山东省乳山市银滩高级中学2024-2025学年高三1月月考数学试题

高三级部 1 月月考 数学试题 一、单选题 1．设集合     3 , ln 2 0A x x B x x     ，则 A B  （ ） A． 2 3x x  B． 3 C． 0 2x x  D． 0 3x x  2．设 i为虚数单位，若 3 2 i i z  ，则 z （ ） A． 2 i B． 2 i C．1 2i D．1 2i 3．若 ,a bR ，则“  2 2 2 1a b a b    ”是“ 1ab  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 π2 sin sin 4        ，则 2cos2 cos  （ ） A． 3 4 B． 12 C． 1 4  D． 1 2  5．  81x y  的展开式中，含 4xy 的项的系数为（ ） A．240 B． 280 C．560 D．360 6．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这 5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员 工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为 X ，记 X 的所有取值的平均数为 X ，方差为 2s ，则（ ） A．   1 5 E X  B．   9 5 D X  C．  X E X D．  2 2s D X 7．如图，已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，过 1F 的直线 l与圆 2 2 2: ( ) 2 4 c cC x y   相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有 2MF x 轴，则离心率为（ ） A．3 B． 3 C． 2 D．2 8．已知函数    π2sin 0 3 f x x        在区间 π , π 3       上有且仅有一个零点，当最大时  f x 在区间  100π,100π 上的零点个数为（ ） A．466 B．467 C．932 D．933 二、多选题 9．北京时间 2024年 7月 27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击 混合团体 10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为 7，12，13，18，18， 20，32，则（ ） A．该组数据的极差为 26 B．该组数据的众数为 18 C．该组数据的 75%分位数为 19 D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 10．已知函数    3 2 0f x x x ax x     ，则（ ） A．若  max( ) 1f x f ，则 5a  B．若 3a   ，则  f x 在  1,3 上单调递增 C．若 1a  ，则  f x 在 10, 3       上单调递减 D．若  f x 有两个零点，则 0a  11．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，P，Q分别是线段 AB， 1 1AD 上的动点，且满足 6PQ  ， 点M 是线段 PQ的中点，则（ ） A．若 P是 AB的中点，则 PQ∥平面 1ACD B．若Q是 1 1AD 的中点，则 AM 平面 1 1B DC C． AP 的最大值是 2 D．MC MD   的最小值为 11 10 2  三、填空题 12．已知三角形 ABC中，E，F 是 AC上中线 BD的三等分点满足DE EF FB  ，记DF xAB yCE     ， 则 x y  . 13．已知数列 1a ， 2a ，…， 30a ，其中 1a ， 2a ，…， 10a 是首项为 1，公差为 1的等差数列； 10a ， 11a ，…， 20a 是公差为 d的等差数列； 20a ， 21a ，…， 30a 是公差为 2d 的等差数列  0d  ，则 a30的最小值为 14．已知点  1,2P  是抛物线  2: 2 0C y px p   上一点，点 F 是抛物线C的焦点， ,M N为C上异于 P 的两动点，且 PM PN ，则 MF NF 的最小值为 . 四、解答题 15．在面积为 S的 ABCV 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且  2 2sin sin2 sinsin sin C AS a b A B C        ． (1)若 2c  ，求 ABCV 周长的最大值； (2)若 ABCV 为锐角三角形，且 AB边上的高 h为 2，求 ABCV 面积的取值范围． 16．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     经过点 13, 2       ，其右焦点为  3,0F . (1)求椭圆C的离心率； (2)若点 ,P Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线 AP与 AQ的斜率之积为 1 20 ，求证直线 PQ过定点. 17.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， 6, 3, 90PA PD PB PC APB CPD       ，点 ,M N分别是棱 ,BC PA的中点. （1）证明：MN∥平面 PCD； （2）若平面 PAB 平面 PCD，求直线MN 与平面 PAB所成角的正弦值. 18.已知函数 ( ) 2 ln af x x x x    ． (1)当 3 4 a  时，求 ( )f x 的单调区间； (2)若 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2x x ，从下面两个结论中选一个证明． ①    2 1 2 1 2 2 f x f x x x a     ； ②  2 2 2ln2 2 3 f x a   ． 19.甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为 1 3 ， 否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为 1 3 ，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时， 丙将球传给甲的概率为 1 3 ，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)传 n次球后  *nN ，记球在乙手中的概率为 nP，求数列 nP 的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设 2 3 5 1 2 n n n d P    .求证：   *1 2 2 3 1 1 3 3 n n dd dn n n d d d        N . 高三级部1月月考数学试题 参考答案 传-)xs年< 又两数=2mr-智~>0)在区同行小上有且仅有-个零点， 1,B2.D3.A4.B5.B 且满足 33 ，可得03 红<am-亚s(k+H) ,且之x 6.D【详解】由题知X的所有可能取氢为Q,2,财X-1 吾2一可得0<053.所以号警于子由r2加程 -0+0- 4-1s2-1ct 象生质， 即 33 ,且陆g3, [0c的c1 kC世=。≤素◆ 333 3 可知 。得1 所以)=2-A错误 -s1 [2 1 当太=0时， 解得 ·所以 0s52m lswc3 自于不=1<号()，放C跳 0g创-。s1 333 4 3 ,得《4 0-0--号-品名数B 15wc4 当k=时， 4 02)-40)-若期r-号若-De,放DE w-js2 解得4 所以如最大为子为因-a仔-引 4≤每c7 fm仔-引=0.子-子a长e2,解 7.c【i详解】圆C-+w产-号的圆心C宁，0)，半径r- 当=2时， co-jss ,解得7 行≤ms10,此时解集为空案， 双南做号后1中，令，解得y=号则名 c2) -0子10，则有0-片产10- 向直线R4与圆C相切于点D,特C-女，又 经上可科，实故如的取值面围列小侣引 ”背即学 33 3 q-2w-告F5 所似子指)-2仔-引 因为★e乙，所以共有467个零点 1 小2n仔-}0，则子于a使e小，解得 9.BD =FC-CD-e un AIEF- 【详解】该组数琳的楼差32-7-25，故A透铅谈： 该组数据的众数为出联频数最多的：18，故B选项正确： 千是2=x,即2e2一-m,有2-g-互=0，面e>1, 该组数据的75%分位数：7×75%=525取第6个。则为20。放C 所以g=互 选演借谈： 8.B【详解】方法由题意，函数/八)-24r-于(020， 粉四7子甲学 若该组数据去博一个最高分和最低分，则这塑数燕波动变小，所以 33 方差变小，故D选项正确： 可科话数的周扇为了= 因为k©Z,所以共有467个零点 10.AD【详解】若/(x"f(0),f(0)-0,测/0)=0， 方法二：由笼意。函数/)-2-}(@>0，可得两数的周 f()--3x2-24+4,所以f0)3-2+a,pu=5, 调为：传可物号管背引 川为T=2 当a=5时，f()--x-2,5x(g20),期 又由函数y=2mr引o>0)在区问上有且仅有一个军 f(x)--3r2-2x+x20, 点 因为仔可m骨则（学骨m引 令f(小-0得x-1,令f)>0斜0sx<1,令f)<0得x>1 所以f(x)在0)上单调端增，在[L+)上单调递减，故 设-iom0.=mo,0[ f(x)=f四，符合园意，A正魏： 若a=-3,f代x]=-3r2-2x-3,△=-32，fx)在0+x）上单调 遥减，B错误： .而=业-25cw-45n0.1-2iom0+号而 2 1 2 14.1【详解】 若a-1,广)=-3r2-2+1=-(3w-1(x+0.令f0>0得 ,故D正确 因为P(-L2)在物线y=-2s上 故话：ACD 0s<宁所以国在上单调语塔.C错误： D 所以4=-2P×(-,存P=2,因此抛物战C:￥2=4标 若（小有两个零点，且x-0为一个零点，围-x2-x+=0在x30 年小年小则 有一个解， 即a=x2+x在x>0有一个解， m-任g-2m-任h%-2 群y“a与y-x2+x(x>0)有难一交点，因为y=x+x在(0+m) 上单到递地，且F>0,所以>0，D正确故选：AD 圆为w1w,所以Pmp丽-星4e,地20， 44 1l,ACD【评解】？P是B的中点，AP=1,六A0=5,4Q=1, 化商得5+2(U片+为}=-20，令1=月+为，测为=-20-2 卫是4D的中点 连接D交AC于点O如图所示 2.【【评解】如阁， rw网-号+H222+0 4 4 4 OP1QD,QP=QD,.四边形ODQ是平行四边形，9IOD 结合二次函数性质。当（一-2时，取得最小值。 又QFP2g平前4AD,ODC平CD,P2平面ACD,故 即F+F的最小值为年8+0,2-1. A正确： 4 以A为原点如图建立空间直角坐标原，若Q是AD的中点，此时P是 故答案为：t, A8的中点， 【标1由2倍品-64证强定现 郑么P,Qa.w而- 丽丽-而-而-c-+运而 三角形面积公式得.6n,兰)-d+)加4.困aA>0. 面平围RDC的一个法间量C=(2,2,2:W≠2dG, :图不是平面8DC的法向量，酸B维误： 通海丽丽-+}a,所以 32 “所 故得.e2+ab-2+日， 以x+y=1 由余弦定理，coC=+-C==是，因Ce0,C 当0与4重合时，P最大，为√互，故C正确： 2ab 2ah 2 3 敌答案为：1 由余弦定理，a2+b-2 ahcosC=d2，即a2+-h=2, esao.Q0斗.则} 3.号75【详解】因为4，马，…a是首残为1，公差为1 整理得，a+-24as2+学，当且仅当-办时等号成立 等差数列， 思(a+bs8 所以4。-1+(10-}-0， P0=√R++4=V6 于是。0<+b≤2、反，即当a=b=5时，VAC周长的最大值 因为品。·马·a是公差为d的等差数列 ∴2◆2-2,0=+广4-8+20=11-2-4型 为3W2: 4 2 所以an-a+10时=10+10， 因为@知，问··a是公差为的等发数鲜 2》曲8m“-2bmC可得，-ab 4=小小>0商山高国点点动 以O为坐标原点，分别以OM,OF,OP所在直线为x,,:触建文空 曲正孩定现，m而8编C百子，即得，：名 sin 间直角坐标系O-四， 2 化前可得20州气，+气+m)-(%-2名-2)， sin' 202L+20Mmx,+名)+20m2=x-2g+工)+4。 则Sm-,ahsinC- 12233 -8au或 2 0 2 sinB sinA sin sin”-A) 1+4 化前得62+m4-m2=0, 5 4 所以丽=2张或限=3补， 5m4+号n9如24+0-cs2022-51 所以直线P:y=(-2)域=+3动， 4 6 如图所示，则P(0.01). 因为直线PO不经过点A, 0cAc 所以直线经过定点(-3小， A-2-10.a-1.w(.o.o).xf-3 由YABC为领角三角彩可得， 21 ,解得c<受 17.【小月1详解】 =A 明：取PD的中点为Q,连接2，CQ, =(2-0.而=a0,项-(2》 3 2 则24-君冬由正弦数的图象知，m24-1,放得 :盒N是PH的钟点.测NOD且NQ-号D, 没平而PAB的一个法向量方=（任另）， sm<25, 45 又点M是BC的中点，底前ABCD是矩形， 月-P☑=-2x-y-3=0, 爆由 取=0L,-1). 万-AB=3r=0, 即YC面积的取值喜围为5,2。 则CM-吃4DCW∥D 设直线N与平面PAB所成角为8， 3 .NQ∥CM且NO=CM,四边形MNOC是平行四边形， 员-MN e=5 w-2 ,MN∥CQ 题sin9-oos(元MNy- 网 31 553 6【详解】(1)依题可符， 纺，解得1， 又MW立平面PCD.CQ在平面PCD内，MN∥平面PCD: a2-2◆c2 e=v 【小问2洋解】 综上。直线MN与平面PAB所成角的正弦值为 过点P作PE⊥AB交AB于点E,作PF⊥CD交CD于点F,连 所议层视C的方程为子y=1 接EF, 【#解1》0-子-1号 *9 用PF⊥AB.PEOPF=P.PE,PFC平面PEF, AB⊥平面PEF, +2x-3 4.4-+3.2￥-1M2x-. 《2)导知直线伊与0的割率只号，所以真线O不垂直于x轴， 又ABC平面ABCD.∴平面PEF⊥平面ABCD: 当时八 4r 4x2 故可设F:y*+w,A*0P(片}，Q为} PA=PD=V6.PB=PC=V3.∠APB=∠CPD=0', 令的>0，解得子：令r0<0,解得0<生或x 由于y=l可得.0+板)口+8mx+4m2-4=0. :AB-CD-3,PE PF2,BE-CF -l.AE-DF-2. y=红+标 设平面PABn平面PCD=I,可知I∥CD∥AB 所以因的增区间为引，单诚区间为》（信 (2)证明：由恩意知，，与是-2x+a=0的两根，测 所议+烤0巧 _4-4 平PAB⊥平面PCD,,∠EPF-0,EF=2, 取EF的中点为O,连接OP,OM,则OP⊥平面ACD,OP=I. 5+2=2 55■4 ∴.OM.OFOP两两廉直 2血5-ax)-(6-)+- 由题意可知-号+2年“：=0： s上f 此封无论球在甲手中还是球在丙手中，均有号的概率传给乙， 5 高一名 马- 可得a=-有+2在代入指，)一子知=2与+号对-号+2， 将名=a代入得， fs-f.2a-n】z, 放有R- 工 -工 ◆0-2h+-94n<<2. 为引 要证明上儿①c2-2, M-2+-0.2-2r- -后 3x 又月子所以到}是有项为片-号言会比为号的 只盾证明2与n-2×子-2 当x引c,斯 上单调递减， 比数列 一年 当xe侵2>0，所以在小单， 所以子引 马-名@ 因为0<与<局，所以与-与>0 因为1<<2，所以与)<m州以2为， 由0-子-2a2-2. 所以监列的通项公式-专到引 西超用学法后 23-9-3 可程M2-0-20a8:d,0.系以2>. 由a可2可 令，臣-，期>1，现周证明n2<4,甲2nt-1005 3 所以}七2) 令0-2nf-1+:431 子号高高e2时 所以-0c2h2-2,即)c子2h2-2 【详解】《1)由断章知，X-0,l23, 又因为 所以0在L+江)上单莲速减，可得)<0=0， 所2-1>n, 0号号品 会特六 续上可知， p d 、亚明八-子-1号（明 Px-得司 所以 2gx)=-x2+2r-a, 所以随机麦量X的分布列为 8=4-4a>0 因为八x)有两个极值点，所以 0 g00<0 d"(). 解得0<a<1, 因为g(2)=-4<0g1=1-4>0. 27 27 所以1<<2， 随机安量不的数学期为E)-0音12×3立- 3， (2)由于传n次球后不在乙于中的额率为1-P,