训练1 正弦定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

素能提升训练 训练一正弦定理 △AC中，由正孩定理品品B释a-细合 sin B 基础练学考测评 12=5 B由正孩定理入广C得a 6X② 13 sin 30 2 答案号 62. 8.解(1)由asin2B-,3 bsin A及正弦定里，得2 asin B 2.Cc=bcos A,所以sinC=cos Asin B.在△ABC中， cos B=3bsin A=3asin B, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.sin A cosB=0,国为sinA≠0.所以cosB=0.因为0<B<x, 所以c0sB=尽 2 又B∈(0，x,所以B=吾 所以B=受，故△ABC为直角三角形. 由oA=日可得nA-2号则 、为、，正较定理，得sin B sin A2nAn1一！ sinC-sin[x-(A+B)]=sinA+B)=sim(A+否） 2 20sA=26+1 2 sin A+1 61 兰周为>A>.所以A-营或A-票 .解1)由正孩定理品入品B C由是段定理，得品。甘即。--0+ 又B=2A,则4， b sin A sin 2A 2sin Acos A' b,所以△ABC是直角三角形. : b=46 AC对于Λ，根据正孩定理可得入一品B国为 因光cosA=2a2W6 3 sinA=sinB,则a=b,故A正确：对于B,在△ABC中， (2)由1)可知simA=V-c05A=5 , sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π，即A=B成 A十B=二，三角形为等腰三角形或直角三角形，不能确 sin B-sin 2A-2sin Acos A2 3 1 定三角形为等腰三角彩，故B错误：对于C0A cosB=cos2A=1-2sinA=3,所以sinC=sin(A十 gB地升把B-sin As-o Asin B=0= B)-sin Acos B+cos Asin B5 91 in(A-B)=0台A=B,故C正确：对于D,nA 所以由正弦定理，将c=asin C_5V6 sin A 3 能力练迁移运用 品B出出骨1=1，故成立，但无法证明是等 10.AC对于A.asin B=14X号=7=6sinA,sinA=L1, 腰三角形，故D错误，故选AC 所以△ABC只有一解，故成主；对于B,asin B=10× 6.解析在△ABC中，由正孩定理，得日AB别 之b,且b<,所以△ABC有两解，故不成立：对于 sin B-bsin Asin 60" C.b>a,所以△ABC只有一解，故成立：对于D,asin C ,又因为ba,所以B 2 =sin40>c,所以△ABC无解，故不成立. 3 11.ACD由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由 A,所以B=45°，则C=75°，所以△ABC的面积为 sin2A=sin2B,可得A=B或2A+2B=π，即A=B 2cinC-号×2×v5sin75-3+ 4 或A十B=受心u=b或a十b=,故B错误。 C 答案45° 3+ 12.A设角A,B,C所对边为4，b, ,由三角形有两解的条件可得， 7.解析'A∈(0，π)，B∈(0，π)，.sinA>0,sinB>0. am45<a,中号a<2<a 66 .asin B 又cosA=号osB=员sinA=告mB=最在 B 解得2<a<2√2，即边长BC的 取值范国是(2,2√2) 29 13.解，'2B=A+C,A+B+C=180°， :7.解析由a=b十c2-2brc0sA=2-2c05A=2(1一 .B=60°，A+C=120°， sinA),所以cosA=sinA,tanA=1.图为A∈(0，π)， .0°<A<120°，0°<C<120°且A=120°-C. a+√2b=2c,由正弦定理，得sinA十2sinB=2sinC. 所以A=片以5=nA=×号- ÷sn120°-c)+5=2sinC, 2 答案 4 xsi十之2s《”。 8.解(1)在△ABC中，acos B=√3 bsin A, 2 由正弦定理，得 sin Acos B=3sin Bsin A. 21 sin(C-30)=2 因为A∈(0，n),所以sinA≠0，所以tanB= 3 2 -30°<C-30°<90°， 又周为BE0,,所以B=吾 ∴.C-30°=45，C=75 (2)在△ABC中，由余弦定理，得B=a十c一2ao05B, .sinC=sin(45°+30)=sin45°cos30°+cos45 sin30°=y6+2 代入轻据得)=3+9-2×3×3×5=3，所以b=3. 4 创新练素能培优 9.解1)在△ABD中，AB=2,B=于，BD=3, 14.解设方程的两根为无，x,由根与系数的关系，得 由余弦定理，得AD=AB+BD-2AB·BDcos B x1十x=bosA, ..bcos A=acos B. r;=acos B. 2+9-62×2=5. 2 由正孩定理，得sin Beos A=sin Acos B, ∴AD=5. .sin Acos B-cos Asin B=0.sin(A-B)=0. ·A,B为△ABC的两内角， (2)在△ABC中，AB=2,AC=22,B=, .0<A<π，0<Bπ，一π<A一Bπ ,A-B=0,即A=B. 由正孩定理，得AB=AC】 sin Csin B,即C-2y2 故△ABC为等腰三角形. 训练二余弦定理 sin C= 4 基础练学考测评 能力练迁移运用 L.A根据余弦定理得c2=a+6-2 abeos C=5°+8-5 10.BC图为sinA+cosB+√3 sin Asin C=cosC,可得 ×8=49,所以c=7,则△ABC的周长为20. sinA+1-sinB+√3 sin Asin C=1-sinC,整理可 2.B由余弦定理，得6=a+c2十√2ac,即15=a+6a 得sin'A一sinB+√3 sin Asin C=-sinC,所以由正 十3，解得a=6】 3C由余弦定理知cosA=公十-a=9+4-71 弦定理可得a十c2一b=一V3ac,由余孩定理可得 2×3×22 sB-t公=-停周为B∈0 又0°<A<180°，.A=60. 2ac 4.C因为a2=十bc十c,所以b十2-a2=一c,由余 所以sinB=-cosB= z,tanB=inB-区 弦定理可得osA士4-是=一之 cos B 3 2bc 2bc 厂2，又因为A 1l.BC对于A,因为c>b>,所以C最大，由余弦定理 ∈(0，)，所以A=2= 可得cosC-:+C>0,C为锐角，则△ABC是锐 3 2ab 5.B因为sinC=2sin(B十C)cosB,sin(B+C)=sinA, 角三角形：对于B,AB·BC=AB1|BC1cOs(π-B) 所以sinC=2 sin Acos B,所以由正余弦定理，得c=2a -cacos B=2b,所以cosB<0,则B为钝角，故△ABC .公+-6.化简符a2=.因为a>0,b>0,所以a 2ac 为纯角三角形：对于C,由运贫定理可得治 b,所以△ABC为等腰三角形，故选B. sin A 6.解析因为a=4,b=5,c=6,所以由余弦定理，得c0sA nC得nB平b所以c-=d+ab,可得a+b 6+口=2566=是国为A∈(0，，所以 2be 2×5×6 一=-ab,由余孩定理，得osC=。+B-C 2ab A=-不-√厂- -子别C为锐角，故△ABC是锐角三角形：对于D, 答案 阁为bsin'C+c2sin'B=2 bccos Beos C,由正弦定理可 得2sin'Bsin'C=2 sin Bsin Ceos Beos C,因为B,C∈ 30训练一 正弦定理 6.△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 基储练/学考侧评 c,已知a=√3，b=√2，A=60°，则角B= 1.在△ABC中，A=45°，C=30°，c=6,则a ,△ABC的面积是 等于 ( 7.(2022·邯郸高一检测)在△ABC中，角 A.3、2 B.62 A,B.C的对边分别为a,b,c,若cosA= C.2、6 D.3、6 osB=品b=3,则a 3 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 c,若c=bcos A,则△ABC为 () A.等腰直角三角形 B.钝角三角形 为a,b,c.已知asin2B=√3 bsin A. C.直角三角形 D.等边三角形 (1)求B: 3.(2022·聊城高一月考)已知a,b,c分别为 (2)若cosA=子，求simC的值. △ABC内角A,B,C的对边，a=3,b=、6, B=于，则A= A晋 B哥 C晋或写 D晋或号 4.在△ABC中，b二 a= 血CB,则 sin A △ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.(多选)(2022·普宁高一期中)在△ABC 中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，以下 能独立说明△ABC为等腰三角形的是 ( A.sin A=sin B B.sin 2A=sin 2B CoA哈B D.a b sin A sin B 1 高中数学·必修第四册(RJB) 9.(2022·四川高一期末)在△ABC中，角：12.(2022·郑州高二期中)已知△ABC中， A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a AC=2,B=45°，若△ABC有两解，则边 6,b=4,B=2A. 长BC的取值范围是 () (1)求cosA的值： A.(2,22) B.(2,2√3) (2)求c的值. C.(2,22) D.(2,23) 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知2B=A+C,a+√2b=2c,求 sinC的值. 能力练避移运用 10.(多选)(2022·如皋高一月考)已知 △ABC的三个内角A,B,C的对边分别 创新练了肃能培优 为a,b,c,下列条件中只有一解的选项是 14.已知方程x2一(bcos A)x十acos B=0的 ( 两根之积等于两根之和，且a,b为△ABC A.a=14,b=7,B=30 的两边，A,B为两内角，试判定这个三角 B.a=10,b=9,B=60° 形的形状. C.a=10,b=11,B=609 D.a=1,c= 2,C=40 11.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙 述正确的是 () A.在△ABC中，a:b:c=sinA：sinB: sin C B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则a=b C.在△ABC中，若sinA>sinB,则A> B;若A>B,则sinA>sinB都成立 D.在△ABC中，A sin Bin C b+c 2