2.1 简谐运动及其图像 课件 -2024-2025学年高二上学期物理教科版（2019）选择性必修第一册

§1 §2 简谐运动 第二章 机械振动 观察下图几个常见的运动，具有什么共同特点？ 小狗荡秋千的运动 钟摆的往复运动 新课引入 特点: 上述物体总是在某一位置附近做往复性的运动。 蜜蜂的翅膀 1.定义：我们把物体（或物体的一部分）在一个位置附近做的往复运动称为机械振动。简称振动。 2.平衡位置：物体不振动时静止的位置， 也是小球所受回复力为0的位置。 3.往复运动： “周期性、对称性” 一、机械振动 O点为平衡位置 1. 定义：小球和弹簧所组成的系统称做弹簧振子，有时也把这样的小球称做弹簧振子或简称振子。简称振子。 二、弹簧振子 轻弹簧+小球 2、条件： （1）忽略摩擦力等各种阻力； （2）小球看成质点； （3）轻弹簧：不计弹簧质量; （4）弹簧始终在弹性限度内。 理想模型 水平弹簧振子 竖直弹簧振子 非匀变速直线运动 弹簧振子的平衡位置一定在弹簧的原长位置吗？ 水平弹簧振子的平衡位置在弹簧的原长位置 5 弹 簧 振 子 水平弹簧振子 竖直弹簧振子 6 三、振动中的位移 相对于平衡位置时的位移 1、振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段； 一般规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 2、振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 深入理解 振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置． 如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置， t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN。 而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如右图所示． 振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别 通常说的振子的位移是指某时刻的位移，即振子相对平衡位置的位移.故在研究振动时，字母x具有双重含义：它既表示小球的位置(坐标)，又表示振子在某时刻的位移。 弹簧振子受力情况有什么特点？ O A B C D O A B C D O A B C D O A B C D 𝒙 𝒙 O A B C D O A B C D O A B C D O B C D A F方向总是指向平衡位置，x方向总是背离平衡位置 F回= - kx 9 四、回复力 1.定义： 振子离开平衡位置时，始终受到的指向平衡位置的力； 2.大小： F回= - kx k:比例系数(常量),不一定是劲度系数 x:振子相对平衡位置的位移 注： ①凡是符合F回= - kx的振动，物体就做简谐运动(P45资料卡片) ②对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数 “-”号表示F与x方向相反，即F总是指向平衡位置。 3.方向： 简谐运动的动力学依据 3.效果力： 根据力的作用效果命名的, 充当回复力的可以是某一个力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。 4.在平衡位置，回复力为零，合力不一定为零（单摆最低点） 弹簧振子的加速度有何特点呢？ a=F/m,与回复力变化情况相同。 a= 弹力 弹力和重力的合力 静摩擦力 简谐运动的定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动(即F合=-kx)叫做简谐运动 研究弹簧振子的运动： 小球在两个斜面间来回滚动是简谐运动吗？ 小球在同一个斜面上滚动时下滑力是不变的， 所以不是简谐运动。 两种判断物体做简谐运动的方法： ①x-t图像为正弦曲线 ②F-x 满足 F=-kx的形式 用第二种方法来判断竖直的弹簧拉一个小球的振动是不是简谐运动？ 证明步骤： 1、找平衡位置 2、找回复力 3、找F=kx 4、找方向关系 平衡位置: C点弹力: 振子在C点受的回复力： (符合简谐运动的公式) 1、对振动受力分析 2、沿振动方向对力进行合成或分解 3、找出回复力，判断是否符合F=-kx D 5、加速度a： 6、速度v： （式中“－”表示 a 的方向与位移的方向相反） a = F m =－ kx m 大小与方向都在改变 简谐运动是变加速运动 (1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的。(　 　) (2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反。(　 　) (3)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　 　) × √ × 易错辨析 观察：以下两个弹簧振子的运动有何不同？ (1).定义： 振动物体离开平衡位置的最大距离，表示物体振动的强弱; (2).对于给定的振动，区分振幅、位移和路程 b. 位移是相对平衡位置的位移，时刻在变化（大小和方向随时间做周期性变化）； 但振幅是不变的；路程随时间增加。 a. 位移是矢量，振幅、路程是标量。 五、描述简谐振动的物理量 1、振幅(A) c. 振幅等于位移最大值的数值；在一个完整周期内的路程等于4个振幅。 观察三个振子的快慢有何不同？ (1).定义：振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态所经历的过程。（即x、F、a、v（大小和方向）均与初态完全相同） 思考：O—D—B—D—O是一个周期吗？ 2、全振动 a.振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程。 b.不管从哪个位置开始运动,完成一次全振动的时间都相同。 (2).对振子完成一次全振动的理解: 3.周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T 表示，单位：s，表示物体振动快慢的物理量. 4.频率：单位时间内完成全振动的次数，用 f 表示，单位：Hz. 弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。 1 Hz＝1 s -1 振幅、位移和路程的关系   振幅 位移 路程 定义 振子离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度 矢、标性 标量 矢量 标量 变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加 联系 ①振幅等于最大位移的大小 ②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅 02 简谐运动中物理量的变化规律 机械振动 a v F F与v反方向 观察：位移x、回复力F、加速度a、速度v的变化关系 F与v同方向 振子偏离平衡位置 振子靠近平衡位置 O A B C D O A B C D O A B C D O A B C D 𝒙 𝒙 O A B C D O A B C D O A B C D O B C D A 分析弹簧振子振动过程中各物理量的变化（x、F、a、v) (课本P46填表) 1 2 3 4 5 6 7 8 x v F、a 动能 势能 A、B处 最大 减小 0 最大 增大 减小 增大 减小 增大 0 增大 减小 最大 减小 增大 O处 最大 0 0 最大 0 A O或B O O A或O B 方向判断：F与x反向，a与F同向，v在某点会出现往返两个方向。 简谐运动中的各个物理量变化规律 26 1. 各物理量变化规律 ③ 靠近平衡位置： x 、 F 、 a 、 EP均减小，v 、 EK均增大。 远离平衡位置： x 、 F 、 a 、 EP能均增大，v 、 EK均减小。 ① x和F（a）的方向相反， 大小变化趋势相同； ② v和F（a）的大小变化趋势相反； 2、简谐运动的对称性： 振子在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： t 的对称： ①关于平衡位置对称的两段位移经历的t相同：如tOB＝tAO，tOD＝tOC； ②通过B到D两点的时间与通过B D到B两点的时间相等，tBD＝tDB (2) v 的对称: ①连续两次经过同一点（D点）的v大小相等，方向相反; ②对称点（C与D两点）的v大小相等，方向可同可反。 (3) x和a的对称： ①同一点(C点)时，x和a均相同； ②对称点(C点与D点)时，x与a均大小相等，方向相反。 (4) EK、 EP 、 E的对称：能量是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 3.振子在时间t内经过的路程S 1. 一个周期，回到原位置，路程一定为4A; 2. 半个周期，回到对称位置，路程一定为2A; 3. 四分之一个周期，要看计时起点： 起点在平衡位置或两端点：S=A 起点不在平衡位置或两端点,且向远离平衡位置运动：S＜A 起点不在平衡位置或两端点,且向平衡位置运动：S＞A 振子连续两次通过P位置，下列各量哪些是相同的？ 位移（ ） 回复力（ ） 加速度（ ） 动能（ ） 势能（ ） 速率（ ） 速度（ ） √ × √ √ √ √ √ O B A P x C B O 规定向右为正方向 弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？ 小球的速度在不断变化 动能在变化； 弹簧的伸长量或压缩量在不断变化 势能也在变化。 3、简谐运动的能量 弹性势能的大小取决于弹簧的形变量 振子到达最大位移时，动能为O，势能最大。 振子通过平衡位置时， 动能最大，势能为O。 能量转化规律：动能与弹性势能相互转化，但总量保持不变。 1.简谐运动中动能和势能相互转化，但机械能总量不变，即机械能守恒，是理想化模型。 2.简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 3.物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t及E-t图象 t E 0 机械能 势能 动能 B C O 3、简谐运动的能量 C B O E= EK+ EP = EKmax = Epmax 例1（多选）弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是（　　） A．振子在A、B两点时的速度为零位移不为零 B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变 C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反 D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动 【答案】AD 【详解】A．振子在A、B两点时的速度为零，但位移为最大，A正确；B．振子经过O点时速度方向不变，B错误；C．弹力的方向有时也与速度方向相同，C错误。D．振子离开O点运动时，加速度方向与速度方向相反，是减速运动；靠近O点运动时，加速度方向与速度方向相同，是加速运动，D正确。故选AD。 　如图所示，一水平放置的弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是20 cm，B→O运动时间是1 s，则 A.振动周期是2 s，振幅是10 cm B.从B→O→C振子做了一次全振动 C.经过三次全振动，通过的路程是80 cm D.从B开始计时，3 s时振子通过的路程是30 cm 例2 √ 从B→O→C→O→B是一次全振动，故B错误； 经过一次全振动，振子通过的路程是4A，三次全振动通过的路程是120 cm，故C错误； 　(2023·南充市高二月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，以D点所在水平面为重力势能等于零时的参考平面，则下列说法正确的是 A.振子在C、D时速度为0，加速度相同 B.t＝0.15 s，弹簧的弹性势能最大，振 子的加速度最大 C.t＝0.1 s，振子的加速度为正，速度也为正 D.t＝0.05 s，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小 例3 √ AB 4、如图所示,物体A置于物体B上,一轻弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度范围内,A和B在光滑水平面上往复运动(不计空气阻力),并保持相对静止.则下列说法正确的是( ) A.A和B均做简谐运动 B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C.B对A的静摩擦力对A做功,而A对B的静摩擦力对B不做功 D.A和B一起(相对静止)振动的振幅不能大于 G N fBA 对A､B整体 -kx=(mA+mB)a 对A： f=mAa fBA远离平衡位置时对A做负功，靠近时做正功 例5. 在光滑水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,振子质量为M,振动的最大速度为v0,如图所示,当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上,则: (1)要保持物体和振子一起振动起来，两者间的摩擦因数至少是多少?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) (2)一起振动时，两者过平衡位置的速度多大? 振幅又是多少? mg N f (1)放物体前最大回复力F =kA, 整体最大加速度为： (2)振动的最大机械能为 弹簧为原长弹性势能为零，有 解得 m和M在最大位移处动能为零,势能最大,且与没放m前相同，所以弹簧的最大形变相同，即振幅仍为A. AD 6. 如图所示，一个轻弹簧竖直固定在水平地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，小球以相同的速度通过A、B两点，历时1s，过B点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内通过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小球在做简谐运动的过程中 1）周期为 ；振幅为 ； 2） 小球由M点下落到N点的过程中，动能EK、重力势能EP、弹性势能EP’的变化为 ； 3） 小球在最低点N点的加速度大小 重力加速度g（填>、＝、<）. （1）4s，3cm； （2）先增大后减小，一直减小 ， 一直增大； （3）= M A O B N 　(2024·南充市高二月考)物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过4 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2 s后物体紧接着又通过B点，已知物体在6 s内经过的路程为6 cm。则物体运动的周期和振幅分别为 A.4 s　6 cm B.12 s　3 cm C.8 s　12 cm D.8 s　3 cm 例7 √ 由简谐振动的规律可知，因为过A、B点速度相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称，即从O到B的时间为2 s，从B到速度为零的位置为1 s，故 ＝3 s，则T＝12 s，因为从A点开始到再次回到B点为半个周期，其路程为6 cm，则2A＝6 cm，得A＝3 cm，故选B。 返回 03 简谐运动图像 机械振动 描绘弹簧振子的位移—时间图像 o x o x o x 右边 左边 以平衡位置为坐标原点O， 规定向右为正方向。 O点右边位移为正；O点左边位移为负。 为了描述振子在不同时刻的位置，除了用一维坐标，还可以用什么呢？ 还可以列表、描点、连线 方法一：频闪照相法 记录数据（以向右为正方向） 列表、描点、连线 t/s x/mm 20 -20 10 -10 3t0 6t0 9t0 12t0 15t0 O 描绘弹簧振子的位移—时间图像 方法二：手动描图法(沙漏法) （1）请你拿起手中的笔，在白纸上方模拟水平弹簧振子在平衡位置附近左右往复运动，你会得到怎样的图像？ （2）一位同学匀速拉动白纸，另一同学沿与纸运动方向相垂直方向用笔往复画线段，你会得到怎样的图像？ 方法三：喷绘法 用横坐标表示物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置（原点O）的位移x（规定在O点右边为正，左边为负），建立坐标系，如图： 小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的位移。 （x-t图不是小球的运动轨迹！振子的运动轨迹是一条直线。） 振子的位移-时间（x-t）图 简谐运动 1、定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（x-t 图象）是一条正弦曲线， 这样的振动被称为简谐运动。 例：水平弹簧振子 2．特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于 平衡位置 对称，是一种周期性的 往复 运动。生活中的复杂振动都可以看成是很多简谐运动的合成. 3．性质：简谐运动是一种周期性的变加速运动。 4．能量：总的机械能保持守恒。 由简谐运动的图像获取的信息 B C C B O 小球在BC之间来回运动，O为平衡位置。 B：正方向最大位移，速度为零，弹力最大； C：负方向最大位移，速度为零，弹力最大； 位移 速度 弹簧弹力 加速度 B 负方向最大 零 最大 最大 O 零 最大 零 零 C 正方向最大 零 最大 最大 规定向右为正方向 1.图象意义: 或一个振子偏离平衡位置的位移随时间的变化规律 表示同一振子不同时刻所在的位置 二、简谐运动的x-t图像 2.图象应用: a. 振幅A：图像的峰值(｜sin(ωt+φ)｜≤1) 直接描述物理量 b. 周期T：相邻两个位移为正的最大值 或负的最大值之间的时间间隔 c. 任意时刻的位移x 方向： x＞0，正方向；x＜0，负方向 大小： 绝对值 T:相邻两个振动情况完全相同的位置之间的时间。 简 谐 运 动 a. 频率f=1/T 间接描述物理量 b. v（斜率） c. F回与a： d. 动能与势能的变化 方向： 大小： 斜率大小，越靠近平衡位置，速度越大 切线斜向上，正方向；切线斜向下，负方向 方向： 大小： x＞0，a＜0；x＜0，a＞0 x增加，a增加 x＝0时，F回＝0 、a＝0；x＝±A时，F回和a达最大值． v增加，Ek增加；x增加，Ep增加 F回= - kx 任意时刻质点的振动方向： 看下一时刻质点的位置 3.振动方程 振幅 圆频率 初相位(t=0时的 ) 相位 53 s s 例：写出振动方程. y=10sin(2π t) cm y=10sin(2π t+π/2) cm 几种常见图形的表达式，它们的初相位分别为？ （平衡位置开始计时） （最大位移开始计时） 2.先后释放，运动步调不一致。 1.同时释放，运动步调一致。 3.为了描述振动物体所处的状态和比较两振动物体的振动步调，引入相位这个物理量 描述周期性运动在某个时刻的状态。表示物体振动的步调。其单位是弧度(或度) 例如：两个用长度相同的悬线悬挂的小球，把它们拉起同样的角度同时放开，我们说它们的相位相同，如果两小球不同时释放，则后释放的小球相位落后于前一个的相位。 相位 位置 相位差：即两个具有相同ω的简谐振动在某一时刻的相位之差. 2、取值范围：－2π≤≤2π. 1、若>0，表示振动2比振动1超前。 若<0，表示振动2比振动1滞后。 ①同相：相位差为0，一般地为=2n (n=0,1,2,…) ②反相：相位差为 ，一般地为=(2n+1) (n=0,1,2,…) x1=Asin (ωt＋φ1)； x2=Asin (ωt＋φ2)； 相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1 A ABE 　A、B两个做简谐运动的物体的位移—时间图像如图所示。 请根据图像写出： (1)A的振幅是____ cm，周期是____ s；B的振幅 是____ cm，周期是____ s。 例3 0.5 0.4 0.2 0.8 由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。 (2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式分别为 xA＝________________，xB＝__________________。 0.5sin (5πt＋π) cm 【答案】D 【详解】以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力 因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB。故选D。 例．如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（　　） A．m做简谐运动， B．m做简谐运动， C．回复力 D．回复力 Lavf58.20.100 振子从B→O是次全振动，周期T＝4×1 s＝4 s，振幅A＝OB＝＝10 cm，故A错误； 从B开始3 s时间内振子做次全振动，3 s时振子位于O点，振子通过的路程是s＝3A＝30 cm，故D正确。 例．如图所示，质量为m的小球放在劲度系数为k的轻弹簧上，小球上下振动而又始终未脱离弹簧。则（　　） A．小球的最大振幅为 B．在最大振幅下弹簧对小球的最大弹力是mg C．小球在振动过程中机械能守恒 D．弹簧的最大弹性势能为 【答案】AD 【详解】A．最大振幅满足kA=mg即A= 故A正确； B．在A= 的条件下小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，在最低点有Fm-mg=mg得Fm=2mg故B错误； C．小球和弹簧组成的系统中只有重力和弹簧弹力做功，其机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故C错误； D．当小球到达最低点时弹簧的形变量最大，则弹性势能最大，根据机械能守恒得最大弹性势能为2mgA= 故D正确。故选AD。 例．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是（　　） A．x＝8×10－3sin   m B．x＝8×10－3sin  m C．x＝8×10－1sin   m D．x＝8×10－1sin   m 【答案】A 【详解】由题给条件可得A＝0.8 cm＝8×10－3 m，ω＝ ＝4π，φ＝ 所以振动表达式为x＝8×10－3sin   m 故选A。 例．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为 ，位移y的单位为m，时间t的单位为s，则（　　） A．弹簧振子的振幅为0.1m B．弹簧振子的周期为0.8s C．在 时，振子的运动速度最大 D．在任意 时间内，振子的路程均为 E．在任意 时间内，振子的路程均为 【详解】A．由 可知，弹簧振子的振幅为0.1m，故A正确； B．由 ，弹簧振子 由公式 可得，弹簧振子的周期为 故B正确； C．在 时， ，即振子到达正向最大位移处，此时振子的运动速度为零，故C错误； D．只有从振子处于平衡位置或者端点开始计时，经过 ，振子的路程 故D错误； E．在一个周期内，振子的路程等于振幅的4倍，即0.4m，故E正确。故选ABE。 由题图知，t＝0时刻A从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm。t＝0时刻B从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得ωB＝＝2.5π rad/s，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin (2.5πt＋) cm。 0.2sin (2.5πt＋) cm $$