四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟试题

南部二中期末考试数学模拟试题 时间120分钟 总分150分 一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2.若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 或2 3.已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ） A.若，则 B.两两共面，但不共面 C.一定存在，使得 D.一定能构成空间的一个基底 4.焦距为的双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5.设原点为O，直线 与圆交于A、B两点，当面积取最大值时，=( ) A. B. C. D. 或2 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱AB的中点，则异面直线D1E,B1D所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已经某“鞠”的表面上有四个点P、A、B、C，其中平面，，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8.某次抽奖活动有m（m）个外观相同的盒子，其中有n（）个内放有奖品，抽奖者随机选定一个盒子，在打开之前，组织方因为某种意外临时撤掉了一个没有奖品的盒子，此时组织方为了保证抽奖游戏顺利进行，给抽奖者提供了两个应急方案，方案一：坚持打开之前选定的盒子，中奖概率为p1;方案二：重新选定一个新盒子打开，中奖概率为p2.则对任意符合题意的m,n,都有（ ） A. p1< p2 B. p1= p2 C. p1> p2 D. p1和p2 的大小关系与m,n的取值有关 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A.数列的前n项和，则其通项公式为 B. 数列的通项公式为，则的最大项是第14项. C．数列是递减数列. D. 数列满足，则通项公式为 10.下列说法正确的是（ ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为 D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 11.已知是抛物线的焦点，M 是C上的点, O为坐标原点。则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时,的面积为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量，则方向上的投影向量坐标为 . 人数 平均支出(元) 方差 男生 6 35 6 女生 4 40 4 13.王老师为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个10人的样本，统计结果如表： 则该班学生每周购买零食的支出的总方差为 . 14.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 已知点F为抛物线的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则p的值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C: 直线 （1）证明直线恒过定点. (2)求直线被圆C截得的弦长最短时的方程及最短弦长. 16．为丰富学生的学习生活，某高中开设了“校本课程”．为了解学生对“校本课程”工作的认可程度，学校随机调查600名学生．根据这600名学生对“校本课程”工作认可程度给出的评分，分成[50 ,60) ，[60，70) ，[70 ,80)，[80 ,90) ，[90 ,100] 五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中 x的值和第60百分位数； （2）为了解部分学生给“校本课程”工作评分较低的原因，学校从评分在[70 ,90)分的学生中用分层抽样的方法随机选取 5人，再从这5人中任选两人进行座谈，求这两人的评分都在[80，90) 的概率； （3）若学生认可系数（认可系数= ) 不低于0.85，“校本课程”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．根据你所学的统计知识．结合认可系数，判断“校本课程”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，，二面角的余弦值为. （1）证明：四边形为菱形； （2）侧棱上是否存在点D，使得直线AD与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由. 18.（17分）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为. (1) 求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明：M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 19.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，点，若以x轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点P, Q在空间中的距离为“点P, Q关于x轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值； （2）若点D, P在平面直角坐标系中的坐标分别为，已知点P满足，求点P在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点E的两条直线EM, EN分别交椭圆于两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$南部二中期末考试数学模拟试题参考答案 一、单选题（共40分） 题号 2 答案 8、设事件A为“最终中奖”，事件B为“一开始选中的有奖品”，则PB)=”,在组织方 撤走一个无奖的盒子后，若一开始选中的有奖，则剩余m-2个盲盒中有n-1个奖品，若 一开始选中的无奖，则剩余m-2个盲盒中有n个奖品：故方案一，不更换所选择的盒子， 则A= n-l×+×m-n=mn-n, 方案二，更换所选择的盒子，则乃=m-2×mm-一2Xm“m-2m 因此A.-2m<1,故A<,故选A P:m2-m 二、多选题（共18分） 题号 9 10 11 答案 AD AC ABC 三、填空题12、_（11,0)13、11.214、 3 15.(1)定点(3,1)，(2)2x-y-5=0,45 (教材103页20题) 16.【解析】(1)由图可知：10(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1,解得x=0.01, [50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.6， [50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6， .第60百分位数位于区间[80,90)内，设为m, .0.45+(m-80)×0.03=0.6,解得m=85,第60百分位数为85 (2)得分在[70,80)和[80,90)的人数之比是2：3，所以得分在[70,80)抽2人记为A、B,得分 在80,90)抽3人记为a、b、c,从5人中任选2人有：AB、Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc、ab、 ac、bc共10种，其中两人评分都在[80,90)有ab、ac、bc共3种，所有两人评分都在[80， 90的概率为0.3 (3)由图知，认可程度平均分为： 元=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85， ““校本课程”工作需要进一步整改. 17.(1)证明：如图，取BC的中点E,连接AE,A1E, 1 由AB=AC=2,得AE⊥BC,而BCLAA1y AA1∩AE=A,AA1,AEC平面AEA1, 则BC⊥平面AEA1,又A1EC平面AEA1,BC⊥AE, ∴.∠A1EA是二面角A-BC-A1的平面角，即 co8∠A1EA=2V6 5 在△ABC中，AB⊥AC,AB=AC=2,则 AE=CE=BE=V2, 在△A1AB中，∠A1AB=2 AiB=AA+22-2x2A41.cos2=AAi+2AA1+4 3 则A1E2=A1B2-BE2=A4+2AA1+2, 在△AEA1中，由余弦定理得： AA号=A1E2+AE2-2A1E·AECO8∠A1EA, 即A号=A+2AA1+4-4.VA好+2AA+2 整理得3AA-4AA1-4=0,解得AA1=2, 在口ABB1A1中，AA1=AB=2,四边形ABB1A1为菱形 (2)由(1)得BC⊥平面AEA1,而BCC平面ABC,平面 AEA1⊥平面ABC, 平面AEA1∩平面ABC=AE,在平面AEA1内过E作 Ez⊥AE,.Ex⊥平面ABC, 于是直线EA,EB,Ez两两垂直，以E为原点，直线EA, EB,E所在直线分别为x,,z轴建立空间直角坐标系，如 图所示： 在平面AEA1内，过A1作AH⊥AE于H,则AH⊥平面ABC, 由AA=AB=2,∠AAB=答，得 A B=2ABcos=23, A1E=√A1B2-BE=√10，则 A4H=A1Esin∠A1EA=5×V10=V2, 5 则A1(2√2,0，V②)，A(√2,0,0)，B(0,√2,0)，C(0,-V2,0), 则A1B=(-2V2.V2,-√②，BC=(0,-2V2,0) 2 设m=(化，头z列为平面A1BC的法向量， 则 m·A1B=0 -2v2x+V2y-V2z=0 即 → (m。BC=0 -2v2y=0 取x=1,则y=0,z=-2,平面41BC的法向量m=(1,0,-2), CC1=AA1=(v2,0,V②)，设 CD=tCC1=(v2t,0,v2,0≤t≤1， AD AC+CD =(v2(t-1),-v2,v2t), AD与平面A1BC所成角的正弦值为① 5 .Icos(AD,m)= 1v2(t-1)-2v2t W2(t+1)川 10 V5√2(t-1)2+2+2 V52V02-t+1 5 整理得t2-2t+1=0,解得t=1,即D在C1处， .在侧棱CC1上存在点D,使得直线AD与平面A1BC所成角 的正弦值为厘，点D在C处 18.(1)因为椭圆左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,又因为椭圆C的离心率 为上，得a=2,b=3,所以椭圆方程 x+ =1 43 (2)由M。(1,4),F(-1,0)得直线M斜率为k=2,中点坐标为(0,2)， 所以线段M。的垂直平分线方程为y= 2x+2,联立垂直平分线方程和椭圆方程 =1 43 得x2-2x+1=0,x=1,y= +2 1 3△=4-4=0，所以直线与椭圆相切， V=_ 3 线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点 (3)解法-：设M(,6),当%，=0时，FM的垂直平分线方程为x=七 2 此时5二1=士2,6=5或-3： 2 当%0时，FM的垂直平分线方程为=5出-+点：出x++ %22 2y。 y=-x++-1 联立 % 2y0 3x2+4y2=12 得3x2+4 G+g-+G+-x4+ 48 ≥12 -p-0 因为线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点， asr… 即33+8--36-48+=0： 后 则y+(2x6-14)+6-18x6-32x。-15=0, 即哈+(2x-14)+(+1)(x+3)(x-5)=0, 片+(2x-14)后+(x6+2x+1)(xG-2x。-15)=0, 即（后+G+2x,+1(+号-2x-15)=0, x++2x+1=(x+1+>0,x6+后-2x。-15=0,而(5,0)，（仁-3,0）也满足 该式，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)}+y2=16. 解法二：设线段FM的垂直平分线1与C恰有一个公共点为P,则当点P不在长轴时，线 段FM的垂直平分线I即为点P处的切线，也为∠FPM的角平分线， 作∠FPF的角平分线PH,根据椭圆的光学性质得PH⊥1， ∴.∠EPE+∠EPH=90,则∠EPH+∠EPM=90, 故∠FPE+∠FPM=180, 所以M,P,E三点共线，所以MF引=P+PE引=PF+PF=4, 4 所以点M的轨迹是以F,为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为(5,0)或(-3,0)也满足MF,=4, 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x-1)+y2=16 19.【解析】：(1)若点A,B,C在平面直角坐标系xOy中的坐标分 别为4A1,2),B-23),C(3.-4), 如图建立空向直角坐标系，则点A,B,C在空间中的坐标分别为 4(0,1,2),B'(0,-2,3),C(4,3,0), Z(AB)=V0-0)+(-2-1+(3-2)y=10: Z(4C=V(4-0+(3-1)2+(0-2y=2√6. (2)证明：由题意可知，点D在空间中的坐标为DI,0,O),对P 点分类讨论 ①当点P在x轴的上半平面，即0时，点P在空间中的坐标为P(0,x,), Z(DP=√0-1旷+(x-0)+0-0=V5,化简得：x2+y2=1,(20), 因此，在平面直角坐标中，点P在x轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ②点P在x轴的下半平面，即y<0时，点P在空间中的坐标为P(-y,x,0), Z(DP=V(-y-+(x-0)+0-0)=√2化简得：x2+y+=2,y<0), 点P的轨迹方程为：x+y2=1,(y0或x2+(y+)=2,y<0) (3)①当直线MN不与y轴垂直时，设直线MN的方程为：x=my+1, 考+1=-3 M,.N为)，k=-3 书2+1 x=y+1 联立方程{y,x →(3m2+10y2+60y+323-12=0. 124 =1 △=144m3-122+48>0 -6mt 月+乃=3m+可 32-12 4为=3m2+ 0,导得0 代入韦达定理可得：3m2+(t+4)m+1+1=0,即(3m+1+1)m+1)m0 解得m=-1或3m+1+1=0, 当3m+1+1=0时，直线AMN:x=my-3m-1经过点E(-1,3),故舍去 31 六m=-山，则MWx=y+,由韦达定理可得=3-12)，人+为=，且<16， 当1<kw<3时，由kw+kx=0得-3<kw<-1, 当EN过点(2,0)，kw=-1:当EN过点(0,0)，kv=-3. :.点M在x轴的上半平面，点N在x轴的下半平面， 点M,N在空间中的坐标分别为M'0,名，)，N(-2·,,0,), Z(MN)=V-为-0+(：-x)+(0-男=V+片+(3-x) =++0-=20新+为-64-学.，回 4 9r2-33-12)）=32, 2 ②当直线MN与y轴垂直时，k+kw=0显然不成立： 所以当1<kw<3时，Z(aMN)为定值，该定值为3N2. 5