训练6 复数的几何意义&训练7 复数的加法与减法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第四册(RJB 训练六 复数的几何意义 基础练了 9在复平面内面出复数两=号+ 1 学考测评 2 1.已知x=(m十3)十(m一1)i在复平面内对 -1=号-对应的向量02,02， 2 应的点在第四象限，则实数m的取值范围 是 ( ) OZ3,并求出各复数的模，同时判断各复数 A.(-3,1) B.(-1,3) 对应的点在复平面上的位置关系. C.(1,+∞) D.(-∞，-3) 2.在复平面内，复数x=(a2-2a)十(a2一a一2)i 对应的点在虚轴上，则a的值为 () A.a=0或a=2 B.a=0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 3.设z=a十bi对应的点在虚轴右侧，则 ( 能力练/迁移运周 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.b>0,a∈R D.a>0,b∈R 10.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为 4.已知复数z=a十i(i为虚数单位)，集合A 1,则|z的取值范围是 ={-1,0,1,2},B={-2,-1,1}.若a,b 11.在复平面内，表示复数之=(m一3)十2 ∈A∩B,则|z等于 √mi的点位于直线y=x上，则实数m的 A.1 B.√2 C.2 D.4 值为 5.设(1十i)x=1十yi,其中x,y是实数，则 12.已知之一|之|=一1十i,则复数= |x十yi川等于 () A.1 B.√2 C.√3 D.2 13.在复平面内的长方形ABCD的四个顶点 6.若复数31=一1,2=2十i分别对应复平面 中，点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3 十2i,一2一3i,求点D对应的复数. 内的点P,Q,则向量PQ对应的复数是 ,其共轭复数为 7.设x为纯虚数，且z一1=一1+i,则复 数之= 8.实数m取什么值时，复数x=2m十 (4一m2)i在复平面内对应的点满足下列 条件？ (1)位于虚轴上； 创新练 素能培优 (2)位于第一、三象限. 14.已知复数x=3+ai,且|x|<4,求实数a 的取值范围。 12 训练七 复数的加法与减法 8.已知i为虚数单位，计算： 基础练了学考测椰 (1)(1+2i)+(3-4iD-(5+6iD; 1.如果x一(2-3i)=一1+i,那么复数x为 (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]: () (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). A.1-2i B.1+4i C.-1-2i D.-1+4i 2.已知复数z满足x一z=2i,则z的虚部是 () A.-1B.1 C.-i D.i 3.如图，在复平面内，复数1，之2对应的向量 分别是OA,OB,则|z1十2|= B 9.已知复数之=2十3i,试在复平面上作出下 ☑01234 列运算结果对应的向量. (1)z-3i; (2)x-(3+i). A.1 B.√5 C.2 D.3 4.设f(x)=x,x1=3十4i,2=一2一i,则f(1 一2)等于 () A.1-3i B.-2+11i C.-2+i D.5+5i 5.在复平面内的平行四边形ABCD中，AC 对应的复数是6+8i,BD对应的复数是一4 +6i,则DA对应的复数是 () A.2+14i B.1+7i C.2-141 D.-1-7i 6.已知复数1=(a2-2)十(a-4)i,x2=a -(a2-2)i(a∈R),且名1一2为纯虚数， 则a= 7.设复数z满足z十|z=2+i,则z ·z在复平面内对应的点位于第 象限. 13 高中数学·必修第四册(RJB 能力练了掘移运周 创新练了素能培优 10.复数z=x十yi(x,y∈R)满足条件|z-4i 14.已知复平面内的A,B对应的复数分别是 =z十21，则2+4'的最小值为() z1=sin20+i,2=-cos20+icos20,其中 A.2 B.4 C.42 D.16 0∈(0，π)，设AB对应的复数是x. 11.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为 (1)求复数； 之1，之2，必，复数之满足|之一名1|=|之一2 (2)若复数：对应的点P在直线y=2女 =|z一3|，则z对应的点是△ABC的 ( 上，求0的值. A.外心B.内心C.重心 D.垂心 12.已知x=√5，且x一2+4i为纯虚数，则 复数之= 13.已知四边形OACB是复 平面内的平行四边形，O 是原点，点A,B分别表 示复数3+i,2+4i,M是 OC,AB的交点，如图所示，求点C,M表 示的复数 14解得≥号，又1=号时=30， :1l.解析因为=|a|+bi,之2=1十bi(a,b∈R),且名 <z2, =30时t最小，且为号，此时△POQ中OP=00 所以b=0,la<1,由a<1,得-1<a<1. 答案、-1<a<1,b=0 =PQ=20, 12.解析 ∴.航向为北偏东30°，航连为30海里/小时， 由名>为，得 轮船A能在最短时间与轮船B相遇. 2a+3a=0, a=0成a=-是， 训练五复数的概念 a+a=0,即a=0或a=-1, -4a+1>2a, .1 基础练学考测评 a<6 1.D复数2一i的实部为2，虚部为一b,由题意知2一 解得a=0. 一（一b),所以b=2. 答案0 2.D由已知条件可得z=1,即z2=士1，故1=1,4= 13.解(1)要使复数名为实数，需满足 一1，之，=i,之，=一i,故方程有4个根. 1m2-2m-2>0, 3.D复数之=m2-1十(m2一m一2)i为实数，∴m2-m m2+3m十2=0， 解得m=一2或一1. 一2=0，解得m=一1或m=2. 即当m=一2或一1时，x是实数 4.C若此复数是纯虚数，则 低-220释a-1 (2)要使复数之为纯虚数，需满足 1m2-2m-2=1,解 m2+3m+2≠0， 所以当a≠一1时，已知的复数不是纯虚数. 得m=3. 5.A对①，由于x,y∈C,所以x,y不一定是x十yi的实 创新练素能培优 部和虚部，故①是假命题：对②，由于两个虚数不能比较 14.解：MUP=P,∴MCP, 大小，故②是假命题：③是假命题，如12十=0，但1≠ 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m°-2m)+(m 0,≠0. +m-2)i=4i. 6.解析因为x,y∈R,所以利用两复数相等的条件有 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1, 十y一工二3解得工=4所以x十y=1. x-2y=y-19, y=5, 答案1 年22得 7.解析由题意得 m2-2m=0·解得m=2, m2-2m=0, 由(m2一2m)+(m2+n-2)i=4i,得 m2-1>1, m2+m-2=4, 答案2 解得m=2. 8.解(1)由复数相等的充要条件，得 综上可知，m=1或m=2. x十y=0·解 2 训练六复数的几何意义 y=x十1， y=2 基础练学考测评 (2)因为a,m∈R,所以由a2+am十2十(2a十m)i=0, 1.A由题意知 m+3>0即一3<m<L.故实数m的取 1m-1<0,1 可得a十am+2=0 解得a2， a=-√2， 或 值范围为（一3,1）. 2a+m=0, m=-2√2m=22, 2.A复数x=(a-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚 所以a=士√瓦. 轴上，.a-2a=0,.a=0或a=2. (m2-2m=0, 3.D复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于 9.解(1)当 即m=2时，复数之是实数 《m≠0， 零，虚部可为任意实数 (2)当m2一2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数之 4,B因为A∩B={-1,1},所以a,b∈{-1,1}，所以x 是虚数. =a+6=√2. （m2+m-6=0, 5.B因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1, (3)当m 即m=一3时，复数z是纯虚数。 m2-2m≠0， |x+yi=1+i=√+1=√2. 能力练迁移运用 6.解析P(-1,0),Q(2,1),∴PQ=(3,1),∴PQ对应 10,解析因为x∈R,所以二1二6∈R,由复数相等的 的复数为3十i,其共轭复数为3一i, x+1 答案3+i3一i 2-x6=0, 7.解析周为为纯虚数，所以设=ai(a∈R,且a≠0)， x十1 条件，得2-2x一3=0， 解得x=3. 则|x-1川=|ai-1|=√a+1.文因为|-1+i=w2, (x十1≠0， 所以√a+1=√2，即a2=1,所以a=士1，即=士i 答案3 答案土i 35 8.解(1)若复数：在复平面内的对应点位于虚轴上， 以4为半径的国内（不包括边界）， 则2m=0,即m=0. 由x=3十ai知x对应的点在直线 (2)若复数x在复平面内的对应点位于第一、三象限，则 x=3上， 2m(4-m)>0, ,.线段AB(除去端点)为动点Z 解得m<一2或0<m<2, 的集合 9解根据复数与复平面内的点的 由图可知一√万<a<√T, 一一对应，可知点Z1,Z2,Z的坐 a∈(-√7w7). 标分别为（合，》(-1,0， 2 训练七 复数的加法与减法 -101 (侵，-）则向量0z,02,0元 基础练学考测评 1.Ax-(2-3i)=-1+i,故x=-1+i+2-3i=1-2i 如图所示， 2.B设z=a十bi,a,b∈R,则z=a一bi,故x一文=2bi=2i, 所以b=1,故选B. =√()+()-1， 3.B由图象可知名1=一2-2i,34=,所以名1十1=-2-i, 1=|-1|=1, 3十1=5. 4.Dg=3十4i,4=-2-i,∴-%=(3+4i)-(-2 -√份)+(- -i0=5+5i.又f(x)=,f(名一为)=-=5 +5i 如图，在复平面xOy内，点Z1,Z关于实轴对称，且Z1, Z2,乙，三点在以原点为圆心，1为半径的國上 5.D依据向量的平行四边形法则可得DA十DC=DB, 能力练迁移运用 DC-DA=AC,由AC对应的复数是6十8i,BD对应的复 10,解析由题意得z=a十i,根据复教的模的定义可知z 数是一4十6i,依据复数加减法的几何意义可得DA对应 =√a+1.图为0<a<2,所以1<a+1<5,故1< 的复数是一1一7i. √a+1<5. 6.解析名1-名=(a2-a-2)+(a-4十a-2)i(a∈R) 答案(1W5) 为能度数…日十日8解释。-1 11.解析由表示复数z=(m一3)十2√mi的点位于直线 答案一1 y=x上，得m一3=2Vm,解得m=9. 7.解析设x=x十yi(x,y∈R),则|z=√+y, 答案9 .x+yi+√a+y=2+i 12.解析方法一：设x=x十yi(x,y∈R),由题意，得x十 3 i-√+y=-1+i,即(x-√+y)+yi=-1 :+F+了=2·解得 x=4 y=1, y=1. 十i根据复戴相等的条件，得一金+了=一1解 (y=1, =是十，故在复辛面内对应的点位于第一象限 得=0=i ly=1, 答案是+i一 方法二：由已知可得x=(z一1)十i,等式两边取模， 8.解(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+ 6i)=-1-8i. 得|x=√(x-1)'+下 (2)5i-[(3+4iD-(-1+3i)]=5i-(4+iD=-4+41 两边平方，得z=x2-2引z+1+1→1x=1. (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b) 把x=1代入原方程，可得x=i, 3]i=-a+(4b-3)i 答案i 13.解记0为复平面的原点，由题意得 9.解(1)设复数x=2+31对应的向量为0Z. 设复数名1=31对应的向量为OZ,则两个复数的差之 0A=(2,3),0B=(3,2),0C=(-2,-3). 3i对应两个向量的差OZ-OZ,如图①所示，OA即 设0D=(x,y,剩AD=(x-2,y-3),BC-(-5,-5). 为x一3i 由题意知，A方=B记所以一？=一5·即-3， y-3=-5,y=-2, 故点D对应的复数为一3一2i. 创新练素能培优 14.解方法-：x=3+ai(a∈R),∴x=√3+a,由 已知得3+a<4,.a<7,∴a∈(-7，W7). 方法二：利用复数的几何意义，由x<4知， 之在复平面内对应的点在以原点为图心， 36 (2)设复数4=3十i对应的向量为OZ2,则两个复数的 .z(1一i)=(2-i)(1-i)=1一3i,.x(1-i)的虚部为 -3. 差z一(3十i)对应两个向量的差OZ-OZ2,如②所示， 2i2i(1+1) OB即为x-(3+i). 3.C由已知可得x=兰a1十D一1+i,所以2 能力练迁移运用 =一1一i,所以芝在复平面内对应的点为（一1，一1），位 10.C由x-4i=x+2引得x+(y-4)i川=x+2+i, 于第三象限， .x2+(y-4)2=(x+2)+y2,即x+2y=3, 4.C因为2-i是实系数一元二次方程x2十bz十c=0的 ∴2+4'=2+2≥2√2+w=2√2=42， 一个虚根，则该方程的另一个虚根为2十i,由韦达定理 当且仅当=2y=号时，2十取得最小值4V厄。 1(2-iD+(2+iD=-b, 可得(2-D(2+i)=e: 所以 b=-4, c=5. 11.A设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的 5.B设x=x十yi,(x∈R,y≠0)则2i(x十yi)=(x+yi), 三个顶点所对应的复数分别为1，，名及之一无= 化简得2xi-2y=x2-y2+2xyi,则2x=2xy,x2-y2= |z一|=|z一|可知点Z到△ABC的三个顶点的距 -2y,其中2x=2xy,当x≠0时y=1,此时x2-1= 离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC -2,即x2■一1，无解：当x=0,-y=-2y,所以为口 的外心， 2,y=0(含去)，故2=2i,x=2. 12.解析设复数z=x十yi(x,y∈R), 6.解析 1+i 则x-2+4i=(x-2)+(y+4)i. 1+i0=4=i 1-i(1-iD(1+D=21 fx-2=0, 答案i 由题意知y+4≠0·子{成不2， .g=2 7.解析 (x2+y2=5. 1y=-1. 音-合骨-号-子且共对度 1+i(1+i)(1-i) 土i. 答案2士i 的点在第四象限， 解得a>2.,实数a 13.解因为OA,OB分别表示复数3+i,2+4i, 所以OC=OA十OB表示的复数为 的取值范固为(2，十∞). (3+i)+(2+4i)=5+5i, 答案(2，十∞) 即，点C表示的复数为5十5i, 又oi=20d, 8解（←+）2-D8+D-(-+号)7-0 所以0象示的复数为号+受， -8-1+3+1 2 2 即点M表示的复数为受十 （2)2+2i)'(4+5_4i(4+52_-20+16i (5-4i)(1-i) 5-4-9i1-9i1 创新练素能培优 =二46-4D1+92=二441+41D=-2-2. (1-9i)(1+9i) 82 14解(1)，点A,B对应的复数分别是 z=sin+i,=-cos'0+icos 20, m2-2m-3=0, 点A,B的坐标分别是 9.解(1)若g为纯虚数，则 m≠0， 解得m= A(sin'0,1),B(-cos'0,cos 20), m一3m≠0， .'.AB=(-cos*0-sin'0,cos 20-1) -1. =(-1,-2sin0. 故当m=一1时，复数老是纯虚数」 ∴.AB对应的复数x=-1-2sin所. (2)当m=1时，x=-4一2i, (2)由(1)知点P的坐标是（一1，一2sin0), xz=(-4-2i)(-4+2i)=20, 代入y=,得-2sm0=-合 20 -4-21+4+干= =20. 即=名血0=士安 能力练迁移运用 又8e600s0-名0-音号 1acD2系-a98-2告-号+号A度 2i 5 数：的虚部是子，故Λ错误：B1:| 训练八复数的乘法与除法 基础练学考测评 √（侣）+（信）-25，故B错误；C,复数x的共起 1.A由题可知，z=(1+2i)=(1+2i)()i=(1十2)i=一2 十i,所以x■一2一i. 复能是=号一言，故C正确D。复数：对应的点是 2.C由i=1+21,得=1+2i=-i01+20=2-i, i (号，号)故D正确。 37