10.1.2 复数的几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

(2)[解]根据复效相等的充要条件， 知识点二2.z或a十bi3.a 由(2x-1)+i=y-(3-y)i. 微判断 5 得g解得子印一= (1)×(2)×(3) 【互动探究解疑难】 y=4, 探究一 [跟踪训练 [例1][解]因为x是实数，所以x2+x-6,x-2x 2.解由复数相等的充要条件，得2十8y14, 15也是实数. x-6y=-13, 解得/t=一1， I)当实数x满足+-6<0， 即一3<x<2时，点 y=2. 1x2-2x-15<0, 探究三 Z位于第三象限。 [例3][解](1)若复数是实数，则m-3m-18=0, 即2<x5时，点Z m十3≠0， (2)当实数x满足T+1-6>0, 1x2-2x-15<0, 即m二一3我m=6·得m=6。 住于第四象限 m≠一3， (3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, m2-3m-18≠0， 即3.x+6=0,x=-2时，点Z位于直线x-y-3= (2)若复数是虚数，则 1m十3≠0， 0上. 即m去一3且m≠6·对m≠一3且m≠6。 [跟踪训练] m≠-3， 1.解(1)由m一2m15>0,得m<-3或m>5, 2m十m-3=0, 所以当m<一3或m>5时，复数？对应的点在x轴 (3)若复数是纯虚数，则m十3≠0， 上方 m2-3m一18≠0， (2)由(m°十5m十6)十(m2一2n一15)十4=0，即2m2+ 3 m=1或m= 3m-5=0, 即m=1或m=一2 3 m≠一3， 得以=1或m=一号，所以当m=1或m=一号时， m≠一3且m≠6， 复数空对应的点在直线x十y十4=0上. [跟踪训练] 探究二 3.解=(1+i)m+(2i+1)m-2-3i= m+mi+2mi+m-2-3i [例2][解](1)设向量OB对应的复数为 =(m+m-2)+(m+2m-3)i= =x十y,i(xy,∈R),则点B的坐标为(xy), (m-1)(m+2)+(m一1)(m+3)i. 由题意可知，点A的坐标为(2,1). (1》由(m一1)(m十3)=0，得m=1或m=一3， 根据对称性可知无=2，y,=一1，故=2一1 即m=1或一3时，z为实数 (2)设点C对应的复数为￥=x十y,i(x·y∈R),则点 (2)由(m一1)(m十3)≠0，得m≠1且m≠一3， C的坐标为(xy), 即m≠1且≠一3时，：为虚数. 由对称性可知x=一2，y:=一1，故多=一2一i （8)由m一-1m十2）=0得m=-2,即m=-2时， [跟踪训练] (m一1)(m+3)≠0， 2.B向量OA.OB对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据 为纯虚数， 【随堂巩固促应用】 复数的几何意义，可得向量OA=(2,一3)，OB 1.B复数i的实部和虚邮分别是0,1. (一3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA=OA 2.C旅题意工十y红-yi=2,所以任十江=y OB=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内 x-y=0 =1→xy=1, 的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5-5i. 3.D根据虚数的定义得3是实数，不是虚数：4i,一1一， 探究三 瓦+2i是虚数，所以虚数的个数是3个。 [例3][解]由题意可知Z,(3,4),又因为Z,与Z关 4B由：为绝虚数，得m一90·解得m=3 于虚轴对称，所以Z,(一3,4)，从而有，=一3十4i. m十3≠0， 因此名=（一3）+4=5. 10.1.2复数的几何意义 又因为10Z1=名=√3+4平=5,0Z1=|x1=5, 【自主学习探新知】 所以OZ1=OZ。l. 知识点一1.实轴虚轴2，(1)相等互为相反数 [跟踪训练] 微思考 3.解(1)选择①：*<0，则 n-21-80, 解得m=2. [思考][提示]不正确.实轴上的点都表示实数：徐 1m2-4=0. 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序 选择②：g为虚数，则m一4≠0，解得m≠土2. 实数对为(0,0)，它所确定的复数是：=0十0i=0,表示 选择③：为纯虚数，则m一2n一8=0且m一4≠0，解得 的是实数， #三4. (2)由2=(m2一2m一8)十(m2一4)i可知， (3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 复数2一m(1十i)+8=(m°一2m一8)十(m一4)i一m1 (2)根据复数加减法的几何意义，由之1=|：，知， -m+8=-2m-4i 以OA,OB为邻边的平行四边形OACB是菱形. 依题意/（一2m)+16=2√5，解得m=士1. 如图，OA对应的复数为21，OB对应的复数为， 因此m=土1. 【随堂巩固促应用】 1.Cx=一1一2i在复平面内对应的点为Z(一1，一2)位 于第三象限。 2.B因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于 直线y=一x的对称点为B(一2,1)，所以OB对应的复 .OA=OB,OC对应的复数为，十 数为一2十i. 3.Bc=m-1十(m十2)i在复平面内对应的点在第二 ∴0C1=5. 在△A0C中，OA1=1AC=1,OC1=√3， 象限，以2：解得一2<m<1,期实数m的取俊日 由余孩定理，得∠AOC=30. 范围是（一2,1）. 同理得∠BOC=30,∴.△OAB为等边三角形， 4.解析复数1，名分别对应点P,(3,一5)，P(1, 则BA=1.又BA对应的复数为“1一1，|1一2 -1),P,(-2,a),由已知可得5+1=a十1」 3-1 一2，从而可 =1. [跟踪训练] 辩a=5. 答案5 2.解如图，因为AC与BD的交，点M 是各自的中点， 10.2 复数的运算 所以有w-十整十 2 2 10.2.1 复数的加法与减法 所以D=十e一n=1一7i. 【自主学习探新知】 因为AC:-21=2-(-5-2i)=7 知识点一1.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i2. 十2i, 十81g十(x十z3) 所以1AC1=|7+2i1=√7+2=/53. 微判断(1)√(2)√(3)×(4)× 知识点二微练习 图为BD:￥n-￥a=(1-7i)-(-4+5i)-5-12i, ABC=AC-AB=(-2-3i)-(-1+2i)=-1 所以1BD1=|5-12i1=√5+12=13. 故点D对应的复数是1一7i,AC与BD的长分别是 -5i. 【互动探究解疑难】 √53和13. 探究一 探究三 [例1][解](1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-10i [例3][解]方法一： =3+2i. 设g1=a十i,e=c十di(a,b,c,d∈R), (2)(一1+√2i)+(1+W2i) 由避设知a+b=1,c2+d=1,(a+c)+(b+d)=2. 又(a+c)2+(b+d)2=a2+2ae+c2+b+2bd+, =(-1+1)+(W2+√2)i=22i. ∴.2ac+2d=0. (3)(a+i)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i =-a+(4b-3)i. -1=(a-c)'+(b-d)2=a+c2+b+d 跟踪训练] (2ac+2hd)=2. 1.解(1)原式=(3-10+2)十(-2+5+17)i=一5+20i1. -1=2. (2)原式=(1-2+3-4+…+2015-2016+2017)+ 方法二： (-2+3-4+5-…-2016+2017-2018)i=1009- 作出名之对应的向量OZ,OZ,使OZ,+O2=OZ. 1010i 探究二 :1z1=1z|=1,又OZ,OZ2不共线（若0Z,O2.共线， [例2][解](1)：A.C对应的复数分别为3+2i,-2 则十=2或0与题设矛盾)， ∴.平行四边形OZ,ZZ。为菱形. +4i, 由复数的几何意义知，OA与OC表示的复数分别为 又lg,十=2，∴∠ZOZ=90°， 即四边形OZZZ,为正方形， 3+2i,-2+4i 故一=√2. ①因为AO=-OA,所以AO表示的复数为一3一2i. [跟踪训练] ②因为CA=OA一OC,所以CA表示的复数为 3.解方法一： (3+21)-(-2+4i)=5-2i. 设1=a十i,=c十di(a,b,c,d∈R), ⑧③OB=OA十OC,所以OB表示的复数为 lg|=|=之，-g=1,.a+6=c+d=1,① 10第十章复数 10.1.2复数的几何意义 [学习任务] 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 自主学习探新知 课前颈习双基落实 知识点一复数的几何意义 赵微思考 1.复平面 [思考]实轴上的点表示实数，虚轴上的点 表示虚数，正确吗？ 复平面 Z:a+bia,b∈R) 知识点二复数的模 2.共轭复数 1.定义：一般地，向量OZ=(a,b)的长度称为 (1)定义：一般地，如果两个复数的实部 复数z=a十bi的模（或绝对值） ,而虚部 ,则称这两个复数互 2.表示：复数之=a十i的模用 表示 为共轭复数. 3.公式：x=|a+bi=√a+b. (2)表示：复数x的共轭复数用之表示，因 当b=0时，|x=√a= 此，当g=a十bi(a,b∈R)时，有x=a一bi. 《微判断 3.复数的几何意义 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)复数z=a十bi(a,b∈R),一对应.复平面 (1)复数的模一定是正实数， () 内的点Z(a,b) (2)若|名1|=|2，则1=2 () (2)复数z=a十bi(a,b∈R),一对应.复平面 (3)两个复数互为共轭复数，则它们的模 内的向量OZ=(a,b). 相等。 () 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 (2)位于第四象限； 探究一复数与复平面内的点 (3)位于直线x-y-3=0上. [例1]实数x取什么值时，复平面内表示复 数z=x2十x-6+(x2-2x一15)i的点Z满 足下列条件？ (1)位于第三象限； 23 》高中数学·必修第四册(RJB) 川规律方法川 探究二复数与复平面内向量的关系 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数x=a [例2]在复平面内，O是原点，向量OA对应 +i(a,bER)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示，是 的复数为2十i. 解决此类问短的根据， (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部 (1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求 应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解， 向量OB对应的复数； 口跟踪训练 (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为 1.实数m取什么值时，复数x=(m2+5m十6) 点C,求点C对应的复数. +(m2-2m-15)i. (1)对应的点在x轴上方： (2)对应的点在直线x十y十4=0上. -川规律方法川 复数与复平面内的向量的对应关系 (1)根据复数与复平面内的向量的对应关系，可知当 复平面内的向量的起点在原点时，向量的终点对应的复 数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从愿 点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量 (2)解决复数与复平面内的向量一一对应的问题 时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现 复数、复平面内的点、向量之间的转化 24 第十章复数 跟踪训练 川规律方法川 2.已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA, 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚 OB对应的复数分别为2一3i,-3+2i,那么 部，再利用模长公式计算，虽然两个虚数不能比较大 小，但它们的模可以比较大小， 向量BA对应的复数是 ( (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实 数问题求解。 A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i 跟踪训练 探究三复数的模及其应用 3.在①z<0,②x为虚数，③x为纯虚数这三个 [例3]设复数x1=3十4i在复平面内对应的 条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数x=(m2-2m一8)十(m2-4)i. 点为Z1,对应的向量为OZ1:复数2在复平 (1)若 ,求实数m的值； 面内对应的点为Z2,对应的向量为OZ2,已 (2)若复数z-m2(1+i)+8的模为2√5，求 知Z1与Z2关于虚轴对称，求2并判断 m的值. 1OZ|与1OZ2|的大小关系. 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.复数x=一1一2i(i为虚数单位)在复平面内 3.已知x=m一1十(m十2)i在复平面内对应 对应的点位于 的点在第二象限，则实数m的取值范围是 A.第一象限 B.第二象限 () C.第三象限 D.第四象限 A.(-1,2) B.(-2,1) 2.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复 C.(1,+∞) D.(-∞，-2) 数为一1+2i,若点A关于直线y=一x的 4.若复数名1=3一5i,之2=1一i,名3=-2十ai在 复平面内所对应的点在同一条直线上，则实 对称点为点B,则向量OB对应的复数为 数a= A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 提示请完成《素能提升训练》训练六 25