第22章 二次函数 单元测评卷（1）-2024-2025学年 人教版数学九年级上册

数学人教版9年级上册 第22单元（二次函数） 单元测评卷 （时间：120分钟 总分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单选题（共15题 满分45分 每题3分） 1．已知抛物线(a，b，c是常数，)经过点，点，也在该抛物线上，若当时，总有，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，且，若是上的一点，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线l：，点，是l上两点，且，将上方抛物线沿向下翻折，翻折后得到一个形如“”的新图像．当这个新图像与直线恰好只有2个公共点时，关于m的取值范围，甲说：；乙说：；丙说：；丁说：，则（    ）． A．甲丁合在一起才正确 B．乙丙合在一起才正确 C．乙丁合在一起才正确 D．甲丙合在一起才正确 6．现要在抛物线(m为常数，)上找点，所能找到点P的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．已知抛物线的图象只经过坐标平面内的两个象限，下列叙述正确的是（    ） A．顶点可能在第四象限 B．最大值是 C．a的值可能是5 D．时，y随x增大而增大 8．小函研究二次函数（，a为整数）时，发现下列说法中只有一个是错误的，你认为错误的是（　　） A．函数图象与x轴的一个交点为 B．对称轴为直线 C．时，函数的最小值为3 D．点在函数图象上 9．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 10．设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，．当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．若，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线，甩绳的两名同学两手之间的距离，两人甩绳之手距地面的距离均为，则绳的最高点与地面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 13．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 14．已知函数，，当时，，．则以下结论正确的有（    ） ①若函数的顶点在x轴上，则； ②无论取何值，总有； ③若时，的最小值为7，则； ④当时，令，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．已知开口向上的抛物线经过点，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（共5题 满分20分 每题4分） 16．如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 ； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 ． 17．已知某二次函数的图象开口向上，与轴的交点坐标为和，点和点都在函数图象上，若，则的取值范围为 . 18．小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，杯口宽cm，杯柄高cm，当葡萄酒液面宽cm时，液面与杯口的距离cm，则杯子的高为 cm． 19．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的对称轴直线右侧的一点，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，以为边向其上方作正方形，边所在的直线交该抛物线于点、．若点的纵坐标为，设点横坐标为，则的值为 ． 20．我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为． （1）直接写出函数图象上的“行知点”是 ； （2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为 ． 三、解答题（共5题 满分55分） （8分）21．如图所示，某景区拟在矩形的空地上建造一个含“内接平行四边形”的花坛．平行四边形四个顶点、、、分别在矩形四条边、、、上．已知，，为增加美感，要求．设，平行四边形的面积为． (1)求与的函数关系式； (2)景区准备在平行四边形内种植“郁金香”，四个三角形内种植“红玫瑰”．已知“郁金香”的价格为20元，“红玫瑰”的价格为40元．若景区购买两种花卉的预算不超过1800元，求的取值范围。 （10分）22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点、的坐标分别是、，与轴交于点，连结，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为。 (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线的对称轴于点，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为，当点在轴右侧的抛物线上时，求与之间的函数关系式； (4)是轴上的一点，若以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标。 （12分）23．已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值。 （12分）24．【问题背景】 文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离，文化墙在地面上左右两端的距离，现要在墙面上规划出菱形区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传． 【模型建立】 现以墙边左端点O为原点，水平地面所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系． 【任务解答】 (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)已知展示企业发展历史区域（即菱形）的涂料价格是30元/，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？ （13分）25．大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，售价为x元/件，每月的总利润为w元． (1)当售价在40﹣50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ (2)当售价在50﹣70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m（m为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大。 参考答案： 1．D 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．A 10．A 11．A 12．C 13．A 14．B 15．C 16． 30或10 17．或 18． 19． 20．或 21． （1）解：四边形为平行四边形， ，，， 延长、交于点， ， 四边形为矩形， ，， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知四个三角形的面积和， 总费用， 当时， 解得，． 又， 若景区购买两种花卉的预算不超过1800元，的取值范围为或． 答：当或时，购买两种花卉的预算不超过1800元． 22． （1）解：把，代入， 可得 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为的对称轴为， 如图1中，当点在对称轴左侧时， ∵，， ∴由平移性质得：， 解得：． 同理，当点在对称轴右侧时，如图2中，， 解得：． 综上所述：或． （3）解：过点作于点． 当时，如图3中，． 当时，． （4）解：①如图5中， 当与重合时，四边形是平行四边形， ∴， ． ②如图6中，当四边形是平行四边形时，作轴于． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 当时，， 解得：， ，． ③如图7中，当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴． ④如图8中，当四边形是平行四边形时，同法可得． 点的坐标为或或或． 23． （1）解:∵抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为： 当时， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把点A，C的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， （2）解：由可知：对称轴为直线， 连接并延长交于对称轴，交点即为点P， 此时的值最大， 把代入，解得 ∴点P的坐标为， 设点C关于直线对称的点为， 要使得的内心始终在对称轴上， 根据对称性，直线l必经过或经过， 即直线或直线与对称轴的交点即为Q点， 设点直线的解析式为 把点和点C的坐标分别代入 得 解得 根据点和点C的坐标 可求出直线的解析式为， 当时，， 根据对称性，直线与对称轴的交点也为Q，坐标均为， （3）解：由于直线l有两条，分两种情况分析： ①当直线l经过点A，时， 设直线的解析式 把和代入 得 解得 ∴直线的解析式为， 设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线 可得 又∵， 在中，则有 由题可知，， ∴此时不存在最小值， ②当直线l经过点时， 设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线 可得 ∴ 在中，则有 令 ∴当时，t有最小值，最小值为 即当点D的纵坐标为时， 则 有最小值为 24． （1）解：由题可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， 此抛物线对应的函数表达式为． （2）连接交于点F． ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴点D和点E的纵坐标均为， 令， 解得， ∴， ∴， （元）， ∴购买该区域（即菱形）的涂料需要花费元． 25． （1）解：当售价在元时，总利润， ， ∴当时，总利润最多， ∴每月的总利润最多是1200元 （2）当售价在元时，设每月销售量， 由图得：， 解得 ∴每月销售量， ∴每月的总利润， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大， ， 解得：， ∴m的最小值是30， 此时， ∴当时，w取得最大值， ∴m的最小值是30，此时售价为70元时． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$