专题14 直线和圆（十大题型5大易错题）（题型专练+易错精练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题14 直线和圆（十大题型5大易错题） 【题型1 直线的倾斜角与斜率范围】 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）直线 的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 4．（20-21高二·全国·课后作业）以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 求解直线方程】 7．（24-25高二上·四川成都·期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·北京·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【题型3 由一般式方程确定两直线位置关系】 12.（24-25高二上·辽宁大连·期中）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．或 13．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 15．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知直线，若，则实数的值为 . 【题型4 两条直线的交点与距离问题】 16．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两条平行直线，则和间的距离为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 18．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 19．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 【题型5 对称问题的求解方法】 22．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 23．（2024高三·全国·专题练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 24．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A．B． C． D． 25．（23-24高二上·重庆·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A．B． C． D． 26．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【题型6 求圆的方程的两种方法】 27．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动直线 被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 30．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 31．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 32．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程. 【题型7 求与圆有关的轨迹问题的方法】 33．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 34．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 35．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 36．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【题型8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】 37．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 38．（24-25高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·北京·期中）圆被直线截得的弦长为 ． 【题型9两圆的公共弦问题】 40．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 42．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【题型10两圆的公切线问题】 44．（24-25高二上·四川·期末）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（24-25高二上·天津·阶段练习）圆与恰有三条公切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（   ） A．36 B．3 C．10 D． 47．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 1．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ． 2．（24-25高二上·全国·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 5．（24-25高二上·海南·期中）已知点在圆上运动，点. (1)求的最小值； (2)若为的中点，求点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 直线和圆（十大题型5大易错题） 【题型1 直线的倾斜角与斜率范围】 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为， 故选：B 2．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）直线 的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，求出，再由，可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， ∴．∴其倾斜角为. 故选：D. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】设的倾斜角为，， 由题意得的斜率，则， 故选：C． 4．（20-21高二·全国·课后作业）以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则可得直线的倾斜角的范围． 【详解】由函数，得.设， 则以点为切点的切线的斜率为. 设以点为切点的切线的倾斜角为，则. 由，可得， 所以直线的倾斜角的范围. 故选：A. 5．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出的值，即可得出结论. 【详解】若，则，解得， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：A. 6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 【题型2 求解直线方程】 7．（24-25高二上·四川成都·期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率 于是直线的方程为，即. 故选:A. 8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接设直线的一般式方程，然后把点代入方程即可求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程是，代入点，得， 解得，所以所求的直线方程是. 故选：A 9．（22-23高二上·北京·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 10．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点斜式方程求解即可. 【详解】所求直线方程为，即. 故选：B. 11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 【题型3 由一般式方程确定两直线位置关系】 12.（24-25高二上·辽宁大连·期中）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 13．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合， 所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 14．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 15．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知直线，若，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为， 所以，解得或. 故答案为：或. 【题型4 两条直线的交点与距离问题】 16．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两条平行直线，则和间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两平行线间距离公式求解即可； 【详解】， 所以由两平行线间的距离公式可得， 故选：D. 17．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得，结合图形即可得结果. 【详解】题意可知：抛物线的焦点为，准线为，    则， 所以的最小值即为点到直线的距离为. 故选：D. 18．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行可得的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得，所以，解得， 故两直线方程分别为，， 故这两条平行线之间的距离为. 故选：B. 19．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围. 【详解】 作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交. 由此可得圆的半径， 即，实数r的取值范围是. 故选：A. 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当曲线在点处的切线与已知直线平行时点到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】联立得，则， 所以直线与曲线不相交， 因此当曲线在点处的切线与直线平行时，点到该直线的距离最小. 因为，直线的斜率，所以，解得，则， 所以到直线的距离最小，最小值为. 故选：C 21．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【分析】联立方程即可求解. 【详解】联立，解得，故交点为， 故答案为： 【题型5 对称问题的求解方法】 22．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 23．（2024高三·全国·专题练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据反射光线的反向延长线过点可设反射光线所在直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可求直线的斜率. 【详解】 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点， 设反射光线所在直线方程为：，即：. ∵反射光线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得，解得：或. 故选：D． 24．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 25．（23-24高二上·重庆·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为：， 化简可得：. 设点关于直线的对称点， 则，解得，， 点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为． 直线MN即直线，则直线MN的方程为，即． 故选：D 26．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知圆心在法线上面，故首先求出法线方程，然后结合圆与入射光线相切即可确定圆心位置，从而即可得解. 【详解】由题意入射光线不垂直轴，设入射光线交轴于点， 则由题意，即，解得， 所以法线方程为即轴， 由题意半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切， 所以由对称性可知圆心在轴上，不妨设为， 而入射光线为，所以圆心在轴正半轴上，即， 所以半径为的圆恰好与入射光线相切得，解得， 所以圆心，圆的标准方程是. 故选：C. 【题型6 求圆的方程的两种方法】 27．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 28．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动直线 被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线恒过点，依题意可得圆C的圆心为，半径，即可求出圆的方程. 【详解】动直线 ，即， 令，解得， 所以动直线恒过点， 又动直线 被定圆C截得的弦长等于， 所以圆C的圆心为，半径， 所以圆C的方程为. 故选：B 29．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可； （2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）点到直线的距离为2，即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此方程为， 所以经过点且与圆相切的直线方程为或. 30．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可； （2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解. 【详解】（1）设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 31．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程. （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）依题意，线段的中点，直线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离 因此，解得， 所以实数的值为. 32．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）∵圆心在直线上， ∴设圆的标准方程为， ∵圆经过两点， ∴，解得，， ∴圆的标准方程为. （2）∵为直角三角形，, ∴圆心到直线的距离. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，即， ∵圆心到直线的距离， ∴，解得， ∴直线的方程为或. 【题型7 求与圆有关的轨迹问题的方法】 33．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 34．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)定值， 【分析】（1）设，结合题设列出方程即可求解； （2）设，，，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，进而求解即可. 【详解】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.    35．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）是线段的中点，利用中点坐标公式表示出点坐标，代入圆即可. （2）斜率存在时，设，则的圆心到直线的距离，解得，得到的直线方程，斜率不存在时也符合. 【详解】（1）设，，因为线段的中点为， 则，所以， 点在圆上，代入圆，得， 化简得，即为的轨迹方程； （2）由（1）知：的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当直线的斜率存在时，设，即， 则的圆心到直线的距离， 所以，解得，故直线为； 当直线斜率不存在时，，也符合题意， 所以直线的方程为或. 36．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程； （2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 所以曲线的标准方程为. （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程为，满足与圆相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线距离，解得， 则方程为. 过点且与曲线相切的直线的方程为或. 【题型8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】 37．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即得. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：A 38．（24-25高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解. 【详解】由圆，则圆心为，半径为， 由圆心为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 39．（24-25高二上·北京·期中）圆被直线截得的弦长为 ． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：8 【题型9两圆的公共弦问题】 40．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：C． 41．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】判断出两圆相交，两圆相减求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B 42．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆方程作差得两圆公共弦所在的直线方程，结合点到线的距离公式求公共弦长. 【详解】两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为 故选：C 43．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到公共弦所在的直线的距离，再由可得答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 【题型10两圆的公切线问题】 44．（24-25高二上·四川·期末）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】判断出两圆的位置关系即可得出圆，的公切线条数. 【详解】由已知得，圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为，故， 而，故圆，相交，有两条公切线. 故选：. 45．（24-25高二上·天津·阶段练习）圆与恰有三条公切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线条数，确定两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由条件可知，两圆相外切，所以，解得：. 故选：D 46．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（   ） A．36 B．3 C．10 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得两圆外切，进而求得，再借助动圆与圆有公共点，求出动圆半径的最小值即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆恰有三条公共切线，得圆外切，则， 即，显然点在圆上，点在圆外， 令，则点在圆上， 因此圆与有公共点，则，， 即，解得，则， 所以的最小值为36. 故选：A 47．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 1．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案． 【详解】因为， 所以所求直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为， 由直线方程的斜截式得：， 化为一般式得：． 故答案为：． 2．（24-25高二上·全国·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 【答案】6 【分析】由点的坐标特点可得点在直线：上运动，则求点关于直线的对称点，则由求解即可. 【详解】设，则， 所以点在直线：上， 又圆的圆心，半径， 设圆心关于直线对称点， 则，解得， 所以， 所以圆：关于直线对称圆：， 如图： 连接交直线于点，则， 连接交圆于，则， 所以，故的最小值为6. 故答案为：6. 3．（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 5．（24-25高二上·海南·期中）已知点在圆上运动，点. (1)求的最小值； (2)若为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可； （2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程 【详解】（1）圆的标准方程为， 故圆心，半径. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. （2）设. 因为为线段的中点， 所以则 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$