11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 [学习任务] 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图， 2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一空间几何体的定义 90°，则在直观图中A=45. ( 如果只考虑一个物体占有的空间 (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时， 和 ,而不考虑其他因素，则这个空 平行线段在直观图中仍平行，且长度不变. 间部分通常可抽象为一个几何体。 ( (3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直 知识点二水平放置的平面图形的直观图 观图中长度保持不变， () 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直 知识点三空间几何体直观图的画法 观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 y轴，作出与之对应的x'轴和y轴，使得它 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互 们正方向的夹角为 ). 相 的x轴与y轴，作出水平平面上 (2)平面图形中与x轴平行（或重合）的线段 图形的直观图（保留x轴与y'轴） 画成与x'轴平行（或重合）的线段，且长度 (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取 之轴，并使之轴 于x轴与y轴.过 平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画 x'轴与y'轴的交点作z轴对应的x'轴，且 成与y轴平行（或重合）的线段，且长度为原 x轴 于x'轴 来长度的 图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线. x轴 (或 )的线段，且长度 赵微判断 不变 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 连接有关线段 (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线 (1)用斜二测画法画水平放置的角A时，若 段改成 A的两边分别平行于x轴和y轴，且A= (或擦除). 35 》高中数学·必修第四册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重难突酸 探究一 用斜二测画法画平面图形的直观图 探究二用斜二测画法画立体图形的直观图 [例1]如图，画出水平放置的等腰梯形AB [例2]已知一个正四棱台的上底面边长为 CD的直观图. 2,下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画 出此正四棱台的直观图. 川规律方法川 作水平放置的平面图形的直观图的技巧 川规律方法川 (1)在作水平放置的平面图形的直观图时，选取适 空间几何体的直观图的画法 当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多 (1)对于一些常见几何体（柱，锥、台，球）的直观 的项点在坐标轴上，以便于画点， 图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地 (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与 福出。 坐标轴平行的线段端点的对应点都比较家易，但是 (2)画空问几何体的直观图时，比画平面图形的直 如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平 观图增加了一个'轴，表示坚克方向， 行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平 (3)x'轴方向上的线段、方向与长度都与原来保持 致 行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来 确定。 ☑跟踪训练 (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直 观困可能不同。 2.已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方 形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm,试 口跟踪训练 用斜二测画法画出此棱柱的直观图. 1.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形 OABC的直观图. A3.-2) 36 第十一章立体几何初步 探究三直观图的还原与计算 川规律方法川 [例3](1)（多选）如图所 由直观图还原为平面图形的关健是找与x'轴， y轴平行的直线或线段，且平行干'抽的线段还原时 示是斜二测画法画出的水 长度不变，平行于y轴的线段还眼时放大为直观图中 平放置的三角形的直观 相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连 图，D为B'C'的中点，且 接即可。由北可得，直观国面积是原围形面积的导修。 A'D'∥y轴，B'C∥x'轴，那么在原平面图 形△ABC中 ( ☑跟踪训练 A.AB与AC相等 3.已知正三角形ABC的边长为4，那么 B.AD的长度大于AC的长度 △ABC的直观图△A'B'C'的面积为() C.AB的长度大于AD的长度 A.6B.86C.43 D.163 D.BC的长度大于AD的长度 4.(多选)如图，△A'B'C'是水平放置的 (2)用斜二测画法画出的水平放置的三角形的 △ABC的直观图，A'B'=2,A'C'=BC'= 直观图为△OA'B'(如图)，且OA'=OB=1, √5，则在原平面图形△ABC中，有() 则原三角形的面积为 0' A.AC=BC B.AB=2 C.AC=2/5 D.S△Ac=4V2 随堂巩固促应用 验证反馈迁移远用 1.(多选)给出以下关于斜二测直观图的结论， 其中正确的是 A.水平放置的角的直观图一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.两条平行线段在直观图中仍是平行线段 4.如图，一个水平放置的平 2.如图，已知等腰△ABC,则在如图所示的四 面图形的直观图是一个 个图中，可能是△ABC的直观图的是 底角为45，腰和上底长 均为2的等腰梯形，则该平面图形的面积 人人A人A 等于 ( A.2+√2 B.4+22 C.8+42 D.16+82 A.①②B.②③ C.②④D.③④ 3.如图为一平面图形的直观图，则此平面图形 可能是选项中的 提示请完成《素能提升训练)训练九 37[跟踪训练] 5.解(1)图为=3-mi,4=1十2， 2心用为-料》-岁空号+合州 2 则=3-mi-3=mi1-3i）_-3-3m-(9+mi 1 x,+i1+3i(1+3)(1-3i) 10 以=号一多所以的痘部为一号批选心 周为是他度货，测十解得-1 3.B =a-i→3+bi=2a-2i+ai-=1+2a+ (2)z+名=4+(2-m)i,z1-x1=2-(m十2)i, (a-2)i.. 3=1+2aa=1,b=-1.a十b=0,故 b=a-2 由x,+=,一，则16+(m-2)=4+(m十2)， 选B. 解得m=立： 3 2+i(2+i)(1+2i) 此时-=2-(m+2i=2-号， 4.C由题意知，令：=-21-2)1+2而 =i,所以复 数之的共轭复数为：=一i,故选C, 周北，一=2+号 章末优化提升 探究三 【考点聚焦】—[跟踪训练] 例3][解](1)把x=3+i代入关于x的方程x-px 1.解(1)g是虚数，∴m-2m-3≠0， +10=0(p∈R),得(3+i)2-p(3+i)+10=0. 解得m≠一1且m≠3. 整理，得(18-3p)十(6-p)i=0,所以18-3p=0, (2):复数。表示的点在第四象服， 6-p=0, m一1>0， 解得p=6. 1m-2m-30, 巴a释1m<3 (2)①若两根为实根时，不妨设x=2,测x,=士2，当 .m的取值范国为(1,3). x,=2时，则a2-5a十4=0，解得a=1或a=4:当x1= 2.解(1)x2=(a十i)=a-b+2ai.∴a-=3. -2时，则a+3a十4=0，由于△=9-16=-7<0，可得 :之在复平面内对应的点位于第一象限， a无解. .a>0,b>0.又lz=√a+b=5, ②若两根为虚根时，剿x1=x,1·x=|x,=4, a-b=3, 即a-a=4,求得a=1±，亚.再根据此时△=（一2a) 则由a2十6=5，得a=2,b=1, 2 a>0,b>0, -4(a-)=(1±/7)-16,4<0时，a=1-☑ .x=2+i,x=2-i,x+2g=6一i. 2 (2)由(1)可得A(2.1),B(2,一1)，C(6,一1)， 综上可得，a=1二厘表4=4或a=1. ∴.1AB1=2,1BC1=4,1AC1=25, 2 .AB+BCI=AC.ABLBC. [跟踪训练] 故△ABC为直角三角形， 6.解析。由实系数方程在复数范围的虚教根成对出现，因 在△ABC中，：|AB引=2，BC=4, 此方程还有一个根为1一3i,由此可知b=(1十3i)十(1 -3i)=2,c=(1+3i)(1-3i)=10. △ABC的面积S6w-壹BA·BC=4 答案x-2.x十10=0 3+i 3.ABD 7.解=(1+i)m2+(5-2i)m十(6-15i)=(m+5m+ 由1+i0=3+p=干2-，所以=2+i, 6)+(m-2m-15)i. 对于A,|=、②+1下=5，故A正确：对于B,:=2 (1)选捧①： i的实部是2，故B正确：对于C,=2一i的虚部为-1， 1m2+5m十6=2， 故C错误：对于D,=2十i复平面内对应的点为(2,1) 根据复数相等的充要条件，有 1m2一2m-15=一12. 在第一象限，故D正确 解得m=一1， 4.BD 国为=会=2一新，所以1=、可，周北A项 小方程x2-x十1=0的根为x=1土 错误：复数：在复平面内对应的点为(2，一3)，位于第四 2 象很，B项正确：：的共轭复数z=2十3i,C项错误：因为 (2)选择②： (m十i)=(2-3i)(m十4i)=(2m+12)+(8-3m)i为纯虚 根据共耗复数的定义，有m十5m+6=12, 数，所以2m十12=0,8-3≠0，得m=-6,故D项正确. m2-2m-15=-16, 解得m=1, 第十一章 立体儿何初步 六方程x十x十1=0的根为x=二1生园 2 11.1 空间几何体 (3)选择③： 由题意，m十5m十6=m2-2m一15，解得m=一3， 11.1.1空间几何体与斜二测画法 六方程，-3x+1=0的根为r=3±5 【自主学习探新知】 2 知识点一形状大小 【随堂巩固促应用】 知识点二 (1)45°或135°(2)不变一半 1.D因为x=2+i,所以：=2一i,所以(g十2)=(4+i) 微判断 (2-i0=9-2i. (1)×(2)×(3)X 12 知识点三(1)垂直(2)垂直垂直平行重合 的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下 (3)虚线 底面ABCD的直观图， 【互动探究解疑难】 (3)画上底面.在x轴上截取线段0=4，过O作Ox'∥ 探究一 Qr,Oy∥Oy,使∠x'O,y=45”,建立坐标系x'Oy,在 [例1门[解]如图①，在已知等腰梯形中以底边AB所 xOy中仿照(2)的步骤画出上底面ABCD的直观图. 在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直 (4)连接AA,BB,(CC,DD,擦去辅助线，将被遮挡的 角坐标系，设DC与y轴的交点为E, 部分改为虚线，得到的图形就是所求的正四校台的直观 图，如图② [跟踪训练] D E 2.解(1)画轴.画出x轴、y轴、x轴，三抽相交于点O,使 ∠0y=45°，∠x0k=90. (2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm,在 y轴上通PQ=号cm,分别过点MN作y轴的平行 图① 图② 线，过点P,Q作工轴的平行线，设它们的交点分别为 如图②，画x'轴和y'轴，使∠x'Oy'=45, A,B,C,D,则四边形ABCD就是该棱柱的底面， 在x'轴上取A'B'=AB,且使O为A'B的中点，在y轴 (3)画侧棱.过点A,B,C,D分别作g轴的平行线，并在 上取0E'=0E,过点E作轴的平行线1，在1上取 这些平行线上分别裁取4cm长的线段AA',BB',CC', DD',如图①所示 点D',C',使得EC'=EC,DE=DE,连接A'D', D' B'C‘,如图③， 图③ ④ ① ② 擦去辅助线，得到等腰稀形ABCD的直观图，如 (4)成图.连接A'B‘,BC‘,CD',DA',并加以整理（去 图④. 掉辅助线，将被选挡的都分改为虚线)，就得到该棱柱的 跟踪训练 直观图，如图②所示 1.解画法：(1)画x轴y轴，使∠x'Oy‘=45 探究三 (2)在Ox'轴上取D',B,使OD'=3,OB'=OB,在 [例3]解析](1)根据斜二测画法的规则知AD= 0y'轴上取C,使0C'=0C, 2A'D',BC=B'C',AD⊥BC,BD=CD,由勾股定理 知AB=AC,由直角三角形知AD<AC,AB>AD, 在Ox'轴下方过D'作D'A'平行于O'y‘,使DA'=1. BC与AD的长度大小不确定. (3)连线，连接)A',A'B',B'C‘,所得四边形即为水平 (2)根据斜二测作图原别作出原图△OAB,如图所示， 放置的四边形OABC的直观图，如图. 2D2 探究二 [例2][解](1)画轴.如图①，画x轴、y轴、x轴，三轴 相交于点O,使∠x0y=45”,∠x(0:=90° 在△OAB中，OA⊥OB.OA=OA'=1,OB=2OB'=2, 所以△0AB的面积为S=0A·0B=号×1X2=1. A [答案](1)AC(2)1 [跟踪训练] 3.A如图所示， E G ① ② (2)画下底面.以(O为中点，在c轴上取线段EF,使得 EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H 分别作AB ILEF,CD LEF,且使得AB的中，点为G,CD 13 则A'B'C'的面积为：2×号×2X,3×si血年=6。 :知识点二2.平行四边形3.不共线 知识点三微判断 4.BD在克观图△A'B'C'中，过C作C'D'⊥A'B'于D' (1)X(2)×(3) 知识点四垂线BAB平行任意平行任意 【互动探究解疑难】 探究一 [例1门[解](1)是由两个四棱维组成的，有6个项点、 12条棱和8个面组成. (2)是由两个锥体组合而成，有6个顶点、10条棱和6个 ② 面组成。 ,A'B=2,A'C'=BC'=5,∴.A'D'=1,CD' [银踪训练] VAC-AD=2. 1.解(1)为正六棱柱，有12个顶点、18条棱、8个面. 又∠C'o'D'=45°..OD'=2,0A'=1,OC=22, (2)为圆柱，有2条曲线（圆），3个面(2个平面和1个曲面). .利用斜二测画法将直观图△A'BC还原为原平面图 探究二 形△ABC,如图②， [例2][解析](1)，点C不在平面3内，所以C任a. OC=42,OA=1,AB=2,放选项B正确： (2)点A不在平面a内，所以A任a. (3)直线AB与平面a相交于点B,所以AB∩a=B. 又AC=OA+O=√/33，BC=VOB+(OC= (4)直线CD在平面a内，所以CDCa. √4I,故选项AC错误： (5)平面a与平面3相交，且交线为BD,所以a∩3-BD Sm=号×ABX0C=2×2X4v7=42, [答案](1)CE3(2)A∈a(3)AB∩a=B(4)CD Ca(5)a∩3=BD 故选项D正确，故选BD, [跟踪训练] 【随堂巩固促应用】 2.A由图形可知，a门3=m,nCa,m∩n=A或表示为A L.AD水平放置的角的直观图一定是角，故A正确： ∈m,A∈.即A正确，故选A. 角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直 3.C可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进 规图中也会改变，比如正方形的直方图，故BC错误： 行判断，对A不满足aCa,故错误：对B不满足bCB,故 由纤二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性， 错误，对C满足条件，正确：对D不满足a∥AB,b∥ 所以D正确. AB,故错误 2.D根据坐标轴夫角为45或135，等腰△ABC的直观 探究三 图如图所示， [例3][解](1)有平面ADDA'和平面ABCD. (2)有平面ABBA'和平面CDD'C'. (3)有平面ADDA'. (4)有平面ABBA',平面CDD/C',平面A'B'CD'和平 面ABCD (5)线段AA',BB,CC,DD' 只有③④符合 (6)线段AB,A'B',DC',DC 3.C由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯 (7)可用线段AA',BB',CC,DD来表示 形.又因为第一象限内的边平行于y轴，故选C. (8)线段BD 4.C由题意知BC'=OC=AB'=2,∠COA'=45, [跟踪训练] 4.C正方体共有12条棱，其中与AA,平行的有BB, 所以(A'=(C'cos45+BC+A'Bcos45=2+2/2. CC,DD,共3条，与AA相交的有AD,AB,AD, 将直观图还原成平面图形如图所示， 在平面直角坐标系中，在x轴上戴取外2B AB共4条，图此与棱AA异面的棱有11一3-4=4 条，故本题选C OA=OA'=2+22,在y轴上裁取 5.C由题意，如图所示，直线a∥直线b,aC平面a,bC平 OC-20C'=4,过点C作x轴的平行4 面3，易知两平面可能平行或相交，故选C 线，截取CB=CB=2,顺次连接各，点 可得平面图形是上底长为2，下底长022+2 为22十2，高为4的直角梯形，所以 其面积为S=号×2+2+2D)X4=8+42. 【随堂巩固促应用】 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 1.AB平而是无限延仲的，但是没有大小、形状、厚薄， 【自主学习探新知】 A,B两种说法是正确的；C,D两种说法是错误的. 2.BCD根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A 知识点一1.点、线，面 项错误，应改为，点A∈平面a,B,C,D正确. 14