第一章第09讲 整式的除法（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第09讲 整式的除法 课程标准 学习目标 ①单项式除单项式 ②多项式除单项式 ③整式的除法 1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律； 2．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律； 3．能运用单项式除以单项式、多项式除以单项式进行计算并解决问题． 知识点01 单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3). 【即学即练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，求，的值． 【即学即练3】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）仔细阅读下列计算过程： （________） （________） ． ①在________上填写恰当的运算根据； ②上述计算是否正确，若错误，请你写出你认为正确的计算． 知识点02 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加. 即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 【即学即练1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算： 【即学即练2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：， 其中． 解：原式＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 当时，原式＝…第五步 任务： (1)以上解题过程中，第一步需要依据 和 乘法公式进行运算（用字母表示）； (2)以上步骤第 　 　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　 ； (3)请写出正确的解答过程． 题型01 单项式除以单项式 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型02 多项式除以单项式 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 3．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 题型03 含整式除法的整式四则混合运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）计算： (1) (2) 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算． (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算： (1)； (2)． 题型04 整式的混合运算之化简求值 例题：（24-25八年级上·海南·期末）先化简再求值：，其中，． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值： ，其中，． 2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 题型05 含整式除法的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 【变式训练】 1．（2023下·浙江·七年级专题练习）定义新运算符号⊕：，求 ． 2．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“”如下：＝，根据这个新规定可知＝ ． 题型06 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 一、单选题 1．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列运算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 4．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在数学课上学习了单项式乘多项式后，小明回家拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ． 7．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）一个多项式与单项式的积为，则 ． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 ． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体的长为，宽为，若这个长方体的体积为，则它的高为 （用含a，b的代数式表示）． 10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算：． 12．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 13．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3)． 14．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值，其中，． 15．（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值：，其中． 16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，满足； (2)，其中，． 17．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式． ． (1)求被手掌遮住的多项式； (2)当，时，求被手掌遮住的多项式的值． 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值： ，其中 ， 解：原式 第一步 第二步 =12x-8y …  第三步 当，时，原式 … 第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式： （写出1种即可）； (2)以上步骤从第 步开始出现了错误； (3)请你写出正确的解答过程． 19．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．对于一些特殊的整式运算，我们要善于观察并发现规律：（） ；         ； ；     ． (1)尝试：_________________； (2)猜想：_________________； (3)利用以上结论求值： ①； ②若，_________________． 20．（22-23七年级下·江苏·期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如：             即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为________； (2)已知关于x的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； (3)已知能被整除，则________； (4)如图，有2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 整式的除法 课程标准 学习目标 ①单项式除单项式 ②多项式除单项式 ③整式的除法 1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律； 2．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律； 3．能运用单项式除以单项式、多项式除以单项式进行计算并解决问题． 知识点01 单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 【即学即练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，求，的值． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了积的乘方，以及单项式与单形式的除法运算，把左边按“先乘方，再乘除”的运算顺序进行计算．所计算的结果与等式的右边相等，依据相等关系构造方程（组）求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 【即学即练3】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）仔细阅读下列计算过程： （________） （________） ． ①在________上填写恰当的运算根据； ②上述计算是否正确，若错误，请你写出你认为正确的计算． 【答案】①积的乘方、幂的乘方；同底数幂相乘（或单项式乘以单项式的法则） ②不正确 ，见解析． 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整数除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． ①根据积的乘方、幂的乘方；同底数幂相乘（或单项式乘以单项式的法则）分析填空； ②先算乘方，然后再算除法． 【详解】解：① （积的乘方、幂的乘方） （同底数幂相乘） ． 故答案为：积的乘方、幂的乘方；同底数幂相乘（或单项式乘以单项式的法则）； ②不正确，正确的计算如下： ． 知识点02 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加. 即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 【即学即练1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接按照多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ； 【即学即练2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：， 其中． 解：原式＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 当时，原式＝…第五步 任务： (1)以上解题过程中，第一步需要依据 和 乘法公式进行运算（用字母表示）； (2)以上步骤第 　 　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　 ； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)， (2)一，完全平方公式中间项没有2倍（表达正确就可得分） (3)见解析． 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）根据乘法公式的含义可得答案； （2）由完全平方公式的结构特点可得计算错误的原因； （3）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算整式的除法运算即可． 【详解】（1）解：第一步需要依据和乘法公式进行运算； （2）以上步骤第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是：完全平方公式中间项没有2倍 （3）原式＝ ＝ ＝ ＝ 当时，原式＝． 题型01 单项式除以单项式 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式： （1）直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； （2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； 【详解】（1）解：； （2）． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方； （1）根据单项式除以单项式的法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式的法则计算即可； （3）对原式变形，然后根据幂的运算法则计算即可； （4）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【分析】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握单项式除以单项式运算法则． （1）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （2）首先将转化成a，然后根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （3）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （4）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （5）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （6）把或看成整体，然后根据单项式除以单项式运算法则求解即可； 【详解】（1） ； （2）解法一： ； 解法二： ； （3）解法一： ； 解法二： ； （4）解法一： ； 解法二： ． （5） ； （6）解法一： ； 解法二： ． 题型02 多项式除以单项式 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查了多项式与单项式的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据多项式与单项式的除法法则计算即可． 【详解】 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式运算，根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的和相加即可． 【详解】解： ； 3．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查整式的除法，运用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型03 含整式除法的整式四则混合运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，直接利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】 ，， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提公因式进行化简计算即可； （2）先计算同底数幂的乘法以及积的乘方，再计算同底数幂的除法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； （2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 整式的混合运算之化简求值 例题：（24-25八年级上·海南·期末）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、多项式除以单项式 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】；24 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式先计算括号内的，再计算除法，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当，时，原式． 2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算 【分析】本题考查了正数的混合运算—化简求值，根据整式的混合运算法则计算即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2022 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，先进行乘法公式的运算，再合并同类项计算括号内，再利用多项式除以单项式的法则，进行计算，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 题型05 含整式除法的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023下·浙江·七年级专题练习）定义新运算符号⊕：，求 ． 【答案】 【分析】根据新运算得出原式，再根据整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题的关键． 2．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“”如下：＝，根据这个新规定可知＝ ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】根据题意直接由定义运算的顺序转化为整式的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：2x@（-3x） =2x（-3x）÷（-3x）2 =-6x2÷9x2 =． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算下的整式的混合运算，理解规定的运算方法，把问题转化进行解决问题． 题型06 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）解：能，理由如下： 列竖式如下： （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以多项式，用竖式形式计算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）． ． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是． 【知识点】计算单项式除以单项式、多项式除以单项式、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法： （1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案； （2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案； （3）利用（1）的规律计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴按x的指数从大到小排列是：； （2）由题意可得， “刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想， 故选B； （3）由题意可得， ∴的商式是，余式是． 一、单选题 1．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】已知两个因式的积与其中一个因式，求另一个因式，用除法．根据单项式的除法法则计算即可得出结果． 本题考查了单项式的除法法则．单项式与单项式相除，把他们的系数分别相除，相同字母的幂分别相除，对于只在被除式里出现的字母，连同他的指数不变，作为商的一个因式． 【详解】解：， 这个单项式是． 故选B． 2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列运算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故该选项不符合题意； B．，原式计算错误，故该选项符合题意； C．，原式计算正确，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式除以单项式 【分析】把乘法转化为多项式除以单项式计算即可． 本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在数学课上学习了单项式乘多项式后，小明回家拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】考查了多项式除单项式，可以先转化为多项式乘以单项式，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查整式的除法，原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）一个多项式与单项式的积为，则 ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．根据题意求即可得出答案． 【详解】解：根据题意： ； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列出式子，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体的长为，宽为，若这个长方体的体积为，则它的高为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握长方体的体积长宽高和多项式除以单项式法则．根据长方体的体积长宽高，列出算式，根据多项式除以单项式法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 长方体的高为， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．首先根据单项式乘以多项式的法则、单项式除以单项式的法则、积的乘方，把整式的各部分分别计算出来，可得原式，根据去括号法则去掉括号可得原式，最后再合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、整式四则混合运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内积的乘方，然后计算单项式和单项式的乘除运算，然后计算括号外多项式除以单项式即可求解． 【详解】解： ＝ ． 13．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算，即可解题； （2）根据多项式除以单项式法则计算，即可解题； （3）先根据单项式乘多项式法则，以及多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减运算、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键．先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式，然后合并同类项，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 15．（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题中主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，满足； (2)，其中，． 【答案】(1)，12 (2)，3 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质． （1）根据整式的混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出，，代入计算即可； （2）先根据完全平方公式、平方差公式和合并同类项可以化简所求的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可． 【详解】（1）解：原式 ． ， ，， 解得，， 原式； （2）解：原式 当，时， 原式． 17．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式． ． (1)求被手掌遮住的多项式； (2)当，时，求被手掌遮住的多项式的值． 【答案】(1)； (2)7． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式除以单项式 【分析】本题考查了多形式除以单项式，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）用除以即可； （2）把，代入（1）的结果计算即可． 【详解】（1）解：设被手掌遮住的多项式为A， 则 ， ∴被手掌遮住的多项式为； （2）解：当，时， ， ∴被手掌遮住的多项式的值为7． 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值： ，其中 ， 解：原式 第一步 第二步 =12x-8y …  第三步 当，时，原式 … 第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式： （写出1种即可）； (2)以上步骤从第 步开始出现了错误； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)或 或完全平方公式或平方差公式 (2)一 (3)，8，正确的解答过程见解析 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案； （2）根据去括号法则可知第一步出现了错误； （3）根据整式的混合运算顺序解答即可， 本题考查了，整式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：第一步运算用到了乘法公式或或完全平方公式或平方差公式， 故答案为：或或完全平方公式或平方差公式， （2）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一， （3）解： 当，时， ． 19．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．对于一些特殊的整式运算，我们要善于观察并发现规律：（） ；         ； ；     ． (1)尝试：_________________； (2)猜想：_________________； (3)利用以上结论求值： ①； ②若，_________________． 【答案】(1) (2) (3)①；②0 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查多项式除以多项式，规律探究： （1）根据已有等式，进行作答即可； （2）根据已有等式，抽象概括出规律即可； （3）根据规律构造等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）①； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 20．（22-23七年级下·江苏·期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如：             即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为________； (2)已知关于x的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； (3)已知能被整除，则________； (4)如图，有2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4)能，． 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）根据被除式除式商式余式进行计算，即可求出多项式； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到6张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （2）解：关于x的二次多项式除以，商式是，余式是， 该二次多项式为：， 即多项式为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：3； （4）解：能， 根据题意，A卡片的面积是，B卡片的面积是，C卡片的面积是， 2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为0， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$