10.2.1 复数的加法与减法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

》高中数学·必修第四册(RJB) 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 [学习任务] 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题 自主学习探新知 保前预习双基落实 知识点一复数的加法与减法 知识点二 复数加减法的几何意义 1.运算法则 如果复数·所对应的 向量分别为O2与O2, 一般地，设1=a十i,名2=c十di(a,b,c,d∈R, 则当OZ与OZ不共线 y4 规定名十=(a十i)+(c十di)= 复数加 时，以OZ和OZ为两条 法的几 邻边作平行四边形 -2=(a十i)-(c十di)= 何意义 O2Z乙，则名十所对 2.加法运算律 应的向量就是OZ. 推论：|一|l≤1e 对任意复数名1，之2,3，有1十2一 +≤+l ,(1十2)十1= 如果复数，所对应的 向量分别为O立，与O立， 赵微判断 复数减法的 设点Z满足O2=Z,Z, 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 几何意义 则一马所对应的向量 就是OZ. (1)两个虚数的和或差可能是实数.() 推论：一名1川≤： (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加 ≤z1+| 得实部，虚部与虚部相加得虚部.() 《微练习 (3)复数的减法不满足结合律，即(，一2) 在复平面内，AB,AC对应的复数分别为一1 一=名1一(2十)可能不成立.() +2i,一2一3i,则BC对应的复数为() A.-1-5 B.-1+5i (4)若复数名一>0，则名1>·() C.3-4i D.3+4i 26 第十章复数 互动探究解疑难 要点归纳重难突骇 探究一 复数的加减运算 探究二 复数加减运算的几何意义 [例1]计算： [例2](1)如图所示，平行四边形OABC的 (1)(-2+3i)+(5-i): 顶点O,A,C分别对应的复数为0,3十2i, (2)(-1十√2i)+(1+√2i): -2十4i.求： (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). ①AO表示的复数： ②CA表示的复数： ③OB表示的复数， (2)已知名1，∈C,1=|x|=1,1+|= 3,求名一 规律方法川 复数的加减运算的技巧 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相 加减 (2)把i香作一个字母，类比多项式加减中的合并 同类项， ☑跟踪训练 1.计算下列各题： (1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i): (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+ 川规律方法川 …+(2017-2018i). (口)复数运算的常用技巧。 ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的 变换转化戒复数运算去处理， ②四数转化为形：对于一些复数运算也可以给予儿 何解释，使复数作为工具运用于几何之中， (2)常见结论：在复平面内，？，对应的点分别为 A,B,十x对应的点为C,O为坐标愿点 ①四边形OACB为平行四边形. ②若引1十|=|5一1，期四边形OACB为 矩形. ③若{=g1,则四边形OACB为菱形. ④若11=名且1十之|=|*一：，则四边形 OACB为正方形. (3)利用图形述分析数学问愿，建立形与数的联 系，提升直观想象的数学核心素养， 27 事高中数学·必修第四册(RJB) 跟踪训练 探究三复数的加减运算 2.已知四边形ABCD是复平面上的平行四边 [例]设1,2∈C,已知|1=|2|=1， 形，顶点A,B,C分别对应于复数一5一2i, 1十2|=2，求|x1一. 一4+5i,2,求点D对应的复数及对角线 AC,BD的长. 跟踪训练 3.已知名|=名|=名一≈=1，求名十名. 随堂巩固促应用 验证及情迁移运用 1.复数(1-i)-(2十i)+3i等于 ( ):3.实数x,y满足(1十i)x十(1一i)y=2,则xy A.-1+i B.1-i 的值是 C.i D.-i : 4.已知÷是复数，||=3且之+3i是纯虚数， 2.设1=3-4i,2=一2十3i,则名1-名在复 则之= 平面内对应的点位于 ) A.第一象限 B.第二象限 提示请完成《素能提升训练》训练七 C.第三象限 D.第四象限 28(2)由z=(m2一2m一8)十(m2一4)i可知， (3+2i)+(-2+4i)=1+6i 复数x一m2(1+i)+8=(m2-2m-8)+(m2-4)i-mi (2)根据复数加减法的几何意义，由|名1|=之2知， -m2+8=-2m-4i 以OA,OB为邻边的平行四边形OACB是菱形. 依题意√（一2m)十16=2√5，解得m=土1. 如图，OA对应的复数为1，OB对应的复数为2 因此m=士1. 【随堂巩固促应用】 1.C=一1一2i在复平面内对应的点为Z(-1,一2)位 于第三象限】 2.B因为复数一1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于 直线y=一x的对称点为B(一2,1)，所以OB对应的复 OA=OB,OC对应的复数为1十 数为一2+i. 3.B:x=m一1十(m十2)i在复平面内对应的点在第二 ∴10C1=5. 在△AOC中，1OA=1AC=1,OC=3, 象限，20：解得-2<m<1,则实数m的取值 由余弦定理，得∠AOC=30°， 范围是(-2,1). 同理得∠BOC=30°，△OAB为等边三角形， 4.解析复数名，，名分别对应点P(3,一5)，P,(1, 则|BA=1,又BA对应的复数为1一名，|名-名 一1)，P,(-2,a),由已知可得5+1=a+1」 一2-从而可 =1. 3-1 [跟踪训练] 得a=5. 答案5 2.解如图，因为AC与BD的交点M 是各自的中点， 10.2复数的运算 所以有w=十-十和 2 2 10.2.1复数的加法与减法 所以zD=24十2c一n=1-7i. 【自主学习探新知】 因为AC:e-名A=2-(-5-2i)=7 知识点一1.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i2.名 +2i, 十名1名十（名十） 所以AC1=|7+2i=√7+2=√/53. 微判断(1)√(2)√(3)×(4)× 因为BD:D-2m=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i, 知识点二微练习 ABC=AC-AB=(-2-3i)-(-1+2i)=-1 所以|BD1=|5-12i1=√5+12=13. 故点D对应的复数是1一7i,AC与BD的长分别是 -5i. 【互动探究解疑难】 √53和13. 探究一 探究三 [例1][解](1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i [例3][解]方法一： =3+2i. 设21=a十bi,z2=c+di(a,h,c,d∈R), (2)(-1+√2i)+(1十√2i) 由题设知a2+6=1,c2+d=1,(a+c)2+(b+d02=2. 又(a+c)2+(b+d)2=a3+2ac+c2+b2+2bd+d, =(-1+1)+(W2+√2)i=2√2i. (3)(a+bi-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i ∴.2ac+2bd=0. =-a+(4b-3)i. l名-12=(a-c)+(b-d)2=a+c2+6+d (2ac+2bd)=2, 跟踪训练] 1.解(1)原式=(3-10+2)+（一2+5+17）i=一5+20i 名1一为=√2. (2)原式=(1一2+3-4+…+2015-2016+2017)+ 方法二： (-2+3-4+5-…-2016+2017-2018)i=1009 作出对应的向量02,02，使02+02，-02 1010i. ,名|=||=1，又OZ,OZ2不共线（若OZ,0Z共线， 探究二 [例2][解](1)：A,C对应的复数分别为3十2i,一2 则z1十名21=2或0与题设矛盾)， +4i, ∴，平行四边形OZ1ZZ2为菱形. 又|名十=√2，∴∠Z0Z,=90°， 由复数的几何意义知，OA与OC表示的复数分别为 即四边形OZZZ2为正方形， 3+2i,-2+4i 故名1一|=√2. ①因为AO=-OA,所以AO表示的复数为一3-21. [跟踪训练] ②因为CA=OA-OC,所以CA表示的复数为 3.解方法一： (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 设名，=a十bi,=c十di(a,b,c,d∈R), ③OB=OA十OC,所以OB表示的复数为 l名|=名|=名-=1，∴a2+6=c2+d=1,① 10 (a-c)+(b-d)2=1. ② 由①②，得2ac+2bd=1. -[(-9)+(停-专]1+ ∴l名+zl=√(a十c)+(b+d0 -(-号+)1+0=(-》+（侵） √a+c+b+d+2ac+2bd=√3. 方法二： 2 设O为坐标原点，，妇，名十2对应的点分别为A, B,C, 3(-2+30÷1+20=￥2--2+30气0 (1+21)(1-2) 3|=|z|=|31-31=1, ,.△OAB是边长为1的正三角形， -2+a+-音+ 12+2 5 ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形， 3+2i.3-21 且|名十名|是菱形的较长的对角线OC的长， (40方法一：2-3引2+3 .|名1+名2|=10C= =(3+2)(2+3i)-(3-2i)(2-3i) √/TOA+AC-21OAAC1cos120°=√5. (2-3i)(2+3i) 【随堂巩固促应用】 1.A原式=(1-2)+(-1-1+3)i=-1+1 _5+1i=+13i+6-g- 4+9 2.D名1一=5-7i,之1一名2在复平面内对应的点(5， 方法二： 一7)位于第四象限. 3+2i3-21_12-30-=i(2+3n=i计i=21 2-3i2+3i2-3i 2+3i 3.解析由题意，得x十y十(x一yi=2,z+y=2, x-y=0, [跟踪训练] y=1. 1A猴题意=aD=-名十，所 i(1+i) y=1, 答案1 以=√(》+（合）-号 4.解析设x=a十bi,a,b∈R,则a十i+3i=a+(b+3)i 是纯虚数， 2.D 由题意，(3十4i)z=25,故x= 25 3+4= .a=0,b十3≠0.又x=3,.b=3,.g=3i 25(3-4i) 答案3i (3+4(3-缅=3-4，在复平面内之对应的点为(3， 10.2.2复数的乘法与除法 一4)，位于第四象限， 2 2i(1+i) 【自主学习探新知】 3.A由题意可得=兰a十D=一1+i, 知识点一1.(ac-bd)+(ad+bc)i2.(1)z马(3名) 所以芝=一1一i 名十名名(2)2+对4.(1)1z 故选A. 微练习 1.A由题设，x=213=2i×(1-i)=21十2. 4C复教x=1+3i-1+5D3+n=生=，别z的 3-i (3-i)(3+i)4 知识点二微练习 虚部为1， 2.C国为(2+iD2=1-,所以x一2干(2+D(2- 1-i(1-i)(2-iD 探究二 [例2][解]设名=a+i(a,b∈R,且b≠0)， 知识点三(1)两个不相等(2)两个相等(3)两个互为 名-名+-a+a+5-(e+。48)十 1 共轭 微练习 (6a年g加 因为4x+9=0,所以x2=-9, ，所以工 因为之2是实数，b≠0，于是有a2+b=1, 3.解析 即名1|=1，所以21=2a. 由-1≤1，得-1长2a<1,解得-<a≤号 答案土 中写的宾将的取值花国是[一之·合] 【互动探究解疑难】 探究一 2)运明：。=字-导+- (1+a)2+b [例1][解](1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1一+(-1 b +i)=2-1+i=1+i a+ (2(-+)(慢+2封)1+D 周为a[-·] b≠0，所以仙为纯虚数 11