期末复习练习：三角形的有关证明 2024-2025学年鲁教版（五四学制）（2012）数学七年级上学期

期末复习练习：三角形的有关证明 一、单选题 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是(     ) A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．2、3、4 2．下列三条线段不能构成直角三角形的是（    ） A．32，42 ，52 B．5，12，13 C．24，25，7 D．1，， 3．如图，一艘轮船在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，相距40海里，轮船从B处沿南偏东20°方向匀速航行至C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　） A．20海里 B．40海里 C．20海里 D．40海里 4．阅读下面材料： 已知线段a，b． 求作：，使得斜边，一条直角边． 作法： （1）作射线、，且． （2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C． （3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B． （4）连接．则就是所求作的三角形． 上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是中的角平分线，于点，，，那么的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．无法确定 二、填空题 6．如图，，垂足为，且，，若，则 ． 7．有下列条件：①，，；②、；③，，；④，，．其中，不能画出唯一的（即不能确定的形状与大小）的是 ．（填序号） 8．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    9．如图，已知点，，的三个顶点分别与点重合，当点在轴上从点开始向点滑动（到达点时停止），同时点沿轴向右滑动，在此运动过程中，点的运动路径长是 ． 10．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA=1.1，AC=3.3,则AD= . 三、解答题 11．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）作图题：在AC边上，找一个点D，使点D到AB的距离等于DC，下列选项中，选出作法正确的__________； ①取AC的中点D； ②用尺规作角B的平分线，交AC于点D； ③用尺规作AB边的中垂线，交AC或其延长线于点D； （2）在（1）的条件下，若AB＝5，AC＝4，求CD的长． 12．如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置． 13．下面是某兴趣小组在活动课上的方案策划书，请仔细阅读，完成相应任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点，在无法直接测量的情况下，如何得到点的高度？ 项目图纸 解决过程 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；②使直杆顶端缓慢下滑，直到；③标记测试直杆的底端点，测量的长度，即为点的高度． (1)若，则________； (2)请你说明他们作法正确的原因． 14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长． 15．如图：已知点A（0，1），点B在第一象限，△OAB是等边三角形，点C是X轴上的动点，以AC为边作等边三角形△ACD(A、C、D三点按逆时针排列)，直线BD交Y轴于点E ①求证：△CAO≌△DAB； ②点C运动时，点E是动点还是定点？若是动点，指出其运动路径；若是定点，求其坐标； ③ 连接CE，若∠ACD=25°，求∠CED的度数． 16．将两个等腰直角三角形△ABC和△EDC按如图所示方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，且点D在AE上，连接BD． (1)求证：AE⊥BD； (2)若AD=1，△EDC的面积为9，求△ACB的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A B A B 1．D 【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A. 42+32=52，能构成直角三角形，故此选项错误； B. 62+82=102，能构成直角三角形，故此选项错误； C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项错误； D. 22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 2．A 【详解】试题解析：A、（32）2+（42）2≠（52）2，所以此三角形不是直角三角形，故本选项正确； B、因为52+122=132，所以此三角形是直角三角形，故本选项错误； C、因为72+242=252，所以此三角形是直角三角形，故本选项错误； D、因为12+（）2=（）2，所以此三角形是直角三角形，故本选项错误； 故选A． 3．B 【详解】根据题意得：∠ABC=50°-20°=30°，∠ACB=10°+20°=30°， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AC=AB=40海里， 故选B． 4．A 【分析】由作法可知，根据即可判定三角形全等． 【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定． 5．B 【分析】过作，垂足为，根据角平分线的性质可得DF，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过作，垂足为， 平分，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质．理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键． 6． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，可证得，，进而可求得． 【详解】∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴． 故答案为：． 7．②③/③② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，根据“边边边”能画出唯一的； ②、，已知斜边和直角，不能确定两直角边的长度，不能画出唯一的； ③，，，不能运用“边边角”确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，根据“角角边”能画出唯一的； 综上所述，不能画出唯一的的有②③， 故答案为：②③ ． 8．4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 9．3 【分析】过点作轴，轴，由，可以判断的运动轨迹是第四象限角平分线上的一段线段，长度为长． 【详解】解：过点作轴，轴， ， ，， ，即与均是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在第四象限， 在第四象限角平分线上运动， 当运动到处时，长度最大为，即点的运动路径长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的运动轨迹，根据两个三角形全等的判定与性质，确定点的运动路径是解决问题的关键． 10．2.2 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到DF=AC=3.3，再由AD=DF-AF即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=3.3， ∴AD=DF-AF=3.3-1.1=2.2． 故答案为2.2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得出DF的长是解决此题的关键． 11．（1）②，作图见解析；（2） 【分析】（1）利用角平分线的性质定理解决问题即可． （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）作∠ABC的角平分线交AC于点D． 故答案为：②． （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E， 由作图知：CD=DE， ∵AB=5，AC=4， ∴AB2=AC2+BC2， ∴BC=3， 在Rt△BDC和Rt△BDE中， ， ∴Rt△BDC≌Rt△BDE， ∴BE=BC=3， ∵DE⊥AB，设CD=x，则DE=x，AE=5-3=2， 在Rt△ADE中：AD2=AE2+DE2， 即：(4-x)2=4+x2， 解得：x=， ∴CD的长为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求． 13．(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，三角形内角和定理，理解题意，从模型中抽象出几何等量是解本题的关键； （1）由证明，得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）由得到即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴． 即测量的长度，就等于的长度，即点A的高度． 14．8 【分析】本题考查了垂直平分线，三角形的周长，根据垂直平分得，．根据，得，根据的周长为，得 ，即可得；掌握垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∵的周长为， ∴， 即的长为8． 15．①证明见解析；②是定点；E(0，1)；③∠CED为85°或35°． 【分析】①根据△ACD与△OAB为等边三角形，得出AC=AD，AO=AB，∠CAO=∠DAB，即可证得△CAO≌△DAB； ②根据已知条件可求得∠AEB=30°，进而可求出点E的坐标； ③由①得∠ADB=∠ACO=25°，由②得x轴垂直平分AE，进而可求得∠CED=∠CDE，分两种情况讨论：D在第一象限和第三象限，进而可求得∠CED． 【详解】①证明：∵△ACD与△OAB为等边三角形， ∴AC=AD，AO=AB，∠CAD=∠OAB， ∴∠CAO=∠DAB， ∴△CAO≌△DAB； ②点E是定点， ∵A(0，1)， ∴OA=AB=1， 由①得∠ABD=∠AOC=90° ， 又∵∠OAB=60°， ∴∠AEB=30°， ∴AE=2AB=2， OE=AE-OA=2-1=1， ∴E(0，1)， ③由①得∠ADB=∠ACO=25°，由②得x轴垂直平分AE， ∴AC=EC， 又∵AC=DC， ∴CE=CD， ∴∠CED=∠CDE， 当D在第三象限时，∠CED=∠CDE=60+25=85°， 当D在第一象限时，∠CED=∠CDE=60-25=35°， ∴∠CED为85°或35°． 【点睛】本题考查三角形综合知识，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)△ACB的面积为． 【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCD可得结论； （2）由三角形面积公式求得EC的长，再由勾股定理可求AB的长，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠CAE=∠DBC， 设AC与BD相交于点H，由∠AHD=∠BHC， ∴∠ADB=∠ACB=90°， ∴AE⊥BD； （2）解：∵△ECD是等腰直角三角形，且△EDC的面积为9， ∴DC×EC=9， 解得EC=3， ∴ED=EC=6， ∵AD=1， ∴AE=7， 由（1）得BD=AE=7， Rt△BDA中，BD=7，AD=1， ∴AB==5， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴AC=CB=AB=5， △ACB的面积=AC2=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$