章末检测卷1 解三角形-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

章末检测卷一 解三角形 (本卷满分150分；考试用时120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共： 8.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b, 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 c,若(2b-sinC)cosA=-sin Acos C,且a 一项是符合题目要求的， 1.(2022·泉州高一期中)在△ABC中，a= =2√3，则△ABC面积的最大值为() 7,c=5,则sinA:sinC的值是( A.2、2 B.33 A号 B哥 c日 D.2 C.3、5 D.47 二选择题：本题共4小题，每小题5分，共 2.已知在△ABC中，AB=2,AC=√3，B= 20分.在每小题给出的选项中，有多项符 60°，则sinC 合题目要求.全部选对的得5分，部分选 A停 R号 对的得2分，有选错的得0分， 9.(2022·扬州高二月考)不解三角形，则下 C.1 D吃 列对三角形解的个数的判断中正确的是 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a, A.a=30,b=25,A=150°，有一解 b,c.若c2=a2十ab+b2,则C () A.150° B.a=7,b=14,A=30°，有两解 B.120° C.60° D.30 C.a=6,b=9,A=45°，有两解 4.(2022·郑州高二期中)已知△ABC中， D.a=/5,b=√6，A=60°，无解 BC=4,AC=4√3，A=30°，则B=( 10.(2022·三亚高一月考)已知△ABC中， A.30 B.30°或150 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足B C.60 D.60°或120° 5.已知△ABC,cosA=3 5.BC= 5,cos B=4 3,a+c=3b,则4= 4,则△ABC的面积为 A.2 B.3 c D. A.5 B.6 C.10 D.12 11.(2022·南京高一月考)如 6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 图，在平面四边形ABCD a,b,c,若bcos C+ceos B=asin A,则 中，已知B+D=180°，AB △ABC的形状为 ( 2,BC=42,CD=4,AD=2√5，下列四 A.锐角三角形 B.直角三角形 个结论中正确的是 C.钝角三角形 D.不确定 A.B=D=90 7.(2022·焦作高二月考)如 B.四边形ABCD的面积为4√2+√⑤ 图，在△ABC中，已知AB C.AC=6 =3,∠BAC=爱，BC边上 D.四边形ABCD的周长为6十4√2十 存在点D,使BD=2DC,且AD=√7，那么 25 AC的长是 () 12.设△ABC的内角A,B,C所对的边为a, A.2 B.3 C.4 D.5 b,c,则下列命题正确的有 () 41 ◆高中数学·必修第四册(RJB A.若a+6-ab<c,则0<C<号 18.(12分)(2022·肇州高二期末)已知在 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为 B.若ab>c2,则0<C<3 a,b,c,且满足c十a=2b,5(c-a)=2h. (1)求△ABC中最大内角的余弦值： C.若a+b>2c,则0<C<号 (2)若a=C,求△ABC的面积 3√7 D.若a+b=c,则0<C<受 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 20分. 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若√3 asin B+√5 bsin A=2c sinA,若a=b,则A= ,三角形 的形状为 14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,a=4,b=45,A=30°，则该三 角形的面积等于 15.(2022·天津高一月考)在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a= 22,b=5,c=√13，则角C的大小为 19.(12分)(2022·陵川高二检测)在①ac 5,②csin A=3,③c=√3b这三个条件中 16.据气象部门报道今年第14号台风“灿都” 任选一个，补充在下面问题中，若问题中 于9月12日起陆续影响我国东南沿海一 的三角形存在，则求c的值：若问题中的 带，13日5时，测定台风中心位于某市南 三角形不存在，请说明理由。 偏东60°，距离该市400千米的位置，预计 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C 台风中心以40千米/小时的速度向正北 的对边分别为a,b,c,且sinA=√3sinB, 方向移动，离台风中心350千米的范围都 C- 会受到台风影响，则该市从受到台风影响 6 到影响结束，持续的时间为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知在△ABC中，角A,B.C的 对边分别为a,b,c.若a=3,bsin A= 3cos B. (1)求B: (2)若△ABC的面积为6，求b. 42 20.(12分)(2022·福州 D 22.(12分)在下列3个条件中任选一个，补 高一期中)在平面四 充到下面问题中，并给出问题的解答。 边形ABCD中， 2cos A(bcos C+ccos B)=a; ∠ABC=x,∠BAC ②csin B+C-asin C:(sin B+sin C) 2 =∠DAC,CD=4,AB=2 -3sin Bsin C=sin2A; (1)若BC=√2，求sin∠ADC: 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分 (2)若∠ADC=否，求AC. 别是a,b,c,a=√3， 1)若b-号，求eosC: (2)求（√3一1）b+2c的最大值，以及此时 的内角B. 21.(12分)(2022·石家庄高一期末)如图， 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行 驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶 D在西偏北45的方向上，仰角为30°，行 驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏 北60°的方向上. (1)求此山的高度（单位：km): (2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最 大仰角为0，求tana. 3所以AC⊥面BB,D.因为ACC平面ACD, 所以平面ACD⊥平面BB,D. 8B由(2b-sinC)osA=sin Acos C,得2 -bcosA 因为面BDP∩面BB,D=BD, sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B. 要使平面BDP⊥平面ACD, 则平面BDP与面BBD重合， osA=如，中品B产心品：由三孩定理可得 即P在A,C的中点时满足题意，所以A,C·A,P b =2. B周=中nA=6,由0<A长 章末检测卷一解三角形 得A=受，由余孩定理可得a=6+d2-26cc0sA,即12 7 =b+2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当c=b时取得等 1.A由正孩定理，得si如A:si血C=ac=写，故遮A 号.所以bc<12,△ABC面积S=besin A<号X12X 2.C由正孩定理，得inC=ABsin B_2sin60°=1. AC 3 9-3va. 3.B在△ABC中，c2=a+ab+b,∴.cosC= +-20-合0<C<180,0=12w 9AD对于A,由正孩定理血B=A-是又0<B a 2ab 2ab <30°，故B只有一个解，正确；对于B,由正弦定理sinB 故选B 4D周为BC=4AC=45A=30,C-S6 =bsin A=1,又0°<B<150,显然B=90°只有-个解， 所以sinB=AC·sinA_43×2=3] 错误：对于C,由正孩定理sinB-sinA-32>1,显 a BC 4 ?,所以B=60 然B无解，错误；对于D,由正弦定理sinB=sinA a 或120 5 Bo A=号cosB=号A,B为锐角，则nA= 号>1，显然B无解，正身，故藏AD -cosA=告血B=-cosB=号动C= 10.AC B=a+c=/6:(a+e)=a'++2ac= sin(A+B)=sin Acos B+coAsin B=号×告+号X 36①，由余孩定理可得，a+t2-2acos子=6②，联 号=1角C为直商.BC=4AB=二-千 立①②，可得2a-5ac+2=0,即2（任）-5（侣）+ sin A4 5 2=0,解得名-=2浅名- 5,AC=ABsin B=5X号=3，Sae=2 xXACXBC 11.ACD在△ABC中，可得AC=AB+BC-2AB· =2×3X4=6. BCcos B=4+32-2X2X42cosB,在△ACD中，可 得AC=AD+DC-2AD·DCcos D=20+16-2X 6.B因为bcos C十ccos B=asin A,由正弦定理，得sinB 25X4cosD,可得36-16√2cosB=36-16√5cosD, cosC+sin Ccos B=sinA,所以sin(B+C)=sinA.因 即√2cosB=√5cosD.因为B十D=180°，可得cosB= 为A十B+C=π，所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA, 一cDsD,可得cOsB=0.又因为B为三角形的内角，所 所以sinA=sinA.因为sinA≠0，所以sinA=1.因为 以B=90°，所以B=D=90°，所以A正确：由S,s4CD 0<A<,所以A=受，所以△ABC是直角三角形，故 =SAc+Sam=7AB·BC+2AD·DC=2×2X 选B 4巨+号×25×4=4巨+45，所以B不正确：在直 7.B过点D作DE∥AB,BD= 2DC,所以DE=号AB,且AE= 角△ABC中，可得AC=√AB+BC= √2+(4√2)产=6，所以C正骑；四边形ABCD的周长 号AC,在△ADE中，∠AED= 为1=AB+BC+AD+DC=2+4V2+2√5+4=6+ 4√2十2√5，所以D正确. 子，AD=7,DE=1,剥由余孩定理可得，AD=DE+ 12.BCD由a2+b-ab<c2,可得a+b-c2<ab,可得 AE-2DE·AEcos.∠AED,得7=1+AE-2AE· mC=+子人总=子：周为C∈0，，可得号 （-2),解得AE=2(负值舍去)，AE=子AC,所以 <C<元，所以A错误：由ab>c,可得cosC= AC=3. d+兰中>2-当县收当a 2ab 2ab 53 b时等号成立，因为C∈(0，x,所以0<C<胥，所以B (2)由△ABC的面积为6，可得号acinB=3区-6， 4 正确：由c2=a2+b-2 abcos C,且2c<a+b,所以4c 故c=4v2, =4(a+b)°-8ab(1+cosC)<(a十b)2,可得3(a+b)2 由余孩定理可得 <8ab(1+cosC),所以8ab(1+cosC)>12ab,可得 cosC>周为C∈0，x),所以0<C<号，所以C正 B=a'+e2-2 accos B=9+32-2×3×4w2× =17 2 确：由a+b=c,可得(a2+b)2=a+2aB+b= .b=17 2a6+c>d,所以cosC=a+-C>0,图为C∈ 18.解(1)设b=5t(t>0),由已知可得 fc+a=10t, 2ab c-a=2t, 可得c=6t,a=4t, (0,,所以0<C<受，所以D正确，故选BCD, 所以在△ABC中角C最大. 13.解析△ABC中，由正弦定理及给定等式，得√3sinA 所以c05C=。+6-C_16r+25r-36t= 2ab 2×4t×5t 8 sinB+√3 sin Bsin A=2 sin Csin A,图为sinA≠0，所 以√3sinB=sinC,所以W3b=c.因为a=b,所以cosA (2)由(1)得sinC=v-cosC-37 8 +_牛-.又0<A<,所以A 2bc 2√3b6 所以a=3 sinC=8,则b=10. -吾，周为a=b,A=晋，所以△ABC为等腰三角形， 所以△ABC的面积 答案音等腰三角形 Sa=如nC-7×10x8x-15w7. 14.解析由余弦定理，得a=b十c2-2 bccos A,即16= 19.解方法-：由sinA=3sinB可得号=5， 48+e-2×4v5×c×号，-12c+32=0,解得c= 不妨设a=√3m,b=m(m>0), 则c2=a2+b-2 abcos C=3m+m2-2X√5m×m× 2bcnA=×4X4x号 1 4或c=8,则SAAe= 45或5ar=2×45×8×7=85. =m,即c=m 2 选择①： 答案4√3或8√3 据此可得ac=√5mXm=√5m2=√5，∴m=1,此时c= 15.解析在△ABC中，因为a=2√2，b=5,c=√13，由 m=1. 余孩定理可得cosC=。+b-c-8+25-13-区 选择②： 2ab 2×2w2×5 2 据此可得cosA-6+d-m+m-3m_-1 2bc 2m 又国为C∈(0，)，所以C=子 则血A--(一厂-，北时血A=m× 2 答案冬 =3,则c=m=23. 16.解析如图，A为某市的位置，B是 北 选择③： 台风中心在13日5时的位置， 设台风运动1小时后的位置为C,则 可得后=册=1，c=b, BC=40t,又∠ABC=60°，ABA9 与条件c=√5b矛盾，则问题中的三角形不存在， =400, 60° 在△ABC中，由余弦定理，得AC 方法二：”sinA=3sinB,C=若，B=x-(A+C, =AB+BC-2AB·BCeos60°=4002+(40t)2- 六sinA=3sin(A+C)=3sin(A+f）, 16000t,由AC=400+(40t)2-160001≤3502，解得 草<<孕于是得空--营小时)，所以建市从安 snA=月in(A+O=BsnA+月ScosA .sinA=-√3cosA,∴tanA=-3, 到台风影响到影响结束，持铁的时间为受小时。 ∴A=号B=C=吾 61 答案号小时 若进择①：ac=V3,a=√3b=√3c,'3c2=√3，.c=1; 17.(1)'.'a=3,bsin A=3cos B,.'.bsin A=acos B, 由正弦定理，得sin Bsin A=sin Acos B,又sinA>0, 若选择②：6sinA=3,则=3c=25, 若选择③：与条件c=√3b矛盾，则问题中的三角形不 六anB=1,又B∈(0，x),则B=平 存在. 54 20.解(1)在△ABC中，AB=2,BC=2,∠ABC=3, :22.解(1)选择①： 4元， 2cos A(bcos C+ccos B)=a, 由余弦定理可得AC= 在△ABC中，由射影定理beos C+ccos B=a,得 √AB+BC-2AB·BCeos∠ABC =√4+2+4=√/10， 2ac0sA=a,解得csA=号而A∈(0，，则A=号 由正弦定理可得 BC AC 选择②： sin∠BAC sin,∠ABC 所以sin∠BAC=BC·sin∠ABC-@ esin BC 2 =asin C,在△ABC中， AC 10 又∠BAC=∠DAC, 由正孩定理，得sin Csin,A-sin Asin C, 2 所以sin∠DAC=sin∠BAC= 10 雨A,Ce0,0,mC>0,则cos会-2n会co号， 在△ACD中，CD=4,AC=V而，sin∠DAC=, 10 又0<含<受，即m合-是于是得A=子： CD AC 由正孩定理可得sin∠DACsinZADC 选择③： (sin B+sin C)*-3sin Bsin C=sin'A, 则sin∠ADC=AC·sin∠DAC=1 4 在△ABC中，由正弦定理，得62十c2-a2=bc, CD (2)在△ABC中，AB=2,∠ABC= 由会孩克里，得0A8+=名而AE(0, 2bc BC AC 由正孩定理可得sin/BACsin/ABC 则A= 则sin∠BAC=BC·siD∠ABC-Y2BC AC 2AC 由a=,6-号利月正弦交理，得血B-细A- 在△ACD中，∠ADC=若，CD=4, 3,而a>b,即角B为锐角， CD AC 由正弦定理可得sin/DAC sinZADC 因此，osB=V-sinB_2 3 则sin∠DAC= CD·sin∠ADC2 AC 所以cosC=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sinA AC 周为∠BAC=∠DAC所以亮-是解得C-2, sinB)=3-22 6 由余弦定理可得AC= (②由I知A=号，在△ABC中，C=号-B, √JAB+BC-2AB·BCcos∠ABC= 由正孩定理，得b=2sinB,c=2sinC. √4+8+8=25. 21.解(1)设此山高(km),则AC-an30 h 则3-1Db+2e=2(3-1)sinB+4sin(5-B）】 在△ABC中，∠ABC=120°，∠BCA=60°-45°=15°， =2/3(sin B+cos B)=2/6sin(B+), AB=4. 根据正孩定理，得AC。 AB 雨0<B<警则<B+<0, sin∠ABC sin,∠BCA' h 4 即sn120·tan30-sin1' 于是得当B+平-受时， 解得h=2(W6+√2)(km). (5-1)b+2c取得最大值26，此时B=开 (2)由题意可知，当点C到公路距高最小时，仰望山顶 D的仰角达到最大， 所以(3-1)b+2c的最大值是26，此时B=。 所以过C作CE⊥AB,垂足为E,连接DE. 则∠DEC=0,CE=AC·sin45°，DC=AC·tan30°， 章未检测卷二复数 所以m0-- 1.C依题意=一2十i,其虚部为1. 2.C,a+3i(1+i)=2+bi,,∴.(a-3)+3i=2+bi, 62 a=5,b=3,.2a-b=7. 3.B由题意，x=(a+iD(1十2i)=(a-2)+(2a+1)i,若x T为纯虚数，则{2a10.a=2,÷z=5i 55