2024-2025学年江苏省南京市八年级数学上学期期末复习——几何压轴题

8年级数学期末复习——几何压轴题 姓名：___________得分：__________ 一、解答题 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片， 【操作探究】 (1)如图1，点D是斜边的中点，将沿翻折得到，则______° (2)如图2，点M为边上一点，点N为边的中点，把沿翻折得到，若与的某边垂直且点P在的上方，，求的长． (3)如图3，将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰，点E是边上的一点，将沿翻折得到，边与边交于点G，且；如图4，再将沿翻折得到，边与边分别交于点P、点Q，若，则线段的长为______（直接写出结果） 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）（1）【阅读理解】如图1，在中，，是斜边上的中线，则与的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图2，等腰中，，延长到E，以为斜边，在的下方作等腰，，连接，点F是边的中点，连接，若，，①试判断的形状；②求的面积． （3）【拓展延伸】如图3，在等腰中，，点E在延长线上，点D在延长线上，以为斜边，在的上方作等腰，，点F是边的中点，连接，若，，试直接表示出的面积 （用含a、b的代数式表示）． 3．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． (1)若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时CE＝　 　； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 4．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，于点，，分别交、于、． (1)如图1，，，求的长度； (2)如图2，取中点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，请直接写出的值． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿△ABC的边 运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在学习中，我们知道直角三角形具有一种特性，即斜边上的中线可以把直角三角形分成两个等腰三角形． (1)圆圆发现，某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你在图①的三角形中画出一条线段，把它们分成两个等腰三角形． （画出分割线，在图上标出所有等腰三角形底角的度数或含x的代数式以下要求与此相同） (2)满满发现，在某些情况下，三角形的内角满足如图②所示的关系时，也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你尝试解决．（设） (3)如图④，乐乐发现对于顶角是的等腰三角形，可以通过2条线段将其分成3个等腰三角形，请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将顶角为的等腰三角形分成3个等腰三角形． (4)如图⑤，在中，，设，请按乐乐的方式用三种不同的方法将分成3个等腰三角形． 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【引例】 如图，点、、在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形和，，，连接、．则与的关系是______． 【模型建立】 如图，在和中，，，，连接、相交于点．求证： ①； ②． 【拓展应用】 如图，在四边形中，对角线与交于点，，，．若，，求的值． 13．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）【旧题重现】 （1）《学习与评价》P19有这样一道习题： 如图①，分别是和的边上的中线，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格． 【深入研究】 （2）如图③，分别是和的边上的中线，．判断与是否仍然全等，并说明理由． 【类比思考】 （3）下列命题中是真命题的是．（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ④底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 概念理解 如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 性质探究 如图②，已知四边形纸片是筝形，对角线，相交于点O，从不同角度写出三个正确的结论； 拓展应用 如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． ①求证：四边形是筝形； ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，，，，求的长． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 16．（23-24八年级上·江苏南京·期末）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 17．（21-22八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10 (1)若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式； (2)已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标； (3)直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（22-23八年级上·江苏南京·期末）我们知道：角平分线上的点到角的两边距离相等，如图①，E是的平分线上任意一点，若，垂足分别为C，D，则． 换一种眼光看：如图①，OP是的平分线，C、D、E分别是上的动点，若，则． (1)一般化：如图②，射线是的平分线，C，D，E分别是上的动点，若，则与的数量关系是 ． (2)再倒过来想一想：如图③，是的平分线，C、D、E分别是上的动点，若，则与有什么关系？请将图形补充完整并结合图形证明你的结论； (3)用用看：已知点在y轴上，点在函数的图像上，点C在函数的图像上，连接，若，直接写出点C的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)60 (2)4或或 (3) 【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和折叠的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，过点N作于点D，利用折叠的性质和直角三角形的性质解答即可；②当时，设交于点D，利用折叠的性质和直角三角形的性质解答即可；③当时，延长交于点D，用折叠的性质和等腰三角形的性质解答即可； （3）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1），点D是斜边的中点， ， 将沿翻折得到， ， 故答案为：60； （2）①当时，过点N作于点D，如图， 把沿翻折得到， ， ， 点N为边的中点，， ， ，， ， ②当时，设交于点D，如图， ，， ， 把沿翻折得到， ，，，， ， ， ， ， ③当时，延长交于点D，如图， ，， ， ， ， 把沿翻折得到， ， ， ， 综上，的长4或或 （3）将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰， ，，，， 将沿翻折得到， ，，， //， ，， ， 将沿翻折得到， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了几何的综合变换，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 2．（1）（2）等腰直角三角形，（3） 【分析】（1）延长至点使，证明，进而证明，即可得出结论； （2）①延长至点，使，证明，进一步证明，进而得到，即可；②勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，求出的长，再用三角形的面积公式进行求解即可； （3）先证明为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出的长，再用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）延长至点使，连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）可知：， 延长至点使，连接， 同（1）法可得：， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）∵，均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴的面积为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的应用．解题的关键是掌握倍长中线法，构造全等三角形．综合性强，难度较大，属于压轴题． 3．(1)见解析，①，②，见解析； (2)或 【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC； （2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC=90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E， ∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°， ∴DE===8， ∴CE=DC-DE=10-8=2； 故答案为：2； ②BC＝2BP，理由如下： ∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP， ∵CE∥AP， ∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP， ∴EP＝CP， ∴BP＝BC， ∴BC＝2BP； （2）（2）∵△PEC是直角三角形， 当∠EPC＝90°时， ∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP， ∴四边形ABPE是正方形， ∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时， 由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18， 设BP＝x，则PC＝x﹣6， 在Rt△ECP中，由勾股定理得： 182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上， 不符合题意，舍去， 综上：BP＝10或30． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题． 4．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论； （2）连接，由题意可知是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由是的中点，可知，可得是的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用即可证明，即可证得结论； （3）设，则，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵，， ∴，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 中，， ∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， 即：， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，正确作出辅助线,根据等面积法求线段长，是解决问题的关键． 6．(1) (2)28 (3)24 (4)10 (5) 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 7．（1）① （2）图见详解 （3）或或或 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可判断． （2）分别按照直径所对的圆周角为直角，和分别过点，作线段的垂线的方法即可找到四个点，使得为“智慧三角形”． （3）分当点在线段上，点在线段上时和当点在线段上，点在线段上时两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）∵直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半， ∴①是“智慧三角形”． 故答案为：①． （2）解：①选用圆规画出的垂直平分线，即可得出中点，以点为圆心，以为半径画圆，与直线相交的两个点，即为和，与连接形成的，，如图所示： ∵， ∴，均为智慧三角形． ②延长线段，再分别过，作线段的垂线，交直线于点和，与连接形成的，，如图所示： ∵， ∴，均为智慧三角形． （3）①当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， 解得：． 若，则， ∴， ∴． ②当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， 综上所述：满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一元一次方程，等边三角形的性质，圆周角，作图，动点问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题． 8．(1)的长为10 (2)线段的长度为4或6或 (3)或 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）解：①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①如图，当点P在线段上时： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②如图，当点P在延长线上时，连接， 设，则，， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键． 9．(1)10 (2)6或4或 (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1），，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①当点P在线段上时，如图： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②当点P在延长线上时，如图： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 10．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的应用； （1）根据题意，将顶角分为和，把它们分成两个等腰三角形； （2）将顶角分出一个的角，即可求解； （3）构造顶角为的两个等腰三角形，即可求解； （4）仿照（3）的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 11．（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）勾股定理求得，根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，即可得证； （3）连接，证明，得出，设正方形的边长为，，则，进而在中，勾股定理求得，即可得证． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵折叠， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴， ∵ ∴， （2）∵点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处， ∴， ∵把正方形对折后再展开，折痕为； ∴ ∴ ∴是等边三角形； （3）证明：设正方形的边长为， 根据折叠可得，， 则， 连接，如图所示， 在中， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：， ∴，即点是的三等分点． 12．引例：，；模型建立：①证明见解析；②证明见解析；拓展应用： 【分析】引例：如图，延长交于，证明得到，， 进而可得，得到，即可求解； 模型建立：①如图，设交于点，证明即可求证；②由可得，进而可得，即可求解； 拓展应用：如图，作，截取，连接，证明可得，由勾股定理得，，得到，代入已知即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】引例：解：如图，延长交于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 模型建立：证明：①如图，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 即； 拓展应用：如图，作，截取，连接，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（1）①；②；③；④；（2）与仍然全等；理由见解析；（3）①②④ 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接，证明．由全等三角形的性质得出，同理，证明．得出，，则可证明； （3）根据全等三角形的判定方法可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：与仍然全等；理由如下： 延长至E，使，连接，延长至，使，连接， ∵和分别是和的和边上的中线， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 同理． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 又， ∴； （3）解：①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确； ③两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误， 如图④，在与中，，但是与不全等． 故③不符合题意； ④底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确． 故答案为：①②④． 14．概念理解:是；性质探究：、、； ；，详见解析；拓展应用：①详见解析；②的度数为，，，详见解析；③的长为，详见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点， （1）根据题意得，，即可证明； （2）如图②，根据折叠性质可证明，可得，，，再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论； （3）①先证，再根据“筝形”的定义判断即可，②分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得；③有折叠性质可证四边形是正方形，设，根据勾股定理即可求解． 熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）由折叠性质得：，， ∴四边形是“筝形”, 故答案为：是； （2）、、； ；；理由如下： 如图②， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴；； （3）①如图③，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是四边形是“筝形”； ②当时，如图③， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴, ∴, ∵， ∴， 当时， ∴， ∴, ∵， ∴， 综上：的度数为，，； ③由折叠性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 15．（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键. （1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，可得四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解； 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 16．（1）1；（2）的坐标为或或；（3）且 【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：； （2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作于，可得，；当在下方时，； （3）求出直线过定点，当时，，，当时，，，直线过时，，把代入得，根据线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ，可得直线与平行四边形无公共点，画出图形可得答案． 【详解】解：（1）与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， 根据“关联距离”的定义得：， 故答案为：1； （2）当在上方时，如图：   ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当在线段上时，过作于，如图：   ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， ； 当在下方时，如图：   ， ， ； 综上所述，的坐标为或或； （3）如图：    当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时． ∵ ∴且 故答案为：且． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用． 17．(1) (2)（3，6）或（，） (3)存在，(12,12)或(-3,12) 【分析】（1）由对称性可得AB=8，OC=4，如图，由S△ABD=AD·OB=AB·DT求出D（3，0），用待定系数法即可求BD的解析式； （2）分两种情况：当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB，求出直线BA的解析式为y=x+6，设E（t，t+6），再由DE=3=，即可求E（，）；②当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB此时四边形BOCE是矩形，则E（3，6）； （3）当F点与D点关于B点对称时，BF=BD，设F（m，-2m+6），再由BD=BF=3=，即可求F点坐标；同理，当C点在y轴正半轴上时，求F点坐标． 【详解】（1）解：∵直线AB沿直线BD翻折点A对应点C落在y轴上， ∴直线BD为∠ABO的平分线所在直线， 如图所示，过点D作线段，DT⊥AB于点T．设点D（d，0），则 ∴OD=DT=d， 由对称性可知，AB=BC=10， ∵点B坐标为（0，6）， ∴OB=6 ∴在Rt△AOB中，OA===8 ∴AD=OA-OD=8-d， ∵S△ABD=AD·OB=AB·DT ∴(8-d)6= 解得：d=3 ∴D（3，0）， 设直线BD的解析式为y=kx+6（k≠0）， ∴， ∴， ∴y=-2x+6； （2）①如图2， 当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB， ∴E点在直线AB上， ∵D（3，0），A（8，0）， ∴AD=5， ∵OD=3， ∴DE=3， 设直线BA的解析式为y=k'x+b'， ∴， ∴， ∴y=x+6， 设E（t，t+6）， ∴3=， ∴t=， ∴E（，）； ②如图3， 当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB 此时四边形BOCE是矩形， ∴E（3，6）； 综上所述：E点坐标为（，）或（3，6）； （3）存在，理由如下： 如图4， 当F点与D点关于B点对称时，BF=BD， ∴S△ABD=S△ABF， ∵F点在直线BD上， 设F（m，-2m+6）， ∵BD===3， ∴BF=3=， ∴m=±3， ∴F（3，0）（舍）或F（-3，12）； 故点F坐标为（-3，12）； 如图5，当C点在y轴正半轴时 ∵点B(0，6)，BC=10， ∴C(0，16) ∴OC=16， ∴OB=6， 由对称性可知，AB= BC= 10， ∴OA= 8， ∵BD⊥AC， ∴∠OAC +∠OCA=90°，∠ADN+∠NAD=90°， ∵∠CAO=∠DAN， ∴∠ADN=∠OCA， ∴tan∠OCA=， ∴， ∴OD=12， ∴D(－12，0) 设直线BD的解析式为：y=kx+b， ∴ 解得： ∴， ∵F点在直线BD上， 设F(m，)， ∵BD=， ∴BF=， ∴m=12， F(12，0)(舍)或F(12，12) 综上所述，F点的坐标为(12，12)或(-3，12)． 【点睛】本题是一次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合． 18．(1) (2)或 (3)或， 【分析】(1)证明即可解题； （2）分两种情况讨论，过E点作于点，推导解题即可； （3）过B、C点作于点，设C点坐标为：，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵，， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：如图，过E点作于点， 则 又∵是的平分线， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 如图，过E点作于点， 则 又∵是的平分线， ∴， ∵ ∴ ∴ 综上所述，或 （3）如图，过B、C点作于点，设C点坐标为： ∵， 由勾股定理可得： 即 解得：或， ∴C点坐标为：或， 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$