第一章第07讲 完全平方公式（2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第07讲 完全平方公式 课程标准 学习目标 ①完全平方公式的推导 ②完全平方公式的运算 ③完全平方公式的应用 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用； 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算； 3.会用几何图形说明完全平方公式的意义，体会数形结合的思想方法. 知识点01 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 【即学即练1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）化简：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，完全平方公式．根据题意利用平方差公式和完全平方差公式展开，再合并同类项计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【即学即练2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．首先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再合并同类项，代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【即学即练3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得； （2）根据完全平方式特征，知，得，代入A即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 知识点02 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【即学即练1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行展开，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式和完全平方公式进行展开，最后合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： 题型01 判断是否完全平方公式运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题主要考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式计算求解判断即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B、D．，故B、D不符合题意； C．，故C符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式，熟记乘法公式是解答的关键．根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据完全平方公式、平方差公式，逐一进行计算即可得． 本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则，根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型02 运用完全平方公式进行运算 例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)104.04 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，． （1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可； （2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)252004 (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查利用平方差公式和完全平方公式简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． （1）由，结合完全平方公式计算即可； （2）由，结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9975 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式求解即可； （2）将原式化为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型04 与乘法公式有关的化简求值问题 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【答案】，32 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型05 通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 题型06 求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 题型07 利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 题型08 完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方公式的形式为求解即可． 【详解】解：A．不是完全平方式； B．是完全平方式； C．不是完全平方式； D．不是完全平方式． 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：B． 3．（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）实数，满足，，且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 又∵， ∴ 故选：A． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若m，n是实数，则的值必是（   ）． A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，先整理原式为，因为，则，即可作答． 【详解】解： ， ∵m，n是实数，且， ∴， 则的值必是非正数， 故选：C． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知：，，则代数式的值：（1） ；（2） ． 【答案】 37 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是： （1）根据完全平方公式变形得到，然后把，的值整体代入求解即可； （2）根据完全平方公式得到，然后把，整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：37； ∵，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ． 【答案】2 【知识点】整式的混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、合并同类项、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，去括号，合并同类项，解一元一次方程等知识点，根据二阶行列式的定义及已知条件正确列出方程是解题的关键． 根据二阶行列式的定义及已知条件可得，将方程左边利用完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：根据二阶行列式的定义可得： ， 展开，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ． 【答案】34 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用．利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， S为“完全式”， ， ， 故答案为：34． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 【详解】（1） ； （2） ． 13．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，熟记乘法公式是解本题的关键； （1）利用平方差公式与完全平方公式先计算乘法运算，再合并即可； （2）把原式化为：，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式混合运算及化简求值，先计算完全平方式，再去括号、合并同类项，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 15．（24-25八年级上·北京·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键． （1）原式提取变形后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化地带的面积． 【答案】(1)平方米 (2)275平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的混合运算和加减运算，代数式求值，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据图形的面积之差列式即可求解； （2）将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． ∴绿化地带的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）． 17．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题． 例题：求多项式的最小值． 解： ， ， ， 的最小值为2， 的最小值为2． 在认真分析例题后，解答下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)求多项式的最大值； (3)直接写出多项式的最小值． 【答案】(1)1 (2)28 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，找到一次项系数，根据完全平方公式变形计算即可； （2）先将代数式变形得，再对括号中的式子进行配方，即可求解； （3）运用分组得到，再运用完全平方公式，非负性进行判定即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值为1， 的最小值为1； （2）解： ， ， ， 的最大值为28， 的最大值为28； （3）解：，计算如下， ， ， ∵， ∴， 的最小值为． 18．（24-25八年级上·四川内江·期中）【探究】 若满足，求的值． 设，，则， ∴． 【应用】 请仿照上述方法解决下面的问题： （1）若满足，则的值为______； （2）若满足，求的值； 【拓展】 （3）已知正方形的边长为（），、分别是边、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形和正方形． ①______，______；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）8；（3）①；②12 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设， 则， ； 解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）①∵四边形是长方形，，四边形是正方形， ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是 8 ， ， 阴影部分面积， 设， 则，     ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 12 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 完全平方公式 课程标准 学习目标 ①完全平方公式的推导 ②完全平方公式的运算 ③完全平方公式的应用 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用； 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算； 3.会用几何图形说明完全平方公式的意义，体会数形结合的思想方法. 知识点01 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 【即学即练1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）化简：． 【即学即练2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值：，其中． 【即学即练3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 知识点02 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【即学即练1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型01 判断是否完全平方公式运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 运用完全平方公式进行运算 例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算： (1) (2) 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 与乘法公式有关的化简求值问题 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型05 通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 题型06 求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 题型07 利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 题型08 完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 3．（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）实数，满足，，且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若m，n是实数，则的值必是（   ）． A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知：，，则代数式的值：（1） ；（2） ． 8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ． 9．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 15．（24-25八年级上·北京·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值． 16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化地带的面积． 17．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题． 例题：求多项式的最小值． 解： ， ， ， 的最小值为2， 的最小值为2． 在认真分析例题后，解答下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)求多项式的最大值； (3)直接写出多项式的最小值． 18．（24-25八年级上·四川内江·期中）【探究】 若满足，求的值． 设，，则， ∴． 【应用】 请仿照上述方法解决下面的问题： （1）若满足，则的值为______； （2）若满足，求的值； 【拓展】 （3）已知正方形的边长为（），、分别是边、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形和正方形． ①______，______；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$