训练4 解三角形在实际测量中的应用(二)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

(2)设航线上点C恰在岛M的正南方, 3.B “B-,AB-2,.BC边上的中线AD的长度为 则MC-AMsin 15*-83sin(45*-30 -83(sin 45{cos 30*-cos 45'sin 30°) 23.'根据余弦定理可得cos B-AB*+BD{-AD 2AB·BD -3(×--(3-3)>2 即$$D-2BD-8-0,解得BD-4.'BC-8,*'△ABC 的面粗为S-A· BCsnB-y2X8X×-4. 所以该船继续向东航行无触礁危险。 创新练素能培优 4.C 在△ABD中,由余弦定理,得BD^{}一AB{}十AD^{③}- 14.解 (1)能测得金茂大厦的 2AB·ADcos $2-.整理可得AB{+2AB-8-0,解得AB 高,如图,已知DCA= NCA-a.乙NDA-, -2.即AB=AD, . ABD=吾.又△BCD是等边三 所以CAD=NDA DCA--a. 角形,.. ABC-.又BC=BD-23,由勾股定理可 在△CAD中,CD-d. CD 由正弦定理可得nCADsinDCA' AD 得AC-4,..△ABC的周长为6十2、3 $5.D 因为DC=5,DA=7,AC=8,所以cos ADC 7+53-8_ -_AD ,所以 2X7X5 过点A作AE MN于点E: sin(-a) 7x43 DA 所以金茂大厦的高为h-AE-h-dsinasinB _AB sin(-) sinB (2)第一步:测量角,设 NCB=',NDB-8; 第二步:求BC的长,在△BCD中,/CBD-g一。',CD=d, -46. BC 6.解析 在△ABC中,由余弦定理,得cos ACB= 3+(22):-(): d BC BC sin(-a)sin(-)sin{' 2×3×2v② 答案 * 第三步:求AC,在RtACE中, #- dsin asinB 7.解析 过点D作DE/BC交 。 sina sina AB于点E,连接BD,则DE一 在△ACB中,ACB=a一a',且已知AC和BC的长, 10.AE=12,AD-14. 在 由余弦定理即可求AB得长。 △ADE中,由余弦定理,得 故可得金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B 之间的距离. 2×14×12 +AD*-2AB·ADcos A-625,解得 BD=25 训练四 解三角形在实际测量中的应用(二) 答案 25 8.解(1)△ABD中,ADB 基础练学考测评 AB 1.C 如图可知,山顶的仰角为B-a. BD sin BAD' (2)因为ADL.CD,所以sinADB-2 2-cos CDB BD+CD-BC. 2.C 设BC=x,所以AC=x+40,在△ABC中,BAC 在△BCD中,cos/CDB -6 6$,AB-100,所以,-100+(+40)-2$100$ 2BD·CD (+40)xcos 60*,即x=380,AC=x+40-420.在 ###CD+4-(2) Rt△AOC中,OAC=30{*,所以OC=210,OA= 2X4CD 210、\3.又在Rt△AOH中,OAH-45*,所以OH- 故CD-2②CD-6=0,化简得(CD-3/2)(CD+2 A-210/3,因此CH-OC+OH-210+210③ -0,解得CD-3V2. 33 9.解 (1)法1:设BC-a,则AC-/3a 75{} 综上所述,灯塔S在B处北偏东75{或东偏南75^{}。 由余弦定理,得 AC}=AB{*}+BC*一2AB·$ 12. ABD 因为3(acos C+ccos A)-2b sinB,由正弦定 BCcos ABC. 理,得3(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB,所以 即3a*-4 +a”-2x4ax:a'+2a-8-0. 3sin(A+C)-2sin'B. 即3sinB-2sin*B. 因为B '.a-2或a--4(含去), .AB"-AC+BC”..ACB-. 又因为CAB-,所以C--A-B-,所以A,B$ sin乙ABC -_ 正确;由四边形ABCD面积等于Sanc十Sacp= AC+AD· DCsin ADC-(AD+DC”-2AD n3BC_BC {sin sinBAC' -4oos ADC)+×2sinADC-3+2sin(<ADC- VBC<AC.BAC-吾..ACB- )<5}+2,所以D正确,C错误. (2):四边形ABCD的周长为10,AB-4,BC-2,AC= 2、3., ADC-2. 13.解 (1)':b+c*-a*-bc, .cos A-6 2bc 26 .AD+CD=4.又AC=AD}+DC-2AD·DC· cos ADC, 即 2=AD*+DC$*+AD·DC=(AD+CD)*-AD .DC. (2)在△ABC中,由余弦定理,得 .AD· DC-4.: S-AD· DCsin-. a-6+-2bc cos A-b+c*-bc=3, '.6+c*-bc十3三2bc(当且仅当b-c时取等号), .$Auco-SA+SA-23+3-33. '.b<3.又cos B-+- 2ac 能力练迁移运用 10.C 由题知,CAD-15^{,CBD-45^{*,所以 ACB= 在△ABM中,由余弦定理,得 30*, ABC-135{。在△ABC中,由正弦定理,得 AM$=AB$+BM$-2AB·BMco$B.$$ c.-62+26- AB. AC .AM_+2} 4 sin30} sin 135,又 AB-100 m,v. AC=100v2m. 2ac 在△ADC中./ADC-90{*}+8,CD=50m,由正弦定 理,得in(A9o0) sicD5.: cos o=sin(+90°) AC CD AC.sin 15*-3-1. CD 创新练素能培优 14.解(1)设相遇时轮船A航行的距离为P- 11.B如下图所示, S海里,则S一 82(s) 900r*+400-230t×20xcos(90*-30*) -900t-600t+400 8/2 征 -900(t-)+300. 30yS(s) .当-时,S10/3 -103-30、3, 客船半小时的行程为AB-32×1-16(海里),因为 即轮船A以303海里/小时的速度航行,相遇时轮船 A航距最短. BS-8v/②(海里), BAS一30{,由正弦定理可得 (2)设轮船A与轮船B在Q处相遇, 8v2 则 -400+900t*-2$30t$20tc0s(90”-30); 8/2 即-900600400 , #,{。 A$B-45{}或135^{$当 ASB=45^{}时, AB$= 900600 40090003 .:030, 1$05^{},此时,灯塔S在B处的北偏东75{};当 {ASB= 135{}时, ABS-15^{},此时,灯塔S在B处的东偏南$ 34 解得?二,又-一时--30,# 11.解析 因为z.=|al+bi,z-1+bi(a,bR),且z <2 .v-30时,t最小,且为,此时△POQ中OP-0 所以b-0,lal<1,由lal<1,得-1<a<1. 答案 -PQ-20. -1<a<1,b-0 12.解析 由z,得 '.航向为北偏东30{},航速为30海里/小时, 轮船A能在最短时间与轮船B相遇. (2a*+3a-0, a+a-0, 训练五 复数的概念 即a-0或a--1, (-4a+1>2a, 基础练学考测评 1.D 复数2一bi的实部为2,虚部为一b,由题意知2= 解得a-0. 一(-b),所以b-2. 答案0 2.D 由已知条件可得之 -1,即=士1,故z-1, 13.解(1)要使复数x为实数,需满足 一1I,z.=1,z一-1,故方程有4个根. 3.D'复数z=m-1+(m-m-2)i为实数,.'.m-m lm+3m+2-0. -2-0,解得m--1或m-2. 即当m=一2或一1时,x是实数。 fa-a-2-0, 4.C 若此复数是纯虚数,则 得--1: la-1-10. (2)要使复数:为纯虚数,需满足 ln+3m+2-0. 所以当a去一1时,已知的复数不是纯虚数。 得m-3. 5.A对①,由于x,yEC,所以x,y不一定是x十yi的实 部和虚部,故①是假命题;对②,由于两个虚数不能比较 创新练素能培优 14.解 .MUP-P...MCP. 大小,故②是假命题;③是假命题,如1^{}十i一0,但1去 0.10. 即(m{}-2m)+(m}+m-2)i=-1或(m{-2m)+(m 6.解析 因为工,yR,所以利用两复数相等的条件有 +m-2)i-4i. 由(m}-2m)+(m+m-2)i=-1, .{m-2m=-1.解得m-1; --2y-y-19. 得 答案1 1m+m-2-0, -2m-0.解得m-2. 7.解析 由题意得”一11, (m{-2m-0. 由(n-2m)+(n+m-2)i-4i,得 n+m-2-4. 答案 2 解得m-2. 8.解 (1)由复数相等的充要条件,得 综上可知,m-1或m-2. {十_□解得 ___ 2. 训练六 复数的几何意义 1-+1, #3- 基础练学考测评 (2)因为a,mER,所以由a”+am十2十(2a十m)i-0 1.A 由题意知 [+am2-0.解得{ 1m-1<0. a-②, {(_ 可得 值范围为(-3,1). 2a+m=0, m=-2v2“ m=2v② 2.A .复数z-(a-2a)+(a-a-2)i对应的点在虚 所以a=士/2. 轴上,.a-2a-0,a-0或a-2. (m-2m-0. '即m一2时,复数x是实数。 3.D 复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于 9.解(1)当 m0, 零,虚部可为任意实数. (2)当m^{}-2m去0,且m去0,即m去0且m去2时,复数 4.B 因为AOB--1,1),所以a,bE-1,1),所以 z 是虚数。 =十-② 5.B 因为(1+i)x=x+xi-1+yi,所以x=y=1. (③)当 n m-2m≠0, l+yil=|1+i|-1+1-② 能力练迁移运用 6.解析 :P(-1,0),Q(2,1)..PQ=(3,1)..PQ对应 的复数为3十i,其共辄复数为3-i. 答案 3十i3-i 6-0 7.解析 因为z为纯虚数,所以设z=ai(aR,且a≠0). 条件,得 解得x-3. -2x-3-0. 则 z-1l=lai-1= a+1.又因为l-1+il- , x+120. 所以 a+1-2,即a-1,所以a=士1,即z-士i. 答案3 答案 士i 35高中数学·必修第四册(RJB) 训练四 解三角形在实际测量中的应用（二） 5.如图，在△ABC中，B=45°， 基础练 学考测评 AC=8,D是BC边上一点， 1.从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测 DC=5,DA=7,则AB的长 得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角 为 为3，则山顶的仰角为 () A.42 B.43 A.a十3 B.a-3 C.8 D.46 C.3-a D.a 6.如图所示为一角槽，已知AB 2.某气象仪器研究所按以 ⊥AD,AB⊥BE,并测量得 下方案测试一种“弹射 AC=3mm,BC=2√2mm, 型”气象观测仪器的垂 直弹射高度：在C处（点 AB=√29mm,则∠ACB= B 7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB= C在水平地面ABO的下 33,CD=21,AD=14,BC=10,角A,B均 方，O为CH与水平地面ABO的交点)进 为锐角，则对角线BD= 行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观 察点A,B两地相距100米，∠BAC=60°， 其中A到C的距离比B到C的距离远40 米.A地测得该仪器在C处的俯角为 8.如图，在平面四边形ABCD D ∠OAC=30°，A地测得最高点H的仰角 为∠OAH=45°，则该仪器的垂直弹射高 中，AD⊥CD,∠BAD=3 度CH为 () 2AB=BD=4. A.210米 B.2103米 (1)求sin∠ADB: C.(210+210√3)米 D.420米 (2)若BC=v22,求CD. 3.(2022·新都高二期末)在△ABC中，B 受AB=2,BC边上的中线AD的长度为 2√3，则△ABC的面积为 A.23 B.4√3 C.12 D.83 4.(2022·郑州高二月考) 如图所示，点A是等边 △BCD外一点，且 ∠BAD=F,AD=2. BD=25,则△ABC的周长为 A.23 B.4+23 C.6+23 D.43+2 8 9.如图，四边形ABCD中， A.△ABC的内角B= AC=3 BC,AB =4, 3 ∠ABC=F B△ABC的内角C=号 C.四边形ABCD面积无最大值 (1)求∠ACB: (2)若∠ADC-经，四边形ABCD的周长 D.四边形ABCD面积的最大值为5 4 为10，求四边形ABCD的面积. +2 13.(2022·济南高一月考)在△ABC中，内 角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若b +c2-a2=bc. (1)求角A的大小： (2)若a=√5，求BC边上的中线AM的 最大值. 能力练了凝移运周 10.(2022·南昌高二期末) 如图所示，在坡度一定 的山坡A处测得山顶上 15 一建筑物CD的顶端C4 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进 100m到达B处，又测得C对于山坡的斜 创新练素能培优 度为45°，若CD=50m,山坡对于地平面 的坡度为0，则cos0等于 () 14.(2022·青岛高一期末)轮船A从某港 A号 口O将一些物品送到正航行的轮船B B.√6-2 上，在轮船A出发时，轮船B位于港口 C.3-1 D.√2-1 O北偏西30°，且与O相距20海里的P 11.一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S 处，并正以30海里的航速沿正东方向 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海 匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以？ 里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午 海里/小时的航速匀速行驶，经过1小 10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相 时与轮船B相遇. (1)若使相遇时轮船A航距最短，则轮船 距8√2海里，则灯塔S在B处的() A的航行速度大小应为多少？ A.北偏东75 (2)假设轮船A的最高航速只能达到30 B.北偏东75°或东偏南75 海里小时，则轮船A以多大速度及什么 C.东偏南75 航行方向才能在最短时间与轮船B相 D.以上方位都不对 遇，并说明理由. 12.(多选)如图，设△ABC 的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,3(acos C +ccosA)=2 bsin B,且∠CAB=.若点 D是△ABC外一点，DC=1,DA=2,则 下列说法中正确的是 () 9