精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

嘉陵一中高2023级高二上期12月考 数学试卷 时间：120分钟总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量中不平行的是（ ） A. B. C. D. 2. 经过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ） A. A与B互斥 B. B与C互为对立 C. A与B相互独立 D. A与C相互独立 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 D. 已知直线过点，直线过点，若，则． 11. 已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（ ） A. 直线与直线的斜率之积为1 B. 若，则 C. 若，则 D. 若的面积为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 13. 当原点到动直线的距离最大时，实数的值为__________. 14. 已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线经过点，直线截圆的最长弦长为2，圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 16. 在三棱台中，若平面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 17. 猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． （1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；拋物线､即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为. （1）求二次函数的焦点的坐标和准线方程； （2）证明：二次函数上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等； （3）已知点，过点的直线与抛物线相交于两点，过点作轴的垂线与直线相交于点.证明：点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2023级高二上期12月考 数学试卷 时间：120分钟总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量中不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的条件判断． 【详解】A选项，，两向量平行； B选项，，两向量平行； C选项，零向量与任何向量平行； D选项，不存在实数使得或，两向量不平行， 故选：D． 2. 经过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点斜式方程即可求解； 【详解】由于倾斜角为，所以， 所以直线方程为：， 整理得：， 故选：A 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标可得向量，进而可模长. 【详解】由已知，， 则， 则， 故选：B. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量基本定理求解即可. 【详解】解：由，点为的中点， 可得， 又，． 故选：C. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ） A. A与B互斥 B. B与C互为对立 C. A与B相互独立 D. A与C相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据相互独立事件的判断公式判断CD. 【详解】对于A，A与B有可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，除了B，C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误； 第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3，包含的样本点为，故， 两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4，包含的样本点为， 故， 同时发生的事件包含样本点为，故， 所以，即不相互独立，故C错误； 两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7，包含的样本点为，故， 同时发生的事件包含的样本点为，故， 所以，即A与C相互独立，故D正确. 故选：D 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点到渐近线的距离为，结合垂直平分线得出，再转换可得离心率 ． 【详解】，渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为， 又由题意，所以， 而渐近线是的垂直平分线，则， 所以，， 故选：A． 7. 已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若在同一支上，则的最小值为通径；若在两支上，则的最小值为实轴两顶点的距离，由此列出不等式，求解即可. 【详解】由题意：若在同一支上，则；如果在两支上，则有； 因为存在4条直线满足，所以且，解得， 故选：C. 8. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：B． 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D． 【详解】A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确； B选项，中，所以四点共面，B正确； 选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面， 若共面，则存在实数，使得，所以，从而， 与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确； 选项D，时，是钝角或，D错． 故选：ABC． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 D. 已知直线过点，直线过点，若，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，整理成关于的方程即可；对B，举出过原点的反例即可；对C，作出图象并找到临界位置即可；对D，举出反例即可. 【详解】对于A，由直线方程，整理可得， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，过点，且在，轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为，B错误； 对C，根据题意作出图象，如图所示： 当直线过时，设直线的斜率为，则； 当直线过时，设直线的斜率为，则， 所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.，故C错误； 对D，当时，此时；，此时两直线垂直，故D错误. 故选：BCD. 11. 已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（ ） A. 直线与直线的斜率之积为1 B. 若，则 C. 若，则 D. 若的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A，设，根据，即可判断A正确.对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，根据题意得到分别为双曲线的左、右焦点，即可判断C正确，对选项D，根据，得到，代入双曲线方程得到，再代入椭圆方程即可判断D正确. 【详解】 对选项A，由题意得，，设，则， 则，故A项正确； 对选项B， 不妨设在第一象限，若，，即. 所以，. 所以，故B项错误； 对选项C， 若，则分别为双曲线的左、右焦点， 则，即，故C项正确； 对选项D，，解得， 代入双曲线方程求得， 再代入椭圆方程，求得，故D项正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面的距离公式直接计算. 【详解】由已知，， 则， 则， 故答案为：. 13. 当原点到动直线的距离最大时，实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据动直线恒过定点知距离最大时直线，利用斜率的关系列方程，求解即可. 【详解】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 14. 已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由离心率得出，可得双曲线方程为，然后由求得，再根据双曲线的定义求得三角形周长． 【详解】由题意，即，化简和是，， 因此双曲线方程为，右焦点为，渐近线方程为， 不妨设直线方程为，设， 由得， ，，， 所以，解得，从而， 由双曲线的定义可得， 所以， 从而的周长为， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：在双曲线中弦过焦点，则焦点的周长是（其中）． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线经过点，直线截圆的最长弦长为2，圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心和半径即可求解圆的方程， （2）根据有无斜率，结合点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由已知得圆心为，直径为2，故半径为1， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 直线经过点，与圆相切， 当的斜率不存在时，方程为，与圆相切，满足题意； 当的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 在三棱台中，若平面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 【答案】（1）证明： 在三棱台中，平面，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得 ，，由分别是的中点，得，， 则， 因此，而点直线， 所以.又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明，然后由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则令，得. 设平面的法向量，则令，得. 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值． 17. 猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． （1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求解即可； （2）设事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，先求出甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率，再由对立事件的性质和相互独立事件的乘法公式求解即可； 【小问1详解】 设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”． 则，，故，， 因为事件A与事件B相互独立， 所以． 【小问2详解】 设事件D=“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”， 事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”， 因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么 ． 所以，，所以． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；拋物线､即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为. （1）求二次函数的焦点的坐标和准线方程； （2）证明：二次函数上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等； （3）已知点，过点的直线与抛物线相交于两点，过点作轴的垂线与直线相交于点.证明：点在定直线上. 【答案】（1）焦点坐标为，. （2） 设为二次函数上任意一点，则， 故； 而到准线的距离， 故二次函数上任意一点与焦点的距离和到准线的距离相等. （3） 显然直线的斜率存在，故设直线， 与联立，整理得：； 设，则由韦达定理：； 直线，故； 故 ，故，即：点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据函数平移得出焦点的坐标和准线方程； （2）应用两点间距离公式及点到直线距离计算证明即可； （3）联立直线和抛物线结合韦达定理得出计算即可证明. 【小问1详解】 二次函数，它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线､即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $