专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质 【考点1 利用定义求椭圆轨迹方程】 【考点2 椭圆的"焦点三角形"问题】 【考点3 椭圆中的距离和差最值问题】 【考点4 椭圆标准方程形式与求解】 【考点5 求椭圆的离心率或范围】 【考点6 利用定义求双曲线轨迹方程】 【考点7 双曲线的"焦点三角形"问题】 【考点8 双曲线中的距离和差最值问题】 【考点9 双曲线的标准方程形式与求解】 【考点10抛物线的定义及应用】 【考点11求抛物线的标准方程】 【考点12抛物线中的距离和差最值问题】 【考点13 抛物线的几何性质及应用】 知识点1 椭圆 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点2 双曲线 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点3 抛物线 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 【考点1 利用定义求椭圆轨迹方程】 【典例1】设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 A．6 B．2 C． D． 【变式1-1】设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式1-2】已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 【考点2 椭圆的"焦点三角形"问题】 【典例2】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【变式2-1】已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则= . 【考点3 椭圆中的距离和差最值问题】 【典例3】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式3-2】设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【变式3-3】已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 【考点4 椭圆标准方程形式与求解】 【典例4】已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点且的周长为. (1)求椭圆的方程. (2)若直线过点交椭圆于两点，且线段的垂直平分线与轴的交点 （i）求直线的方程； （ii）已知点，求的面积. 【变式4-1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为90°，求的值. 【考点5 求椭圆的离心率或范围】 【典例5】设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】多选题已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（    ） A． B． C．6 D． 【考点6 利用定义求双曲线轨迹方程】 【典例6】在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点7 双曲线的"焦点三角形"问题】 【典例7】设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式7-1】设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式7-2】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ． 【考点8 双曲线中的距离和差最值问题】 【典例8】在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点9 双曲线的标准方程形式与求解】 【典例9】在平面直角坐标系中，已知点，，点到的距离比到的距离大2，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于两点，与点关于原点对称，求直线与斜率的比值. 【变式9-1】已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【变式9-2】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点10抛物线的定义及应用】 【典例10】下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【考点11求抛物线的标准方程】 【典例11】已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值． 【变式11-1】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上. (1)求抛物线和直线的方程； (2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程. 【考点12抛物线中的距离和差最值问题】 【典例12】设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式12-1】已知是抛物线上的两个动点，，的中点到轴距离的最小值为，则（    ） A． B． C． D．1 【变式12-2】已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式12-3】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点13 抛物线的几何性质及应用】 【典例13】在平面直角坐标系内，已知，，为动点，的面积为，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)经过的直线与W交于点A，B，过点A作斜率为2的直线与W的另一个交点为C，求证：直线恒过定点． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等. (1)求动点C的轨迹方程； (2)若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程. 【变式13-2】在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【变式13-3】如图所示，抛物线的准线过点， (1)求抛物线的标准方程; (2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值. 1．已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 . 5．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . 6．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时的值是多少？ 7．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 8．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 9．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 10．若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 11．已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值： （ii）直线过线段的中点． 12．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切， (1)求圆心的轨迹方程 (2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值. 13．已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切． (1)若点P是直线与圆的交点，求a； (2)求的取值范围． 14．设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. (1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. (2)证明：线段的垂直平分线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质 【考点1 利用定义求椭圆轨迹方程】 【考点2 椭圆的"焦点三角形"问题】 【考点3 椭圆中的距离和差最值问题】 【考点4 椭圆标准方程形式与求解】 【考点5 求椭圆的离心率或范围】 【考点6 利用定义求双曲线轨迹方程】 【考点7 双曲线的"焦点三角形"问题】 【考点8 双曲线中的距离和差最值问题】 【考点9 双曲线的标准方程形式与求解】 【考点10抛物线的定义及应用】 【考点11求抛物线的标准方程】 【考点12抛物线中的距离和差最值问题】 【考点13 抛物线的几何性质及应用】 知识点1 椭圆 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点2 双曲线 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点3 抛物线 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 【考点1 利用定义求椭圆轨迹方程】 【典例1】设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 A．6 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆第一定义知，所以，椭圆方程为 所以，选B． 【变式1-1】设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 【变式1-2】已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】如图所示：，， 由椭圆定义得.① 在中，.② 由①②得，则， 所以椭圆C的方程为. 故选：C.    【点睛】本题考查椭圆方程的求解. 【变式1-3】已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 【答案】． 【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程． 【详解】由题意，在线段的垂直平分线上，则， 所以，又， 所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上， ，，，则， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 【考点2 椭圆的"焦点三角形"问题】 【典例2】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 【变式2-1】已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则= . 【答案】3 【详解】设椭圆的焦距为，则.由椭圆定义知， 由题意知，，则， 则， 即，所以. 【考点3 椭圆中的距离和差最值问题】 【典例3】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 【变式3-1】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故， 故选：C 【变式3-2】设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值. 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 【变式3-3】已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，进行合理转化，求得周长最大值即可. 【详解】由椭圆方程得，，. 设椭圆的左焦点为，   , ， 则的周长为 , 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. 的周长最大值为. 故选:B. 【考点4 椭圆标准方程形式与求解】 【典例4】已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点且的周长为. (1)求椭圆的方程. (2)若直线过点交椭圆于两点，且线段的垂直平分线与轴的交点 （i）求直线的方程； （ii）已知点，求的面积. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据条件列方程，求出，即可得答案； （2）（i）判断直线斜率存在，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，结合题意可得，化简即可求得答案；（ii）利用弦长公式求出，再求出Q到直线AB的距离，即可求得答案. 【详解】（1）根据题意有，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）若直线的斜率不存在，其垂直平分线与轴重合，不符合题意； 不妨设直线的方程为的中点为， 设， 与椭圆方程联立有，整理得， 直线过椭圆焦点，必有，则， 所以， 由题意知，即，解得， 即，整理得直线的方程为或 （ii）由弦长公式可知 ， 由直线的对称性，知点到两条直线的距离相同，即， 所以的面积为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式4-1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以且与不相等， 所以. 故选：C. 【变式4-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为90°，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用椭圆的定义求出，进而求出得的标准方程. （2）根据已知可得直线不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的横坐标即可. 【详解】（1）椭圆的二焦点为，，点在椭圆上， 则，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）依题意，点不在轴上，即直线不垂直于轴，且直线不垂直于轴，否则重合， 设直线方程为，， 由消去得，， 显然，设，由直线的倾斜角为90°，得点， 则，所以， 直线的方程为， 当时，， 所以. 【考点5 求椭圆的离心率或范围】 【典例5】设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理计算，根据余弦定理计算，根据等面积法列方程得出，的关系，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得，， ， ， 又， ，即，故， 解得：或（舍． 故选：B． 【变式5-1】多选题已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】ABD 【分析】先解出方程的根得到离心率，然后分情况讨论是椭圆还是双曲线，根据公式即可求得结果. 【详解】对于方程，可求得根为， 当圆锥曲线为椭圆时，即且，离心率， 若，则， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 若，则， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 当圆锥曲线为双曲线时，即，离心率， 此时， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 综上实数的值可能是或或， 故选：ABD. 【考点6 利用定义求双曲线轨迹方程】 【典例6】在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 【变式6-1】已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程. 【详解】由，可得， 而，可知点在的平分线上. 圆，圆心为原点，半径， 连接，延长交于点，连接， 因为且，所以，且为中点，， 因此，， 点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为， 可知，由，得，故， 双曲线方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线. 【考点7 双曲线的"焦点三角形"问题】 【典例7】设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线 ，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    【变式7-1】设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解. 【详解】根据双曲线定义有， 由于点P在线段的垂直平分线上，∴， 又，，故． 故选：C. 【变式7-2】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 【变式7-3】已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ． 【答案】25 【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到，由余弦定理和面积公式，得到，进而得到，从而求出，求出答案. 【详解】设P在双曲线右支上，则， 由余弦定理得 ， 所以， 又 所以，解得，结合， 则， ， 又， 故， 故. 故答案为：25 【考点8 双曲线中的距离和差最值问题】 【典例8】在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为 的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 【变式8-1】已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可. 【详解】如图所示 由题意知，解得 记的右焦点为，即， 由双曲线的定义，得，即 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立, 所以的最小值为. 故选：C. 【考点9 双曲线的标准方程形式与求解】 【典例9】在平面直角坐标系中，已知点，，点到的距离比到的距离大2，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于两点，与点关于原点对称，求直线与斜率的比值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用双曲线的定义和性质求解即可； （2）当斜率存在时，设，，的方程为，将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理求解即可，注意讨论斜率不存在时的情况. 【详解】（1）由已知可得，所以曲线是以点，为焦点的双曲线的左支， 设的方程为（，，）， 根据题意得，得，所以方程为. （2）由题意可得，设直线，的斜率分别为，， ①当的斜率不存在时，易知的坐标分别为，或，， 当，时，，，所以. 当，时，，，所以. 所以当l的斜率不存在时，； ②当的斜率存在时，设，，的方程为， 将直线代入的方程得， 所以，，所以， 所以 ， 因为， 所以，即， 综上，直线与斜率的比值为. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中定值问题的思路一般有两种：一是从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，本题先研究直线的斜率不存在时的值，再求直线的斜率存在时的值；二是直接推理､计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值. 【变式9-1】已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 【变式9-2】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 【考点10抛物线的定义及应用】 【典例10】下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为， 由题意得，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：. 【变式10-1】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【变式10-2】平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【答案】或 【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 【考点11求抛物线的标准方程】 【典例11】已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入点的坐标可求，可得抛物线的方程； （2）设直线l的方程为，与抛物线联立方程可得，分与两种情况讨论可求解. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，解得， 抛物线方程为． （2）显然直线的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，得， 若，方程只有一解，满足要求， 若，则需满足，解得， 综上：或. 【变式11-1】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上. (1)求抛物线和直线的方程； (2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设抛物线方程，代入即可求得抛物线，利用点斜式方程直接求出直线方程； （2）设出直线的方程，并与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合中点在直线上求出参数即可求解. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得： 所以抛物线为：， 又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即. （2）由（1）设直线的方程为， 由消去x得：，有，解得， 设，则，于是线段的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得，符合题意， 所以直线的方程为. 【考点12抛物线中的距离和差最值问题】 【典例12】设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 【变式12-1】已知是抛物线上的两个动点，，的中点到轴距离的最小值为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义表示出点到轴距离，结合最值求得参数. 【详解】因为，所以， 设，，是该抛物线的焦点，连接，则，， 所以点到轴的距离 ， 当且仅当直线过焦点时，取得最小值，故，所以． 故选：B 【变式12-2】已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 【变式12-3】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为.      由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 【考点13 抛物线的几何性质及应用】 【典例13】在平面直角坐标系内，已知，，为动点，的面积为，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)经过的直线与W交于点A，B，过点A作斜率为2的直线与W的另一个交点为C，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意及抛物线的定义即可求解； （2）设，，，结合斜率公式求得，然后表示出直线，根据斜截式即可求解. 【详解】（1）设点P到y轴的距离为d，则△POM的面积为， 所以，即点P到直线的距离等于． 根据抛物线定义知，点P的轨迹是以N为焦点，为准线的抛物线， 所以W的方程为． （2）证明：设，，． 因为，所以①． 同理，得，． 因为点Q，A，B三点共线，所以，即②． 由①②，得． 整理，得③． 所以直线BC的方程为 ． 由③得． 所以直线BC恒过定点． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等. (1)求动点C的轨迹方程； (2)若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线. 动点C的轨迹方程为. （2）设， 由消去x，得. 由，得. ，. 由的面积， . ，即. ， 或. 直线l的方程为或或. 【变式13-2】在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解； （2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果. 【详解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. （2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，    且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【变式13-3】如图所示，抛物线的准线过点， (1)求抛物线的标准方程; (2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值. 【答案】(1)y2＝8x (2)证明见解析，8 【分析】（1）根据准线过点即可求出p，进而可知抛物线标准方程； （2）假设直线的方程，与抛物线联立，进而可以得到与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中垂线方程，进而求点的坐标，再求即可. 【详解】（1）解:(1)由题意得 ∴抛物线的方程为 （2）设，直线的斜率为 则直线方程为 将此式代入，得， 故 设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为 则 故直线m的方程为 令得点P的横坐标为 故 ∴为定值8 1．已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论即可判断出结论. 【详解】由可得椭圆，此时离心率为， 此时充分性成立； 若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得， 即必要性不成立； 综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件. 故选：B. 2．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率. 【详解】 设，则， 所以， 又， 所以， 又点在上，所以， 所以， 即，由， 故选:D． 3．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由离心率得，再由转化为． 【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以． 故选：D. 4．已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 . 【答案】 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆定义即可得出离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示： 由圆：可知圆心，半径； 显然，且， 因此可得，所以，可得； 即可得，又易知； 由余弦定理可得， 解得， 再由椭圆定义可得，即， 因此离心率. 故答案为： 5．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . 【答案】 【详解】试题分析：设M,N的中点坐标为P，,则 ；由于 ，化简可得 ，根据椭圆的定义==6，所以12. 考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式. 6．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时的值是多少？ 【答案】（Ⅰ）曲线C的方程为．（Ⅱ）时 ，． 【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． ，即． 而， 于是． 所以时，，故． 当时，，． ， 而 ， 所以． 【详解】请在此输入详解！ 7．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：. 8．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 【答案】3 【分析】结合图形，由抛物线定义可将M到与的距离之和转化为，后由点到直线距离公式可得答案. 【详解】由题，抛物线焦点为，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C. 过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为. 由抛物线定义知，又，则. 当且仅当三点共线时，最短时， 而为F到直线距离， 所以. 所以点M到与的距离之和的最小值为3. 故答案为：3. 9．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值. 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    10．若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 11．已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值： （ii）直线过线段的中点． 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）当直线斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. （ii）设线段的中点为，求出直线的方程，直线的方程，结合，可得，可证点在直线上. 【详解】（1）由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）①当直线的斜率为0时，则不妨设，， 所以为定值. ②当直线的斜率不为0时，设直线，，， 联立直线与椭圆的方程，消去整理得， 则，，，所以， 所以 . 综上，为定值.    （ii）设线段的中点为，易得， 可得直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 所以， 由（i）知，，所以， 又直线的方程为，所以点在直线上， 即直线过线段的中点. 【点睛】关键点睛：本题第二问证明为定值，解题的关键是设直线与椭圆的方程，解得，代入的式子化简得解. 12．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切， (1)求圆心的轨迹方程 (2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据圆C与圆A、圆B外切，得到<4，再利用双曲线的定义求解； （2）设直线为，联立，利用弦长公式求得，再根据线段MN的垂直平分线，得到点P的坐标求解. 【详解】（1）解：因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标，圆C半径为， 则，， 所以<4， 所以点C的轨迹是双曲线的一支， 又，，， 所以其轨迹方程为； （2）设直线为， 联立，消去y得：， 所以， 设MN中点坐标为G，则， 所以， ， 直线GP的方程为:， ， 所以， 所以=1. 13．已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切． (1)若点P是直线与圆的交点，求a； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求出交点坐标，代入双曲线方程运算求解即可； （2）设，，根据中垂线方程以及双曲线的切线方程解得，换元令，可得，令，可知关于x的方程有正根，更换主元法求范围即可. 【详解】（1）联立方程：，解得或， 即点为或， 将点代入双曲线C：可得，解得， 所以. （2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为. 因为点在双曲线上，则， 显然直线过点， 即，， 联立方程，消去y可得， 即，则，解得， 所以在双曲线上一点处的切线方程为. 设，，则， 可得线段OP的垂直平分线为，即， 设直线与双曲线C切于点，则直线， 则，即， 且，即，整理可得， 又因为在双曲线C上，则，即， 可得，解得（舍负）， 则， 令，则，可得， 令，则关于x的方程有正根， 即关于t的方程在内有根， 设， 若，即，则，不合题意； 若，即，则，解得，不合题意； 若，即，则，解得； 综上所述：， 则，即. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 5 14．设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. (1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. (2)证明：线段的垂直平分线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）曲线，由题可得直线的斜率不为0,设直线方程为：，，，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，即可得出直线的方程. （2）设线段的中点为，利用中点坐标公式可得坐标，用表示.,利用点斜式即可得出直线线段的垂直平分线的方程，进而证明结论. 【详解】（1）∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，， 联立，化为：， ， ，， 解得， ，解得， 直线的方程为：，即. （2）设线段的中点为， ，， 则线段的垂直平分线的方程为：， 化为：， 可得直线经过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$