距离为； 当时，两人之间的距离为； 当时，两人之间的距离为； 当时，两人之间的距离为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 16．(1)300， (2)300，5 (3) 【分析】(1)根据函数图象即可知甲、乙两地的距离，设线段所在直线的表达式为， 代入点，坐标即可求解； (2)首先可求得高速列车的速度和往返3次共用的时间，可得前，两车共相遇4次，后共相遇1次，据此即可解答； (3)首先可求得快速列车第三次到达乙地所用的时间和普通列车的速度，设普通列车离开甲地返回乙地所行驶的时间为 ，则快速列车第三次从乙地返回时所行驶的时间为，根据题意即可列出方程，解方程即可求得两车最后一次相遇所用的时间，据此即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得甲、乙两地相距， 点坐标为，点坐标为， 设线段的表达式为：， 代入点，坐标可得， 解得， 故线段所表达的函数表达式为：， 故答案为：300； （2）解：高速列车的速度是：， 高速列车往返3次共用时：， 前，两车共相遇4次，后共相遇1次， 故两车每天相遇5次， 故答案为：300，5； （3）解：高速列车第三次从甲地到达乙地所用的时间为：， 普通列车的速度为：， 设普通列车离开甲地返回乙地所行驶的时间为 ，则高速列车第三次从乙地返回时所行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 故两车最后一次相遇时距离乙地的路程为：． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，理解题意，认真分析图象是解决本题的关键． 17．(1)， (2)见解析 (3)能，甲出发后 【分析】（1）根据行程速度时间，分别列函数解析式即可； （2）根据解析式画图即可； （3）联立两函数解析式求出交点横坐标，即为超过的时间． 【详解】（1）解：由题意可得： ，； （2）由题意可画图如下： （3）由题意可得： 令， 解得：， ∴乙在甲出发后超过甲． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了函数解析式的求解，联立两函数解析式求交点，理解并表示出时间是解题的关键． 18．(1)3600，120 (2)点P的坐标为（20，1200）；实际意义为出发20分钟时，两人在离B地1200米处相遇 (3)见解析 (4)＜x＜50 【分析】（1）由图象可直接得出A地与B地的距离，根据图象小明从A地到B地的时间为，用距离除以时间即可得速度； （2）列出两有的函数解析式，联立组成方程组求解即可得出点P坐标；由题意知点P表示两人相遇时的时间与距离； （3）根据或或列出解析式，再画出图象即可， （4）先画图象，再根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：A地与B地的距离为， 小明的速度为：． 故答案为：3600，120； （2）解：，， ∴ 小亮的函数关系式为，小明的函数关系式为 ∴，解得．， ∴ 点P的坐标为， 点P的坐标实际意义为：出发20分钟时，两人在离B地1200米处相遇． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴s与x的函数关系式为：， 图像如图②所示， （4）解：当时，则，解得：， ，解得：， 如图， 由图象可得：当两人之间的距离小于3000m时，则x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图象，一次函数的应用，从图象中获取作息是解题的关键． 10 11 学科网（北京）股份有限公司 $$