第一章第08讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第08讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 目录 【考点一 平方差公式中项的位置变换】 1 【考点二 平方差公式中连续相乘应用】 3 【考点三 乘法公式中简便运算变换】 8 【考点四 乘法公式中项数的变换】 12 【考点五 乘法公式中整体代换应用】 15 【考点六 乘法公式中几何图形的应用】 21 【考点一 平方差公式中项的位置变换】 例题：（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）运用乘法公式计算的结果是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 ． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【考点二 平方差公式中连续相乘应用】 例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 5．（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【考点三 乘法公式中简便运算变换】 例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）简便计算： (1) (2) 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【考点四 乘法公式中项数的变换】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算：． 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【考点五 乘法公式中整体代换应用】 例题：（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 2．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②直接写出三个代数式、、之间的等量关系______； (2)请运用（1）中的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 4．（23-24七年级下·四川达州·期末）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 5．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：， 所以． ②若，求的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以， 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 【考点六 乘法公式中几何图形的应用】 例题：（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 目录 【考点一 平方差公式中项的位置变换】 1 【考点二 平方差公式中连续相乘应用】 3 【考点三 乘法公式中简便运算变换】 8 【考点四 乘法公式中项数的变换】 12 【考点五 乘法公式中整体代换应用】 15 【考点六 乘法公式中几何图形的应用】 21 【考点一 平方差公式中项的位置变换】 例题：（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）运用乘法公式计算的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的特征，题中的是公式中的，4是公式中的． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式．利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据多项式乘以多项式运算法则及平方差公式去掉括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，先前面两个括号利用平方差公式计算，结果再和后面的括号利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式运算法则． 首先根据完全平方公式和平方差公式求解，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【考点二 平方差公式中连续相乘应用】 例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 先对原式进行变形，然后利用平方差公式依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 5．（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 【考点三 乘法公式中简便运算变换】 例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)8800 (2)12.1 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，运算律在有理数运算中的应用， 对于（1），先提出11，再根据平方差公式计算即可； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式及完全平方公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式及完全平方公式． （1）把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式计算即可． （2）把原式化为完全平方公式的形式，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点四 乘法公式中项数的变换】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为，再运用平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的运用，首先将原式进行适当变形，然后应用平方差公式，再应用完全平方公式进行展开和化简． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，先将看成整体运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行运算，将看作整体，根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【考点五 乘法公式中整体代换应用】 例题：（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 2．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②直接写出三个代数式、、之间的等量关系______； (2)请运用（1）中的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键． （1）由题意可知，图②中的四个长方形面积和为，再根据大正方形面积减四个长方形面积等于中间小正方形面积列式，即可得到答案； （2）由（1）所得等式可知，，再根据已知条件得出，再开平方即可求解； （3）令，，则，由已知可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知，， 故答案为： （2）解：由（1）所得等式可知，， ，， ， ； （3）解：令，， ， ， ， ， ， 4．（23-24七年级下·四川达州·期末）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：， 所以． ②若，求的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以， 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 【答案】(1)2；0 (2) (3)10 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查完全平方公式的应用，以及偶次方的非负性质的应用． （1）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可； （2）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可求出x、y的值，然后代入求值． （3）同（2）根据完全平方公式求出a，b的值，然后根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：2；0； （2）∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴． ∴； （3）∵， ∴ ∴ ∴ ∴，   ∴，， ∴长方形的周长为： 【考点六 乘法公式中几何图形的应用】 例题：（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积可直接进行求解； （2）根据图形可得结论； （3）根据（2）中的结论可得，进而利用结论进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键； （1）根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； （2）利用平方差公式整理成即可求解； （3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， 答：阴影部分的面积为． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$