7.1.2两条直线垂直-2024-2025学年七年级下册数学同步讲与练（人教版2024）

垂直的定义 图形 几何语言 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° 注意：垂直的定义具有性质和判定的双重性作用。即知直角得线垂直，知线垂直得直角。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° （性质） 因为∠AOD=90° 所以AB⊥CD （判定） 【基础练习】 【练习1-1】．如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【练习1-1】．如图，，平分，则__________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，由垂直的定义得，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：45． 名称 图例 垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已直线的垂线(如图所示)． 垂线段的定义 如图,P为直线外一点,PM⊥,垂足为M,则线段PM就是点P到直线的垂线段 注意： (1) 如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2) 垂线是直线，不可度量，垂线段是线段,可以度量. 【基础练习】 【练习2-1】．过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【解答】解：A选项，没有过点P，过该选项不符合题意； B选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； C选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意； D选项，PA没有垂直于AB，故该选项不符合题意； 故选：B． 【练习2-2】．下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可；. 【详解】观察各选项图形，可知D的画法正确； 故选D． 性质一 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质二 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 注意： （1）性质一成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质二是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短． 【基础练习】 【练习3-1】．如图，在平面内过A点作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【解析】 【分析】垂线的性质，可直接得结论． 【解答】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1． 故选：B． 【练习3-2】．如图，在同一平面内，，垂足为，则与重合的理由是（ ）． A. 两点确定一条直线 B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂线段最短 D. 已知直线的垂线只有一条 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线的性质，正确掌握垂线的性质是解题关键． 直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案． 【详解】解：在同一平面内，，垂足为， 则与重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：B． 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度。 【基础练习】 【练习4-1】．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟知相关的定义是解答本题的关键 根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可． 【详解】解：A、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故此选项符合题意； 故选：D． 【练习4-2】．在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断． 【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项． 故选：A． 【典例】． 如图，已知直线和相交于点，于点，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，由垂直可得，由角平分线可得，再由对顶角即可得到的度数，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-1】．如图，于点O，经过点O，若，则的度数为_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据垂直的定义得出，再根据对顶角相等得出，最后根据角的和差即可得出答案． 【详解】 ， 故答案为：． 【变式1-2】．如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． （1）写出的两个补角； （2）若，求和的度数； （3）试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】（1） （2） （3）垂直，见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义结合邻补角的性质即可解答； （2）根据角平分线的定义和邻补角的性质解答即可； （3）根据角平分线的定义和邻补角的性质可得，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴的两个补角为：； 【小问2详解】 ∵是的平分线， ， ∴，， ∴； ∵是的平分线． ∴， 即； 【小问3详解】 射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； 即射线与互相垂直． 【典例】．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断. 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段， 故选A． 【变式2-1】．按下列语句画出图形： （1）直线l经过A、B、C三点，点C在点A与点B之间； （2）P是直线a外一点，经过点P有一条直线b与直线a相交于点Q； （3）P是内一点，过点P作射线的垂线，垂足为E． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】根据题意画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图所示： ； 【小问3详解】 解：如图所示： ． 【变式2-2】．下面图1、图2是两个由小正方形组成的的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点．请只用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图1中过点C画线段的垂线； （2）在图2中画一个以点A为顶点且与互余的角． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图即利用格点画垂线，根据垂线的性质可得到结果． 【小问1详解】 解：由图可得：横着占1个网格，纵向占3个网格， 则的垂线横着占3个网格，纵向占1个网格， 因为过点C，则从C点向上一个网格同时向左3个网格得到点D， 连接，即为的垂线， 如图1，直线即为所求： ； 【小问2详解】 解：∵画一个以点A为顶点且与互余的角， ∴要画的垂线， ∵横着占3个网格，纵向占1个网格， ∴过点A向左1个网格，向下3个网格即可得到点D， 连接即为垂线， 如图2，即为所求： ． 过一点画已知直线的垂线的方法技巧 一落 让三角尺的一直角边落在已知直线上,并与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺,使其另一直角边经过已知点 三画 沿该直角边画直线,则这条直线就是过这点的已知直线的垂线 错误警示： 线段、射线的垂线是指它们所在的直线的垂线．因此,垂足可能在线段或射线上,也可能在它们的延长线或反向延长线上。 【典例】． 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可得． 【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短 故选：C． 【变式3-1】． 如图，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是_____________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质，根据垂线段最短的性质填写即可，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∴由垂线段最短可知是最短的， 故答案为：垂线段最短． 【变式3-2】． 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【详解】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用 （1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段． ⑴连结，，交于点，则为所求的蓄水池点． ⑵过作于，沿开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图） 方法技巧：数学建模法 把实际问题中的位置关系和数量关系描述出来,利用与之相关的数学知识来解决问题,体现了数学建模法的应用。 【典例】．如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A. 点B到的垂线段是线段 B. 点C到的垂线段是线段 C. 线段是点D到的垂线段 D. 线段是点B到的垂线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键；根据垂线段的定义逐项判断即可； 【详解】解：、点B到的垂线段是线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、点C到的垂线段是线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、线段是点A到的垂线段，原说法错误，故本选项符合题意； 、线段是点B到的垂线段，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式4-1】．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（　　）的长度． A．CD B．AD C．BD D．BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴点A到AB的距离是线段AD的长度， 故选：B． 【变式4-2】．如图，在直角三角形中，． （1）点B到的距离是 ；点A到的距离是 ； （2）画出表示点C到的垂线段，并求出的长； （3） （填“＞”“＜”或“=”)，理由是 ． 【答案】（1）4，3 （2）画图见解析， （3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，画三角形的高．也考查了垂线段最短． （1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出的长即可； （3）利用垂线段最短求解． 【小问1详解】 由题意得：点到的距离是；点到的距是． 故答案为4，3； 【小问2详解】 如图，为所作； ， ， ， ； 【小问3详解】 ． 理由是垂线段最短； 故答案为：，垂线段最短． 1．如图所示，过点M作直线的垂线，垂足在（ ） A. 直线上 B. 直线的延长线上 C. 直线的反向延长线上 D. 直线外 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，根据垂线的定义作图即可得出结论． 【详解】解：如图，由于直线可以向两端无限延伸，故垂足在直线上， 故选：A． 2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 平行线间的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短的性质解答． 【详解】老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短． 故选C． 3．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为（ ） A 7m B. 6m C. m D. 4m 【答案】D 【解析】 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P到直线的距离小于． 故选：D． 4．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：C． 5．如图，，垂足为，P是线段上一点，连接的长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段的性质和三角形中的等面积法，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：在中，，垂足为， ∵当时，的值最小， 中，由等面积法可得：， 即：， ， ∴线段的值不可能是4． 故选：A． 6． 如图要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：________________________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：设计的依据为：点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 7．如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米． 8．如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 9．如图，点在直线上，过点作射线、，使，当时，的度数为________． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查角的知识，解题的关键掌握平角和直角的性质，根据题意，得到，，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知，．若，则_________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】此题考查了角的计算，垂线定义理解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．直接利用垂直的定义结合已知得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，． 【答案】10或70##70或10 【解析】 【分析】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴，， ∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转， ∴(秒)； 如图，， ∵，， ∴，， ∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转， ∴旋转角为， ∴(秒)； 故答案为：10或70． 12． 如图，在的正方形网格中有三角形，点均在格点上. （1）画出点到直线的最短路径； （2）将三角形向左平移格，再向下平移格后得到三角形，画出三角形. 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（）利用网格作垂直特点即可； （2）利用网格特点和平移的性质即可； 本题主要考查几何图形的变换，垂直的综合，掌握平移的规律，垂线的作法和性质是解题的关键． 【小问1详解】 根据网格作垂直特点可得， ∴即为所求； 【小问2详解】 利用网格特点和平移的性质如图， ∴三角形即为所求． 13． 如图，，垂足为D，点E在AC上，，．求的度数． 【答案】98° 【解析】 【分析】先求出∠C的度数，再利用三角形外角性质求出答案． 【详解】解：∵， ∴∠ADC=90°， ∴∠C=90°-∠A=58°， ∵． ∴=∠B+∠C=58°+40°=98°． 14．如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，求∠BOD的度数． 【答案】18° 【解析】 【分析】先根据垂直的定义求出∠EOF＝54°，根据角平分线的定义得到∠AOF＝∠EOF＝54°，进而求出∠AOC＝18°，再根据对顶角线段得到∠BOD＝∠AOC＝18°． 【详解】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠COF＝36°， ∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝54°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝54°， ∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝18°， ∴∠BOD＝∠AOC＝18°． 15．如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后再利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据已知和平角定义可得，再利用对顶角相等可得，然后再利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的度数为； （2）解：， ， ， ， ， 的度数为． 16．如图，直线，交于点O，． （1）若，求的度数； （2）若，平分，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关系． （1）由对顶角相等求出，再根据，即可得出结果； （2）设，则，利用邻补角定义求出，利用对顶角相等求出，根据平分，求出，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 17． 如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题目考查垂直的定义，角平分线有关的角的计算，邻补角有关的角的计算．熟练掌握角的和差倍分的计算是解题的关键． （1）根据，，问题转化为求的度数．平分，则． （2）设，则，，，再根据，则，求解得出x值，最后根据求解即可． 小问1详解】 解：， ． ， ， ， 平分， ． 【小问2详解】 解：， ． ∵， 设，则， ∴， 平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 18．根据要求画图，并回答问题． 已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB． （1）过点O画直线MN⊥CD； （2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）∠EOF的度数为35°或145°． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出直线MN即可； （2）当F在OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；当F在ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB+∠BON即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如上图：①当F在OM上时． ∵EO⊥AB，MN⊥CD，∴∠EOB＝∠MOD＝90°，∴∠MOE+∠EOD＝90°，∠EOD+∠BOD＝90°，∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°； ②当F在ON上时，如图在F′点时． ∵MN⊥CD，∴∠MOC＝90°＝∠AOC+∠AOM，∴∠AOM＝90°﹣∠AOC＝55°，∴∠BON＝∠AOM＝55°，∴∠EOF′＝∠EOB+∠BON＝90°+55°＝145°． 答：∠EOF的度数是35°或145°． 19．如图，直线与相交于点O，垂直，垂直，是的平分线． （1）请直接写出图中的邻补角； （2）如果，求的度数； （3）在（2）的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）当在的上方时， ；当在的下方时， 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角的定义： （1）根据邻补角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义得到，则，再由垂直的定义得到，则，同理得，则； （3）分当在的上方时 ，当在的下方时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，的邻补角为； 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当在的上方时， 由（2）可得， ∵， ∴； 当在的下方时， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当在的上方时， ；当在的下方时，． 20．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）当点E，F在直线AB的同侧； ①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数； ②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由； （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°． 【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数； ②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论； （2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可． 【详解】解：（1）①∵OF⊥CD于点O， ∴∠COF＝90°， ∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°， ∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°， ∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°； ∴∠EOF的度数为45°； ②平分，理由如下： ∵OF平分∠BOE， ∴∠EOF＝∠FOB＝， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°， ∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE． （2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②， ①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°； 当点E和点F在直线AB的异侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②， 1 +2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°． 综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°． 1．（2021•杭州中考真题）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ） A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论． 【详解】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT， ∴PT≥PQ， 故选：C． 2．（2024•四川雅安中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 垂直的定义 图形 几何语言 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° 注意：垂直的定义具有性质和判定的双重性作用。即知直角得线垂直，知线垂直得直角。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° （性质） 因为∠AOD=90° 所以AB⊥CD （判定） 【基础练习】 【练习1-1】．如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【练习1-2】．如图，，平分，则__________． 名称 图例 垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已直线的垂线(如图所示)． 垂线段的定义 如图,P为直线外一点,PM⊥,垂足为M,则线段PM就是点P到直线的垂线段 注意： (1) 如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2) 垂线是直线，不可度量，垂线段是线段,可以度量. 【基础练习】 【练习2-1】．过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【练习2-2】．下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（ ） A. B. C. D. 性质一 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质二 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 注意： （1）性质一成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质二是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短． 【基础练习】 【练习3-1】．如图，在平面内过A点作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【练习3-1】．如图，在同一平面内，，垂足为，则与重合的理由是（ ）． A. 两点确定一条直线 B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂线段最短 D. 已知直线的垂线只有一条 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度。 【基础练习】 【练习4-1】．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ） A. B. C. D. 【练习4-2】．在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ） A．B．C．D． 【典例】． 如图，已知直线和相交于点，于点，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】．如图，于点O，经过点O，若，则的度数为_____________． 【变式1-2】. 如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． （1）写出的两个补角； （2）若，求和的度数； （3）试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【典例】．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( ) A. B. C. D. 【变式2-1】．按下列语句画出图形： （1）直线l经过A、B、C三点，点C在点A与点B之间； （2）P是直线a外一点，经过点P有一条直线b与直线a相交于点Q； （3）P是内一点，过点P作射线的垂线，垂足为E． 【变式2-1】．下面图1、图2是两个由小正方形组成的的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点．请只用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图1中过点C画线段的垂线； （2）在图2中画一个以点A为顶点且与互余的角． 过一点画已知直线的垂线的方法技巧 一落 让三角尺的一直角边落在已知直线上,并与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺,使其另一直角边经过已知点 三画 沿该直角边画直线,则这条直线就是过这点的已知直线的垂线 错误警示： 线段、射线的垂线是指它们所在的直线的垂线．因此,垂足可能在线段或射线上,也可能在它们的延长线或反向延长线上。 【典例】． 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【变式3-1】． 如图，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是_____________． 【变式3-2】． 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据． 方法技巧：数学建模法 把实际问题中的位置关系和数量关系描述出来,利用与之相关的数学知识来解决问题,体现了数学建模法的应用。 【典例】．如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A. 点B到的垂线段是线段 B. 点C到的垂线段是线段 C. 线段是点D到的垂线段 D. 线段是点B到的垂线段 【变式4-1】．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（　　）的长度． A．CD B．AD C．BD D．BC 【变式4-2】．如图，在直角三角形中，． （1）点B到的距离是 ；点A到的距离是 ； （2）画出表示点C到的垂线段，并求出的长； （3） （填“＞”“＜”或“=”)，理由是 ． 1．如图所示，过点M作直线的垂线，垂足在（ ） A. 直线上 B. 直线的延长线上 C. 直线的反向延长线上 D. 直线外 2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 平行线间的距离相等 3．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为（ ） A 7m B. 6m C. m D. 4m 4．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 5．如图，，垂足为，P是线段上一点，连接的长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6． 如图要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：________________________． 7．如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是______米． 8．如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 9．如图，点在直线上，过点作射线、，使，当时，的度数为________． 10．如图，已知，．若，则_________． 11．如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，． 12． 如图，在的正方形网格中有三角形，点均在格点上. （1）画出点到直线的最短路径； （2）将三角形向左平移格，再向下平移格后得到三角形，画出三角形. 13． 如图，，垂足为D，点E在AC上，，．求的度数． 14．如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，求∠BOD的度数． 15．如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 16．如图，直线，交于点O，． （1）若，求的度数； （2）若，平分，求． 17． 如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 18．根据要求画图，并回答问题． 已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB． （1）过点O画直线MN⊥CD； （2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数． 19．如图，直线与相交于点O，垂直，垂直，是的平分线． （1）请直接写出图中的邻补角； （2）如果，求的度数； （3）在（2）的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 20．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）当点E，F在直线AB的同侧； ①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数； ②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由； （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 1．（2021•杭州中考真题）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ） A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ 2．（2024•四川雅安中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$