第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的化简求值】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．已知 ，求的值． 3．计算：． 4．已知，化简． 5．当 时，化简 ． 6．先化简，再求值：，其中 ． 7．化简求值．，其中，． 8．计算： 9．计算： 10．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题二 二次根式的加减计算】 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算：． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算：． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 14．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 15．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算：． 16．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算：． 19．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算： 20．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算：． 【经典计算题三 二次根式的乘除计算】21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)． (2)． 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算： 24．（23-24八年级下·浙江·期中）计算： (1)； (2)． 25．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 26．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 29．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1) (2) 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算：． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．计算：． 32．计算    33．计算： (1) (2) 34．计算： (1) (2) 35．计算题 (1)； (2) 36．计算下列各式： (1) (2)． 37．计算． (1)； (2)． 38．计算： (1)； (2)． 39．计算： (1)； (2)． 40．解下列各题： (1)； (2)． 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 42．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 43．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 44．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 45．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 46．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 47．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 48．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 49．观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 50．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【经典计算题六 分母有理化】 51．分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 52．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题：已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简： ； ； (2)比较大小：与，需说明理由； (3)若，求的值． 53．阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和的大小． 54．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下面式子的结果：__________． (2)应用：化简； (3)拓展：__________．（用含的式子表示，为正整数） 55．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简：． 56．设，求下列各式的值： (1)； (2)． 57．已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 58．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 59．化简求值：，其中，． 60．阅读下列材料： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请根据以上材料解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 62．请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 63．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 64．对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 65．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 66．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化 解：原式 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”） （，且为整数） (3)化简： 67．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：． (1)求的值； (2)若，，求的值． 68．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 69．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 70．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的化简求值】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质求解即可； （2）根据二次根式的性质求解即可； （3）根据二次根式的性质求解即可； （4）根据二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 2．已知 ，求的值． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、二次根式化简等知识，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后将、的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， 解得， ∴， ∴， ∴． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，立方根，解题的关键是掌握和． 根据二次根式的性质和立方根的定义化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 4．已知，化简． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值意义，根据得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5．当 时，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先判断，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 6．先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先判定，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 7．化简求值．，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式， 其中，则，， 原式． 8．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是负数的奇次幂是负数，负数的绝对值等于它的相反数，首先去括号和绝对值，然后分别计算出立方根和算术平方根的值，接着去括号，最后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 9．计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解： ． 10．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式化简和立方根的定义；掌握二次根式的性质和立方根的定义进行计算是解此题的关键， （1）根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据二次根式的性质进行计算即可； （4）先算减法，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【经典计算题二 二次根式的加减计算】 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是掌握实数的运算法则．利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算即可． 【详解】解： ． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 14．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 15．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先将二次根式化简，再合并即可． 【详解】解： ． 16．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，对于（1），根据，，再计算； 对于（2），先化简，再合并同类二次根式． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 17．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键．根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案． 【详解】解：原式 ． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；掌握二次根式的加减法法则是解题的关键； 根据二次根式的加减法法则进行解题即可； 【详解】解：原式 ． 19．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算： 【答案】 【分析】先把每一个二次根式化简为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则求出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算．熟练地掌握计算技巧是解题的关键． 20．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，以及绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握算术平方根的定义，绝对值的代数意义，二次根式的加减法则，是解题的关键． 【经典计算题三 二次根式的乘除计算】 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键． （1）先算二次根式的除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘法进行计算，合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），根据乘方分配率计算；对于（2），根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握和运用二次根式的运算方法是解决本题的关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法和除法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 24．（23-24八年级下·浙江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 26．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可； （2）先展开，再去括号，最后合并．熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1） ． （2） ． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算，对式子进行化简，计算是解答本题的关键． （1）先计算二次根式的除法，二次根式的乘法，然后化成最简形式，合并得到最终结果； （2）先利用平方差公式和完全平方公式，将两个括号展开，再计算出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 29．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算， （1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】解： ． 32．计算    【答案】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】解： ． 33．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法，平方差公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）先根据平方差公式展开，以及化简，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 34．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则和分母有理化运算方法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 35．计算题 (1)； (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了实数的混合计算及二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式及计算0指数及负指数运算，再计算二次根式加减法即可得到答案； （2）先计算负指数及绝对值及二次根式乘法，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 36．计算下列各式： (1) (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式计算乘法，计算除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则及平方差公式、完全平方公式计算． （2）先化简再合并同类二次根式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 40．解下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算； （1）先计算二次根式的乘法，再计算减法； （2）先用平方差公式计算，同时进行除法计算，最后计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案. 【详解】解：首先把化为，这里，， 因为， 即，， 所以== 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题的关键. 42．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 44．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 45．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 46．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 47．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 48．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 49．观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【答案】(1)， (2)；理由见解析 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用； （1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可； （2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 50．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【经典计算题六 分母有理化】 51．分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 52．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题：已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简： ； ； (2)比较大小：与，需说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1)；+ (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题． （3）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：；； （2）解：∵，， 显然， 又∵和都是正数， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较，大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；； （2）解： ． （3）． 理由如下： ∵， ， ∵， ∴， ∴． 54．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下面式子的结果：__________． (2)应用：化简； (3)拓展：__________．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、二次根式的加减、分母有理数，会利用类比方法求解是解答的关键． （1）仿照例题求解过程求解即可； （2）根据例题和（1）中结果可得出变化规律，进而求解即可； （3）仿照（2）中计算过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由例题和（1）中结果可得， ， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 55．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识点，熟练掌握题中所给的两种化简方法是解题的关键． （1）按照题中所给的两种化简方法进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： 56．设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 57．已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得； （2）先根据无理数的估算分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 58．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 59．化简求值：，其中，． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是正确把分式化简；根据分式的运算法则先化简分式，再根据分母有理化求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ． 60．阅读下列材料： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请根据以上材料解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简—分母有理化，根据题意掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． （1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）先将分母有理化，再将配方，最后将的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 当时，原式． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键． （1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可； （2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴且， ∴． 62．请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3)102 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方， 又∵ ∴． 故答案为：n． （3）原式 63．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：， ， 所以 ． 故答案为：2． 64．对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）∵ 又 故 （2）∵ 故 （3）∵ 故 【点睛】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． 65．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴根据题中的新定义得： ， 即： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 66．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化 解：原式 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”） （，且为整数） (3)化简： 【答案】(1) (2)＜，＜ (3) 【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案； （2）先分母有理化，求出后进行判断即可； （3）先分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∵ ∴ 故答案为：＜，＜； （3）解：原式= 【点睛】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化． 67．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答； （2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入数值进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵，， ∴ ＝ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键． 68．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 69．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了二次根式的计算，解一元一次方程： （1）根据定义列得,即可求出的值． （2）根据定义得,由为有理数得到，，即可解方程求出和的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）由题意可得， 整理得． 是有理数， ，， ，． 70．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：，， ∵， ∴， 即． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题例运算即可求解； （2）根据题例即可得出一般规律； （3）原式各项分母有理化后，合并即可得出答案． 【详解】解：（1）依题意可得： ① ②； （2）根据题意，观察式子的规律可得： ， 故答案为：； （3） ． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用题目中的规律进行判断即可； （2）利用分母有理化进行化简即可； （3）利用（2）中的化简方法得到原式，然后合并即可． 【详解】解：（1）根据题目中的规律可知：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，能结合题目，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往事半功倍． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$