专题16 圆锥曲线的综合应用（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题16 圆锥曲线的综合应用 【考点1直线与椭圆的位置关系判断】 【考点2 根据直线与椭圆位置关系求参】 【考点3直线与椭圆相切的应用】 【考点4 直线与椭圆相交弦长问题】 【考点5 直线与双曲线的位置关系判断】 【考点6 根据直线与双曲线位置关系求参】 【考点7 直线与双曲线相交弦长问题】】 【考点8 直线与抛物线的位置关系】 【考点9 抛物线的焦点弦及应用】 【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. ①弦长公式：（为直线的斜率，且）. ②, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③直线的方程为. （2）焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 【考点1直线与椭圆的位置关系判断】 【典例1】已知两定点，，直线：，在上满足的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【变式1-3】直线与椭圆的公共点个数为 ． 【考点2 根据直线与椭圆位置关系求参】 【典例2】设椭圆的弦与轴，轴分别交于，两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2-3】已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3直线与椭圆相切的应用】 【典例3】已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 【变式3-1】已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为. (1)求椭圆的方程； (2)求所在直线的方程； (3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值. 【变式3-2】已知椭圆的右焦点为F，C在点处的切线l分别交直线和直线于两点． (1)求证：直线与C相切； (2)探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式3-3】已知直线与椭圆相交于点，点在第一象限内，分别为椭圆的左、右焦点． (1)设点到直线的距离分别为，求的取值范围； (2)已知椭圆在点处的切线为． （i）求证：切线的方程为； （ii）设射线交于点，求证：为等腰三角形． 【考点4 直线与椭圆相交弦长问题】 【典例4】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 【变式4-1】已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 【变式4-2】已知椭圆的左焦点为，直线与圆相切于点，且与交于，两点，其中在第一象限，在第四象限． (1)求的最小值； (2)设为坐标原点，若，求的方程． 【变式4-3】已知椭圆，点，斜率不为0的直线与椭圆交于点，与圆相切且切点为为中点. (1)求圆的半径的取值范围； (2)求的取值范围. 【考点5 直线与双曲线的位置关系判断】 【典例5】已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式5-1】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【变式5-2】多选题若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【考点6 根据直线与双曲线位置关系求参】 【典例6】已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【变式6-1】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【变式6-2】直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【考点7 直线与双曲线相交弦长问题】 【典例7】已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【变式7-1】已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 【变式7-2】已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 【变式7-3】过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点8 直线与抛物线的位置关系】 【典例8】已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【变式8-1】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式8-3】已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点9 抛物线的焦点弦及应用】 【典例9】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【变式9-1】设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】 【典例10】已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 . 【变式10-1】已知直线l：与抛物线C：交于P、Q两点，O为坐标原点，则三角形OPQ的面积等于 ． 【变式10-2】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（    ） A． B． C．. D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．（2025高三·全国·专题练习）已知过抛物线的焦点的直线交于不同的两点，，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是和，若在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 10．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 . 12．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，， 及第一象限的点均在上，直线与轴交于点，若，且，则直线（为坐标原点）的斜率为 ． 13．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知双曲线的左、右两个焦点分别为是上任意一点且满足点到的距离与点到直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为 . 14．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 三、解答题 16．（2025高二·全国·专题练习）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点.求点的轨迹方程； 17．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在上，是的右焦点. (1)求双曲线的标准方程. (2)不过点的直线与交于两个不同的点，若直线和的斜率之和为3. （i）求证：经过定点； （ii）若线段的中点为，直线交直线于点，求证：轴. 18．（24-25高三上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 19．（24-25高二·全国·假期作业）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点A，，三点共线，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆锥曲线的综合应用 【考点1直线与椭圆的位置关系判断】 【考点2 根据直线与椭圆位置关系求参】 【考点3直线与椭圆相切的应用】 【考点4 直线与椭圆相交弦长问题】 【考点5 直线与双曲线的位置关系判断】 【考点6 根据直线与双曲线位置关系求参】 【考点7 直线与双曲线相交弦长问题】】 【考点8 直线与抛物线的位置关系】 【考点9 抛物线的焦点弦及应用】 【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. ①弦长公式：（为直线的斜率，且）. ②, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③直线的方程为. （2）焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 【考点1直线与椭圆的位置关系判断】 【典例1】已知两定点，，直线：，在上满足的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据的几何意义判断出点的轨迹，结合直线与椭圆的位置关系来求得正确答案. 【详解】若设，因为定点，，且， 所以点在焦距为2，长轴长为4的椭圆上，即在椭圆：上． 因为直线：过点，且点为椭圆内一点． 所以直线与椭圆有两个交点． 即在上满足的点有2个． 故选：C    【变式1-1】直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1-2】若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 【变式1-3】直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 【考点2 根据直线与椭圆位置关系求参】 【典例2】设椭圆的弦与轴，轴分别交于，两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，，利用向量的坐标表示可得，，代入椭圆方程结合斜率公式即可求解. 【详解】如图所示，设，，，，直线，      因为，所以，， 所以，， 即，， 所以，， 因为在椭圆上，所以，，两式相减得，即, 又因为，且，， 所以，即，所以， 故选：A. 【变式2-1】已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称关系，求得直线的方程，代入椭圆方程，利用，求得的范围，再根据的关系即可求m的取值范围. 【详解】设设椭圆上存在关于直线对称的两点为, 根据对称性可知线段被直线垂直平分， 且的中点在直线上，且， 故可设直线的方程为， 联立，整理可得: ， 所以， 由，可得，解得， 所以 因为的中点在直线上， 所以，所以，所以， 故选:C. 【变式2-2】直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 【变式2-3】已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】出及的图像，结合图像即可求解. 【详解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时， 由，得， 所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时， 根据图象，的取值范围为. 故选：A. 【考点3直线与椭圆相切的应用】 【典例3】已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的几何意义，求得椭圆的方程，从而得，将代入椭圆方程，求出点的坐标，再设椭圆在点处的切线方程为，将其与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出的值，即可求得的坐标； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，结合（1）中所得写出的坐标，并求出直线的方程，再利用弦长公式求得，然后化简运算为定值，且，即可根据基本不等式求解最值． 【详解】（1）解：由题意知，，解得，，， 所以椭圆的方程为，， 将代入椭圆方程得， 不妨取， 设椭圆在点处的切线方程为， 联立，得， 所以， 整理得，解得， 所以在点处的切线方程为， 由椭圆的对称性知，点在轴上， 令，则， 即点的坐标为,． （2）根据题意可设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，，， 所以， 因为轴，且点的纵坐标为，所以,， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 同理可得，， 所以， 故为定值． 故,当且仅当时等号成立， 由于故，即, 故，当且仅当时等号成立， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值， 【变式3-1】已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为. (1)求椭圆的方程； (2)求所在直线的方程； (3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由题意可得 ，解方程求出，即可得出答案. （2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点的切线方程，从而得到直线的方程. （3）令，设直线的方程为：，联立椭圆的方程，求出，再令，解方程组，解得，表示出，将代入化简即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知：① 又，所以②， 由①②及，所以， 所以椭圆的方程为：. （2）先证：过椭圆上一点的切线方程为， 证明如下：当过椭圆上一点的切线斜率存在时， 设切线方程为， 则可得：， 因为直线与椭圆相切，所以， 化简可得：， 所以，代入可得： ， 于是， 故切线方程为：，即， 又，故切线的方程为：， 当过椭圆上一点的切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意. 所以过椭圆上一点的切线方程为， 故切线的方程为：， 同理：切线的方程为：，又因为过点， 所以，， 所以：，故直线的方程为. （3）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为：， 联立椭圆的方程， 得， 令， 所以. 令，解方程组得. 又 ， 所以. 【点睛】 关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键. 【变式3-2】已知椭圆的右焦点为F，C在点处的切线l分别交直线和直线于两点． (1)求证：直线与C相切； (2)探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）联立曲线后消去纵坐标可得一元二次方程，借助椭圆方程代入计算可得该一元二次方程有唯一解即可得证； （2）由（1）可得直线的方程，即可得两点坐标，计算出与即可得. 【详解】（1）联立，整理得：， 又因为，即，则， 即，此方程有唯一解，即直线与椭圆相切； （2）由（1）知，直线的方程为，即， 将直线和直线分别与上式联立， 由题意可得， 因为，所以， 所以，即为定值. 【变式3-3】已知直线与椭圆相交于点，点在第一象限内，分别为椭圆的左、右焦点． (1)设点到直线的距离分别为，求的取值范围； (2)已知椭圆在点处的切线为． （i）求证：切线的方程为； （ii）设射线交于点，求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii）证明见解析 【分析】（1）依题意、关于原点成中心对称，不妨设 ，则，利用等面积法得出，求出的取值范围，即可求得的取值范围； （2）（i）证明椭圆上一点处的切线方程为，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，斜率存在时设过点的切线方程为，联立椭圆方程，利用和，求出，，整理可得切线方程，即可得证； （ii）设直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，可得，，利用两角和与差的正切公式和斜率公式可得出，再结合、的取值范围可得出结论. 【详解】（1）因为、为直线与椭圆的交点，且点在第一象限， 所以、关于原点成中心对称， 不妨设 ，则， 又、分别为椭圆的左、右焦点 由题意可得，因为点到直线的距离分别为， 可得， ， 又因为， 因为，所以，所以； （2）（i）首先证明椭圆上一点处的切线方程为， ①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，得， ，即， ， 又， 把代入中，得， ， 化简得. ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式. 综上，椭圆上一点的切线方程为. 故椭圆点处的切线的方程为. （ii）如图所示，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 因为，，椭圆点处的切线的方程为， 所以，则，， 因为，，， 所以 ， ， 所以，又、，所以， 所以为等腰三角形. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法 （1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解． 【考点4 直线与椭圆相交弦长问题】 【典例4】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可求得椭圆的标准方程. （2）先根据题意写出直线的方程；再联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线AB的距离；最后利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得：焦距为，离心率, 则，. 又由，得， 所以椭圆的标准方程为：． （2） 由（1）知：左焦点为. 则直线的方程为：. 设，， 联立整理可得：， 则，且，. 由弦长公式得， 又因为点到直线AB的距离， 所以． 【变式4-1】已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得椭圆方程，借助点差法可得，设出直线的方程，结合可得其斜率，再借助韦达定理与弦长公式即可得解. 【详解】由题意得，解得，故椭圆的方程为， 设，线段的中点为，连接，如图， 点在椭圆上，，两式相减得， 则， 设直线的方程为，则， 点也为的中点，， ，解得， ， ，故直线的方程为， 联立，消去整理得， 则， 则, 故答案为： 【点睛】方法点睛：点差法是处理中点弦问题常用的求解方法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率． 【变式4-2】已知椭圆的左焦点为，直线与圆相切于点，且与交于，两点，其中在第一象限，在第四象限． (1)求的最小值； (2)设为坐标原点，若，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设，，直线：，且，再联立直线与椭圆，整理得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理表示弦长，再结合由对勾函数的性质即可求解； （2）结合（1），不妨令，且求出，，根据题意得到，再根据余弦的定义得到，再利用焦半径公式得到，，再结合余弦定理表达出，从而求出，，进而即可求出的方程． 【详解】（1）设，， 又在第一象限，在第四象限，则可设直线：，且， 又直线与圆相切，则有，得，且， 联立，消整理得， 则，， 所以，， 所以 ，， 又由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以当时，取得最大值，即取得最小值，且最小值为， 故当，即直线的方程为时，取得最小值，且最小值为． （2）结合（1），不妨令， 则由，， 解得①，②， 由，则，所以③， 又，则④， 又由焦半径公式有⑤，⑥， 又由（1）有，则 ， 则由余弦定理得 ⑦， 联立①②③④⑤⑥⑦求得，， 所以直线的方程为或． 【点睛】关键点点睛：①设直线方程（注意参数的取值范围），设交点坐标为，；②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算；③根据韦达定理；④结合弦长公式；⑤利用对勾函数的性质是解答小问（1）的关键．灵活运用二倍角公式，焦半径公式，余弦定理是解答小问（2）的关键． 【变式4-3】已知椭圆，点，斜率不为0的直线与椭圆交于点，与圆相切且切点为为中点. (1)求圆的半径的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设直线l方程，联立直线l方程与椭圆方程可得，，进而可求得点M坐标，由圆N与直线l相切于点M可得，进而可求得，代入可求得，进而求出的范围即可. （2）由弦长公式可得（），运用换元法即可求得结果. 【详解】（1）如图所示，    由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为（），，，设圆N的半径为r， ， ， ， ， 所以， 又因为M为的中点，所以， 又因为圆N与直线l相切于点M，所以，且， 所以， 所以，解得， 所以， ，解得：， 所以（）， 所以，即， 所以圆N的半径r的取值范围为. （2）由（1）知，， 所以 （）， 令，则（）， 所以， 显然在上单调递减， 所以，所以，即， 故的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 1.数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； 2.构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； 3.构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 【考点5 直线与双曲线的位置关系判断】 【典例5】已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数. 【详解】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线. 故选：C 【变式5-1】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】A 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，验证直线是否满足题意，在直线的斜率存在时，可知直线与双曲线的渐近线平行，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点. ①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意； ②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点. 若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意. 综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条. 故选：A. 【变式5-2】多选题若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A，C选项错误；将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解． 【详解】双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误； 因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误； 联立，消y得， ，所以方程有两个根， ，所以方程有一正一负根， 联立，消y得， ，所以方程有两个根， ，所以方程有一正一负根， 直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确. 故选：BD. 【考点6 根据直线与双曲线位置关系求参】 【典例6】已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设双曲线的方程为：,由，代入点，可得的值，可得双曲线标准方程； （2）联立直线与双曲线，可得，然后分二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可求的取值范围. 【详解】（1）由双曲线的中心在原点，焦点在轴上， ，过点， 设双曲线的方程为：，由， 过点，可得，可得，即得， 故双曲线标准方程为：； （2）由，得 由题意得，解得. 当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点， 所以或. 【变式6-1】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-2】直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【详解】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 【考点7 直线与双曲线相交弦长问题】 【典例7】已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得； （2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可知： 右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得：， 所以， 设，则， 所以 ． 则，解得，即，满足； 所以直线的方程为 ，或． 【变式7-1】已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由离心率得出，进而由题意解出的值，确定焦点所在位置写出双曲线方程即可； （2）直曲联立解出一元二次方程，再利用弦长公式解出弦长即可. 【详解】（1）因为直线经过双曲线的右焦点，所以该双曲线的焦点在轴上．因为双曲线的两焦点之间的距离为，所以. 又因为离心率为，所以，解得，可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，该双曲线的渐近线方程为，所以直线的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等．又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左、右两支，因此不妨设直线的斜率为，则其方程为， 设， 联立消去得，         则有， . 【变式7-2】已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用双曲线与圆相切以及渐近线方程即可得结果； （2）设直线方程，联立双曲线方程利用韦达定理以及，再由弦长公式计算可得. 【详解】（1）根据题意可得，即； 所以双曲线的标准方程为 （2）如下图所示： 易知双曲线右焦点的坐标为， 设直线，代入，得， 整理得 设.则 由， 所以，即可得， 解得 此时. 所以， 因此 【变式7-3】过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    【考点8 直线与抛物线的位置关系】 【典例8】已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【变式8-1】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线 ，代入抛物线，得：， 因为 . 由 ，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 【变式8-2】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式8-3】已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据题意，由直线与抛物线C有交点求解. 【详解】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． 【考点9 抛物线的焦点弦及应用】 【典例9】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 【变式9-1】设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 【变式9-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】    如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D. 【变式9-3】已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，联立其与抛物线方程可得韦达定理，再由可得，即可求得、，结合抛物线定义可得求解即可. 【详解】如图所示，    设，，不妨设，设直线l的方程：， 消去x得，， 所以，， 由可得， 所以由上边三式可解得，，， 所以由抛物线定义可知. 故选：D． 【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】 【典例10】已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 . 【答案】 【分析】设，利用弦长公式求解． 【详解】抛物线的焦点，设直线l的方程为：， 联立方程，消去y得，， 设，则， 因为，所以， 即，得， 故答案为： 【变式10-1】已知直线l：与抛物线C：交于P、Q两点，O为坐标原点，则三角形OPQ的面积等于 ． 【答案】 【分析】利用方程思想，结合韦达定理，来求出弦长，再利用点到直线的距离公式计算，从而即可求面积. 【详解】    由直线与抛物线，联立方程组消元得： 即，设交点 则有， 由弦长公式可得：， 再由点到直线的距离公式得：， 所以三角形面积为：， 故答案为：12. 【变式10-2】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案. 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（    ） A． B． C．. D． 【答案】B 【分析】方法一：根据题意，在中，由，设，则，由勾股定理可得三边，结合椭圆定义和几何性质可得方程； 方法二：由题意知，由焦点三角形的面积公式得，即，设直线的倾斜角为，结合椭圆定义和三角函数可得，从而得椭圆方程. 【详解】方法一：由题意知，，如图， 设，则， 因为的面积为4，所以， 所以，所以，，. 设椭圆的方程为，焦距为， 则，，所以，， 所以椭圆的标准方程是. 方法二：由题意知， 设椭圆的标准方程是，焦距为， 由焦点三角形的面积公式得，即. 设直线的倾斜角为，则， 所以， 因此，即，得，所以椭圆的标准方程是. 故选：B 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率. 【详解】由题意可知，，， 所以， 设， 则， 即， 设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则， 因为，所以， 于是， 因为是的角平分线， 所以， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的定义得到答案. 【详解】根据题意有，所以. 故选：C. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知过抛物线的焦点的直线交于不同的两点，，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】法一：讨论当轴时的情况，当直线的斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，得根与系数的关系，根据求直线的斜率，写出直线的方程. 法二：讨论当轴时的情况，当直线的斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，得根与系数的关系，根据，得.由抛物线的定义得，，进而结合韦达定理求直线的斜率，写出直线的方程. 法三：设直线的倾斜角为，利用弦长与的关系式可求得，可求斜率，进而可求得直线方程. 【详解】由题意知，当轴时，易知，故，不符合题意. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，（点拨：当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意）， 代入，得.恒成立， 设，，由根与系数的关系可得. ，， 则， 所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 故选：A. 法二：由题意知，当轴时，易知， 故，不符合题意. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， （点拨：当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意） 代入，得.恒成立， 设，，由根与系数的关系可得. 由，得，即. 由抛物线的定义得，， 所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 故选：A. 法三：设直线的倾斜角为，由，得， 即，所以，所以，所以， 又直线过点，所以直线的方程为或. 故选：A. 7．（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是和，若在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意问题转化为双曲线的渐近线与双曲线有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为， , 点在双曲线上， 双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即， 则，解得（负值已舍去）， 故该双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 8．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，利用余弦定理列式求解即可. 【详解】 由题意可知：，，且， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 则，化简得， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D. 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 10．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，根据双曲线的定义可得、，结合勾股定理和离心率的定义计算即可求解. 【详解】 如图，，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D. 二、填空题 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，求出，点坐标，由等边三角形建立方程解得，由方程有解列出不等式，然后由离心率公式得到代数式， 得到范围. 【详解】令，则， 即， 为等边三角形，则， 即 即有解，则，即， 又∵, ∴双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 12．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，， 及第一象限的点均在上，直线与轴交于点，若，且，则直线（为坐标原点）的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式可得，利用平面向量的夹角公式求解点的纵坐标，即可根据数量积的夹角公式求解，根据斜率公式求解. 【详解】因为是的一个外角，所以， 所以， 结合，可得． 由，可得，， 所以，，，则，，，． 设，则，因为， 所以，所以， 故，解得或（舍去）， 所以直线的斜率为． 故答案为：    【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用诱导公式与题设条件分析得，从而得解. 13．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知双曲线的左、右两个焦点分别为是上任意一点且满足点到的距离与点到直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设，结合点到的距离与点到直线的距离计算即可得、间关系，即可得解. 【详解】设，则有，即， 则 ， 则由可得， 即， 故，即有，即可得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 【答案】7 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形面积公式，勾股定理列方程，结合离心率的值，即可得解. 【详解】 如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上，设，， 则，，，即， 所以，又，所以，又， ，解得，所以，即. 故答案为：7. 15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 三、解答题 16．（2025高二·全国·专题练习）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点.求点的轨迹方程； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用直线求出椭圆中的值，再根据椭圆的标准方程列式求解即可； （2）设直线：，，与椭圆方程联立，利用和韦达定理可得①，再设的方程为，与椭圆方程联立，利用与椭圆相切，判别式为0，求出切线的方程，同理可得切线的方程，由在直线，上，联立，可得，在直线上，得②，再将根据及①②联立即可求解. 【详解】（1）由题意得，直线的方程为，即， 当时，，故， 由解得或（舍去）， 椭圆的方程. （2）设直线：，，，， 与联立， 所以，， 由可得 ， 化简可得①， 设的方程为，即， 与联立， 令， 故，结合， 故，解得，所以切线方程为， 即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程， 同理可得方程为：，由在直线，上，则， 即，在直线上， 所以直线方程为：，即， 而直线方程为，故， 由①可得，整理得到：， 若 轴，则，则，故， 此时在轴上，结合切线方程可得， 此时也满足此方程， 所以的轨迹方程为. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在上，是的右焦点. (1)求双曲线的标准方程. (2)不过点的直线与交于两个不同的点，若直线和的斜率之和为3. （i）求证：经过定点； （ii）若线段的中点为，直线交直线于点，求证：轴. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率和点在上，得到的值，得双曲线的标准方程； （2）（i）设，，由斜率公式得到，之间的关系，分的斜率不存在和存在进行研究，的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系推到即可； （ii）求出直线的方程，求点的纵坐标与点的纵坐标之间的关系可得证. 【详解】（1）由离心率，得，，， 又点在上，所以，所以，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）设，， 则直线和的斜率分别是，， 则， 整理得.（*） 若的斜率不存在，设的方程为，将其代入的方程，得， 则，则由根与系数的关系得且， 将代入（*）式，得， 得，不满足，不符合题意. 所以的斜率存在，设的方程为，代入的方程， 整理得， 则， 且，根据（*）式， 得， ， ， ， ， ， ， ， 由于不过点，所以，即， 所以，，代入，得， 即，所以过定点. （ii）易知，线段的中点，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 令，得点的纵坐标， 则 ， 又，所以 ， 因此点和点的纵坐标相同，故轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（24-25高三上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）（i）由与轴是否垂直两种情况讨论求解即可；（ii）求得两点坐标，结合即可求解； 【详解】（1）由， 解得，故双曲线的标准方程为． （2）（i）①当与轴垂直时，，解得． ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故， 且． 将与联立可得：． ， 而，故． 综上所述，． （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而． 消去可得：， 故． 19．（24-25高二·全国·假期作业）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点A，，三点共线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，结合题意求出、，即可得解； （2）由（1）可得，则，根据得到，即可求出，再由弦长公式计算可得； （3）联立直线AB与抛物线的方程，利用求出的值域. 【详解】（1）设直线的方程为， 由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为A、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以 ， 即 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$