10.2.2 复数的乘法与除法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

第十章复数 10.2.2复数的乘法与除法 [学习任务] 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 自主学习探新知 课前预可双基落实 知识点一复数的乘法 知识点二复数的除法法则 1.复数的乘法 1.复数的倒数 一般地，设31=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈ 一般地，给定复数z≠0，称二为之的倒数。 R),称12（或1X2)为1与2的积，并 规定1之2=(a十bi)(c+di)=ac+adi+bci 2.复数的除法法则 +bdi?= 设x1=a十bi,2=c+di(a,b,c,d∈R且c十 2.复数乘法的运算律 (1)对任意复数名1,2,3，有 ≠0)则2-+-g牛+a 2 c+di c2+d2 b,c,d∈R且c+di≠0). 交换律 1,= 结合律 (313)% 《微练习 乘法对加法的分配律 1(4十)= 2.已知(2十i)x=1一i,则x= (2)n个相同的复数x相乘时，仍称为z的n A1-3 B.3 次方（或n次幂），并记作x“,即之”= 之Xz×…X多.可以验证，当m,n均为正整 c号 D.号+ n个 数时，之”之”= 知识点三实系数一元二次方程在复数范围 ,(之m)”= （2122)"= 内的解集 3.复数的和平方公式、平方差公式 当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方 (1)(名1十2)2=好十2312十. 程ax2十b.x十c=0称为实系数一元二次方 (2)号-号=（名1十2）（名1一2）. 程，这个方程在复数范围内总是有解的， 4.共轭复数的性质 而且 设x的共轭复数为，则 (1)当△=b-4ac>0时，方程有 (1)x2= =2. 的实数根； (2)z2=(2)2 (2)当△=b2一4ac=0时，方程有 （3)21之g=2122: 的实数根； 《微练习 (3)当△=b2-4ac<0时，方程有 1.已知名1=2i,2=1一i,之=之2，则复数之为 的虚数根 飞微练习 A.2+2i B.2-2i 3.方程4x2+9=0的根为 C.-2+2i D.-2-2i 29 高中数学·必修第四册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳业难突破 探究一复数的乘法和除法运算 2.(2022·石家庄高一月考)设i为虚数单位， [例1]计算： 复数x满足(3十4i)z=25,则在复平面内z (1)(1+i)(1-i)+(-1+i): 对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 (2(-+)(停+制1+D: C.第三象限 D.第四象限 (3)(-2+3i)÷(1+2i): 3.已知复数x满足(1一i)之=2i(i为虚数单 (4)3+2i_3-2i 位)，则= () 2-3i2+3i A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i 4.已知复数=1十，则：的虚部为（） 5-i A.-1 B.-i C.1 D.i 探究二 复数运算的综合应用 [例2]已知名是虚数，名=名十1是实数， 且一1≤x2≤1. (1)求|1|的值以及名的实部的取值范围： =}二，求证：w为纯虚数。 (2)若ω=1+ 川规律方法川 复数乘除运算的常用技巧 (1)按風复数的乘法法则，三个或三个以上的复 数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合体运算， 混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合 乘法公式，测可直接运用公式计算， (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分 导的共瓶复数，使“分母实数化”，这个过程与“分琴有 理化”类似， 跟踪训练 1.(2022·广东高-期中)若复数z=1i为 虚数单位)，则引z= A号 C.1 D.2 30 第十章复数 川规律方法川 (2)若在复数范围内，关于x的方程x2 解决双复数问题的方法 2ax十a2一a=0至少有一个模为2的根，求 解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多 的一个复数z=a十i(a,b∈R),注意题目对a,b取值 实数a的值. 的限制，然后用a,b表示出另外的复数，进而转化求 解.此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算 外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义， 口跟踪训练 5.已知复数z1=3-mi,x2=1+2i,m∈R. 1)者是统虚数，求实数m的值： (2)若引x1十2|=|x1一2|，求名1一22 川规律方法川 复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出 方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解 对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意 在复数范国内负数是能开方的，此外，根与系数的关系 也是成立的.注意求方程中参数的取值时，不能利用判 别式求解， 口跟踪训练 6.关于未知数x的实系数一元二次方程x-一bx +c=0的一个根是1+3i(其中i为虚数单位)， 写出一个一元二次方程为 7.从①z与复数2一12i相等，②z与复数12+ 16i互为共轭复数，③z在复平面上对应的 点在第一、三象限角平分线上这三个条件中 探究三在复数范围内解方程 任选一个，补充在下面问题中，并解答 [例3](1)(2022·信阳高二期末)已知i为 问题：若复数z=(1十i)m2+(5一2i)m十(6 虚数单位，关于x的方程x2一px十10=0(p -15i)(m∈R), .求方程x2十mx ∈R)的两根分别为x1,x2·若x1=3+i,求 十1=0(x∈C)的根. 实数p的值 31 》高中数学·必修第四册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.(2022·重庆高二期中)已知z=2+i,则(x 3.已知a,b为实数，且，十i=a-i是虚数单 2+i 十2)x= () 位)，则a十b= () A.7-2i B.-9+2i A.2 B.0 C.-1 D.-2 C.-7+21 D.9-21 2.(2022·南京高一月考)设x= 2+i 4复数的共轭复数是 () 则x的 共轭复数的虚部为 A.-i B. C.-i D.i A B c- 提示请完成《素能提升训练》训练八 章末优化提升 网络构建 复数的分类 复数的概念 复数相等的充要条件 复平面的概念 复 复数的几何 复数的向量表示 数 意义 复数的模 共轭复数 复数代数形式的加减运算及其几何意义 复数的运算 复数代数形式的乘除运算 回考点聚焦 考点一复数的概念 [解](1)z∈R台a2-3a十2=0，解得a=1 [例1门当实数a为何值时，之=a2一2a+(a 或a=2. fa2-2a=0, -3a+2)i, (1)为实数： (2)z为纯虚数1d-3a+2≠0， (2)为纯虚数： 由a2-2a=0可得，a=0或a=2; (3)对应的点在第一象限内： 由a2-3a十2≠0可得，a≠1且a≠2， (4)复数z对应的点在直线x一y=0上， 故a=0. 32(a-c)+(b-d)2=1. ② 由①②，得2ac+2bd=1. -[(-9)+(停-专]1+ ∴l名+zl=√(a十c)+(b+d0 -(-号+)1+0=(-》+（侵） √a+c+b+d+2ac+2bd=√3. 方法二： 2 设O为坐标原点，，妇，名十2对应的点分别为A, B,C, 3(-2+30÷1+20=￥2--2+30气0 (1+21)(1-2) 3|=|z|=|31-31=1, ,.△OAB是边长为1的正三角形， -2+a+-音+ 12+2 5 ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形， 3+2i.3-21 且|名十名|是菱形的较长的对角线OC的长， (40方法一：2-3引2+3 .|名1+名2|=10C= =(3+2)(2+3i)-(3-2i)(2-3i) √/TOA+AC-21OAAC1cos120°=√5. (2-3i)(2+3i) 【随堂巩固促应用】 1.A原式=(1-2)+(-1-1+3)i=-1+1 _5+1i=+13i+6-g- 4+9 2.D名1一=5-7i,之1一名2在复平面内对应的点(5， 方法二： 一7)位于第四象限. 3+2i3-21_12-30-=i(2+3n=i计i=21 2-3i2+3i2-3i 2+3i 3.解析由题意，得x十y十(x一yi=2,z+y=2, x-y=0, [跟踪训练] y=1. 1A猴题意=aD=-名十，所 i(1+i) y=1, 答案1 以=√(》+（合）-号 4.解析设x=a十bi,a,b∈R,则a十i+3i=a+(b+3)i 是纯虚数， 2.D 由题意，(3十4i)z=25,故x= 25 3+4= .a=0,b十3≠0.又x=3,.b=3,.g=3i 25(3-4i) 答案3i (3+4(3-缅=3-4，在复平面内之对应的点为(3， 10.2.2复数的乘法与除法 一4)，位于第四象限， 2 2i(1+i) 【自主学习探新知】 3.A由题意可得=兰a十D=一1+i, 知识点一1.(ac-bd)+(ad+bc)i2.(1)z马(3名) 所以芝=一1一i 名十名名(2)2+对4.(1)1z 故选A. 微练习 1.A由题设，x=213=2i×(1-i)=21十2. 4C复教x=1+3i-1+5D3+n=生=，别z的 3-i (3-i)(3+i)4 知识点二微练习 虚部为1， 2.C国为(2+iD2=1-,所以x一2干(2+D(2- 1-i(1-i)(2-iD 探究二 [例2][解]设名=a+i(a,b∈R,且b≠0)， 知识点三(1)两个不相等(2)两个相等(3)两个互为 名-名+-a+a+5-(e+。48)十 1 共轭 微练习 (6a年g加 因为4x+9=0,所以x2=-9, ，所以工 因为之2是实数，b≠0，于是有a2+b=1, 3.解析 即名1|=1，所以21=2a. 由-1≤1，得-1长2a<1,解得-<a≤号 答案土 中写的宾将的取值花国是[一之·合] 【互动探究解疑难】 探究一 2)运明：。=字-导+- (1+a)2+b [例1][解](1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1一+(-1 b +i)=2-1+i=1+i a+ (2(-+)(慢+2封)1+D 周为a[-·] b≠0，所以仙为纯虚数 11 [跟踪训练] 5.解(1)图为，=3一mi,x2=1十2i, 2心周为告9帮-岁-台+1所 2 则名=3-mi-3-mi1-30=3-3m-(9+m)i 以1、 2+11+3i(1+3i)(1-3) 10 一受，所以正的虚年为一吕故选C 因为产是地庄数：因信十格得烟1 3.B 3+6 2+i =a-i=3+bi=2a-2i+ai-i=1+2a+ (2)x+=4+(2-m)i,名1-名=2-(m+2)i, (a-2)i.. 3=1+2aa=1,b=-1,a+b=0,故 b=a-2 由3十：=-，则16十(m-2)2=4十(m十2)°， 选B. 解得m= 3 此时名=2-(m+2i=2-号 4.C由题意知，令x=-20-201+25 2+i(2+iD(1+2i) =i,所以复 数之的共轭复数为乏=一i,故选C. 周此一=2+名 章末优化提升 探究三 【考点聚焦】一[跟踪训练] [例3][解](1)把x=3十i代入关于x的方程x2-px 1.解(1)z是虚数，∴m2-2m一3≠0， +10=0(p∈R),得(3+iD2-p(3+i)+10=0. 解得m≠一1且m≠3. 整理，得(18-3p)+(6-p)i=0,所以18-3p=0, (2):复数2表示的点在第四象限， 6-p=0, 1m-1>0, 解得p=6. m2-2m-3<0, 中巴a.释1m<3, (2)①若两根为实根时，不妨设|x,|=2,则x,=士2，当 ,m的取值范围为(1,3). x1-2时，则a°-5a十4-0，解得a-1或a-4:当x1- 2.解(1)，x=(a+bi)2=a'-b+2abi,∴.a2-b=3. -2时，则a2+3a十4=0，由于△=9-16=-7<0，可得 :名在复平面内对应的点位于第一象限， a无解. .a>0,b>0.又|zx-√a+6-5, ②若两根为虚根时，剥工1=x,x1·工=z1=4, a2-b=3, 即4-a=4,求得a1±)应.再根据此时4=(-2a 则由a2十b=5,得a=2,b=1, 2 a>0,b>0, -4(a-a)=(1±v7)2-16,4<0时，a=1-7 .x=2+i,x=2-iz+22=6-i. 2 (2)由(1)可得A(2,1),B(2,一1)，C(6,一1)， 综上可得，a=1二)厘或4=4或a=1 .ABI=2,BCI=4,IACI=25, 2 ..AB*+BC=AC*,..ABLBC, [跟踪训练] 故△ABC为直角三角形 6解析由实系数方程在复数范围的虚数根成对出现，因 在△ABC中，：|AB1=2,BC=4, 此方程还有一个根为1一3i,由此可知b=(1十3i)+(1 -3i)=2,c=(1+3i)(1-3iD=10. △ABC的面积Sx=BA·BC=4 答案x2-2x+10=0 3.ABD 由1+0=3+p=-2-i所以=2+i 7.解x=(1+i)m2+(5-2i)m+(6-15i)=(m+5m+ 6)+(m2-2m-15)i. 对于A,=√2+下=5，故A正确；对于B,x=2- (1)选择①： i的实部是2，故B正确：对于C,z=2一i的虚部为一1， 1m2+5m十6=2， 故C错误：对于D,z=2十i复平面内对应的点为(2,1) 根据复数相等的充要条件，有 m2-2m-15=-12, 在第一象限，故D正确 解得m=一1， 4.BD 8克=2-3i,所以=丽，周此A项 国为x一1+2i 六方程x2-x十1=0的根为工=1± 错误：复数x在复平面内对应的点为(2，一3)，位于第四 2 象限，B项正确：的共轭复数之=2十3i,C项错误；因为 (2)选择②： z(m十4iD)=(2-3i)(m十4i)=(2m十12)十(8-3m)i为纯虚 根据共軛复数的定义，有 m+5m+6=12, 数，所以2m十12=0,8-3m≠0，得m=-6,故D项正确. m2-2m-15=-16, 解得m=1, 第十一章立体几何初步 六方程x十x十1=0的根为x=一1生网 2 11.1 空间几何体 (3)选择③： 由题意，m2十5m十6=m2-2m一15，解得m=一3， 11.1.1空间几何体与斜二测画法 六方程r-3x+1=0的根为x=3士5 【自主学习探新知】 21 知识点一形状大小 【随堂巩固促应用】 知识点二(1)45°或135°(2)不变一半 1.D因为x=2+i,所以x=2一i,所以(x十2)x=(4+i) 微判断 (2-iD=9-2i. (1)×(2)×(3)X 12