随机事件的概率与古典概型专项训练 ——2025届高三数学一轮复习

班级：__________ 姓名：_________ 第十章《计数原理、概率、随机变量及分布》 第三节 随机事件的概率和古典概型 1、 单选题 *1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（ ） A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)=P(B) *2．已知为实验的样本空间，随机事件，则下列说法不正确的是（ ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 *3. 若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，则随着n的逐渐增加，有（ ） A．与某个常数相等 B．与某个常数的差逐渐减小 C．与某个常数差的绝对值逐渐减小 D．在某个常数附近摆动并趋于稳定 **4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” **5．如果事件A，B互斥，那么（　　） A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 **6．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝（　　） A． B． C． D． **7.（列举求概率）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是（ ） A． B． C． D． 2、 多选题 *8．同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现两个反面”为事件，则（ ） A．为必然事件 B．为不可能事件 C．与为互斥事件 D．与为独立事件 **9．（频率与概率的关系）下列说法正确的是（ ） A.频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； B.做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为； C.频率是不能脱离试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖试验次数的理论值； D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 3、 填空题 *10．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 　 　． **11．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045 6011　3661　9597　7424　7610　4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. **12.（互斥事件同时发生的概率）抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1，2，3，4，5，6），事件表示“朝上一面的数是奇数”，事件表示“朝上一面的数不超过3”，则_______________． 四、解答题 *13. （互斥事件或对立事件）某战士射击一次，问： (1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？ (2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？ **14.某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表： 日用水量(单位：吨) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 3 6 频率 0.5 (1)求的值； (2)已知样本中日用水量在[80,90)内的这6个数据分别为83,85,86,87,88,89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率． 随机事件的概率和古典概型解析 1、 单选题 *1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（ ） A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)=P(B) 答案：D 提示：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果， 事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种， 显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生， 所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误； 事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误； 由古典概型得,所以,故选项D正确. *2．已知为实验的样本空间，随机事件，则下列说法不正确的是（ ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 答案：C 提示：A．当为必然事件，且，故A正确； B．为不可能事件，且，故B正确； C．若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误； D．若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确． *3. 若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，则随着n的逐渐增加，有（ ） A．与某个常数相等 B．与某个常数的差逐渐减小 C．与某个常数差的绝对值逐渐减小 D．在某个常数附近摆动并趋于稳定 答案：D 提示：正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值． **4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案：C 提示：用对立事件、互斥事件的定义求解． 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球， 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确； 在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误． **5．如果事件A，B互斥，那么（　　） A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 答案：B． 解析：由事件A，B互斥，得： 在A中，A∪B不一定是必然事件，故A错误； 在B中，∪一定是必然事件，故B正确； 在C中，与不一定互斥，故C错误； 在D中，与不一定不互斥，故D错误． **6．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝（　　） A． B． C． D． 答案：C 提示：∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”， ∴P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝， P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝＝． **7.（列举求概率）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是（ ） A． B． C． D． 答案：D 提示：由每条棱上有8块，共有块，所以所求概率为. 2、 多选题 *8．同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现两个反面”为事件，则（ ） A．为必然事件 B．为不可能事件 C．与为互斥事件 D．与为独立事件 答案：BC 提示：同时抛掷两枚质地均匀的硬币结果有“正正，正反，反正，反反”，共4个基本事件， 不是必然事件，A选项错误； 事件与事件不能同时发生，为不可能事件，与为互斥事件，与不是独立事件，B选项正确，C选项正确，D选项错误； **9．（频率与概率的关系）下列说法正确的是（ ） A.频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； B.做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为； C.频率是不能脱离试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖试验次数的理论值； D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 答案：ACD 3、 填空题 *10．（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 　 　． 答案： 提示：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊， 从5人中选3人有以下10个基本事件： 甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊； 甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊； 故甲、乙被选中的概率为． 方法二：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数， 甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数， 根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率． **11．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045 6011　3661　9597　7424　7610　4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. 答案：0.4 提示：由题意可得，符合题意的随机数有7527,9857, 8636, 6947,4698,8045,9597,7424，共8组，由古典概型公式可得该运动员射击4次至少击中3次的概率. **12.（互斥事件同时发生的概率）抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1，2，3，4，5，6），事件表示“朝上一面的数是奇数”，事件表示“朝上一面的数不超过3”，则_______________． 答案： 提示：法一：因为的意义是事件发生或事件发生，所以一次试验中只要出现1，2，3，5四个可能结果之一时，就发生，而一次试验的所有可能结果为6个， 所以. 法二：记事件为“朝上一面的数为2”，则，且与互斥．又因为，，所以. 法三：记事件为“朝上一面的数为4或6”，则事件发生时，事件和事件都不发生，即事件不发生．又事件发生即事件发生或事件发生时，事件不发生，所以事件与事件为对立事件．因为，所以. 四、解答题 *13. （互斥事件或对立事件）某战士射击一次，问： (1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？ (2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？ 答案：（1）0.05；（2）0.52 提示：(1)设中靶为事件，则不中靶为. 则由对立事件的概率公式可得，. (2)设命中10环为事件，命中9环为事件，命中8环为事件，由题意知，，. 记至少命中8环为事件， 则. 记至少命中9环为事件，则. 不够9环为，则. **14.某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表： 日用水量(单位：吨) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 3 6 频率 0.5 (1)求的值； (2)已知样本中日用水量在[80,90)内的这6个数据分别为83,85,86,87,88,89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率． 答案：（1）m＝3，n＝p＝；（2） 提示：（1）∵3＋6＋m＝12，∴m＝3， ∴n＝＝，p＝＝＝. (2)从这6个数据中随机抽取2个数据的样本空间为共15个样本点． 设“2个数据都小于或等于86”为事件，则共3个样本点．故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率. 等差数列解析 学科网（北京）股份有限公司 $$