9.1.2 余弦定理&专题1 解三角形中的最值与范围问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

》高中数学·必修第四册(RJB) 易错 sin B=sin 3A_sin(A+2A) 忽视角的取值范围致误 sin A sin A sin A 警示 sin Acos 2A+cos Asin 2A=cos 2A+ 典例] 在△ABC中，内角A,B,C所对的边 sin A 分别为a,h,c.若B=3A,求的取值范围. 2cosA=4cosA-1. ,A十B+C=180°，B=3A,.A+B=4A [错解]由正弦定理，得 b sin A sin B' <180°， 6=sin Bsin 3A sin(A+2A) sin A sin A sin A :0°<A<45,2<cosA<1. 2 sin Acos 2A+cos Asin 2A sin A 1<4c0sA-1<3,1<6<3,即的取 -a =cos 2A+2cosA=4cosA-1. .0≤c0s2A<1,.-1≤4c0s2A-1<3. 值范国为(1,3) 又b>0,0<b<3,即b的取值范国为 川误区警示川 错解中没有考虑角A的取值范围，歌认0°<A<180 (0,3). 解决与三角形有关的问题时，确定角的范围至关重要， 有些题，角的取值范围隐合在所给的条件中，若不仔细 [正解]由正弦定理，得a 6 sin Asin B' 审题，深入挖掘，往往荒满导致错解. 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 3.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的 边，若a=8,B=60°，C=75°，则b=() a,6c,已知a=8,6=6,则出合的值是 A.42 B.45 C.4、6D.32 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, A号 c,acos C.+ccosA=c,则△ABC的形状为 () c n.8 A.直角三角形 B.等边三角形 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, C.等腰三角形 c,b=2,A=120°，△ABC的面积为3，则c D.等腰直角三角形 的值为 ( 提宗，请完成《素能提升训练》训练一 A.2 B.3 C.23 D.4 9.1.2 余弦定理 [学习任务] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简、证明及形状判断等问题. 4 第九章解三角形。 自主学习探新知 深前顶习双基藻实 知识点余弦定理 2.余弦定理可以用于两类解三角形问题 1,余弦定理 (1)已知三角形的两边和一角，求三角形的 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b, 第三边和其他两个角。 c,则有 (2)已知三角形的三边，求三角形的三个角. 微判断 三角形任何一边的平方，等于其他两边的 语言 减去这两边与它们夹角 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 叙述 的积的 倍 (1)在△ABC中，已知两边及夹角时， a=e-2bccos A △ABC不一定唯一 () 公式 b (2)在△ABC中，三边一角随便给出三个， 余弦表达 C= 可求其余一个 () 定理 cos Ata (3)在△ABC中，若a2十b一c2=0,则角C 2bc 为直角。 () 可改 cos B=4- (4)在△ABC中，若a2+b-c2>0,则角C 写为 2ac cos C=a+-c 为钝角. () 互动探究解疑难 要点归纳重滩突玻 探究一 已知三角形的三边解三角形 川规律方法川 已知三角形的三边解三角形的方法 [例1]在△ABC中， 先利用余孩定理求出一个角的余成，从而求出第 一个角：再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正 (1)a=3,b=4,c=√37，求最大角： 兹定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理 求出第三个角 (2)a:b:c=1:/3:2,求A,B,C的大小. 口跟踪训练 1.在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大 角和另外两角的余弦值。 5 》高中数学·必修第四册(RJB) 探究二已知三角形的两边及其夹角解 探究三已知三角形的两边及其中一边的 三角形 对角解三角形 [例2](1)在△ABC中，已知b=3,c=23, [例3]在△ABC中，已知b=3,c=35,B= A=30°，求a: 30°，求A,C,a. (2)在△ABC中，已知AC=√2，AB=3,A =45°，求BC. 川规律方法川 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法 可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注 意边的取合)，再利用正弦定理求其他的两个角：也可 以由正弦定理求出第二个角（注意角的取會），再利用 三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定 川规律方法川 理求出第三边， 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两 口跟踪训练 种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角：二是利 3.已知在△ABC中，cosA= 用正依定理（已知两边和一边的对角》求解， 5a=4,b=3,则 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取会，而用 余弦定理就不存在这些问题[在(0，x)上·余弦值所对 角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好， 探究四判断三角形的形状 跟踪训练 [例4](1)已知△ABC中，a2+b-c2=ab≥ 2.在△ABC中，已知a=2,b=22,C=15°， c,则△ABC一定是 求A. A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 (2)(2022·济南高二期末)△ABC的内角A. B,C的对边分别为a,b,c.若(a十b十c)(a一b十 c)=3ac,2cos C= nA·则△ABC为 sin B ( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 川规律方法川 判断三角形形状的方法 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行 思考，可用正，余磁定理将已知条件转化为边边关系， 通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判 断三角形的形状：也可利用正、余弦定理将已知条件转 化为角与角之问的关系，通过三角变换，得出三角形各 内角之同的关系·从而判新三角形的形状. 6 第九章解三角形 跟踪训练 由余弦定理，得c0sC= a2+6-c2= 2ab 4.(2022·怀仁高二月考)在△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,bc,满足sinS k2-4k-12<0, 2k(k+2) ∴.k-4k-12<0,解得-2<k<6. “岩会，则△ABC的形软为 ( k为三角形的边长，k>0. A.等边三角形 B.等腰三角形 综上所述，实数k的取值范围为(0,6). C.等腰直角三角形D.直角三角形 [正解]，c>b>a>0,且△ABC为纯角 5.(2022·张掖高二月考)在△ABC中，角A, 三角形， B,C所对的边分别为a,b,c,且b+a2=c .C为钝角. 十ab,若sin Asin B=sin2C,则三角形的形 由余弦定理，得cosC=g+B-c= 2ab 状为 ( k2-4k-1 A.直角三角形 2k(k+2) ∠0 B.等腰直角三角形 .k-4k-12<0,解得-2<k<6. C.等腰三角形 由三角形的两边之和大于第三边，得k十( D.等边三角形 +2)>k+4, 易错 .k>2. 忽视构成三角形的条件而致误 警示 综上所述，实数k的取值范围为(2,6). [典例们 已知钝角三角形ABC的三边a=k, 川误区警示川 b=k十2，c=k十4，求实数k的取值范围. 由于余弦定理及其推论的变形较多，且帝及平方和开 方等运算，所以可能会因不细心而导致错误，在利用余 [错解] ,c>b>a,且△ABC为钝角三 弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下是否满足 角形， 构成三角形的条件。 C为钝角. 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 4.已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分 1.在△ABC中，已知a=,13,b=4,c=3,则 cos A= 别为a,b,c,a=bcos C,则△ABC形状一定 A R号 c D号 是 A.等腰直角三角形 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, B.等边三角形 b,c.若b=22,c=1,A=45°，则a=( C.等腰三角形 A.1 B.2 C.√2 D.5 D.直角三角形 3,在△ABC中，AB=4,AC=1,A=5,则BC 提宗请完成《素能提升训练》训练三 = A.23 B.6 C.√13 D.5 7 》高中数学·必修第四册(RJB) 专题1解三角形中的最值与范围问题 解三角形中的最值或范围问题，是高中数 将问题(1)补充完整，然后解答问题 学的重要内容.三角形中的最值或范围问题， (1)已知 ,计算△ABC的面积： 一股转化为条件最值或范围问题，先根据正、 (2)当c=5时，求△ABC的周长的最大值. 余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵 注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一 活转化边和角之间的关系，再利用基本不等式 个解答计分 或函数方法求最值. 题型一三角形的边长的最值问题 [例1]在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,,,asin(受-B)十6sin(5+A) 2ccos C. 若inA=是a<b,求osB的值： (2)若△ABC的面积为√，求边长c的最 川规律方法川 小值 周长问题也可看作是边长问陶的延伸，所以在解 决周长相关间题时，要着眼于边长之间的关系，结合边 长求最值（范国）的解决方式，通常都能找到正确的解 题途径 题型四 三角形面积的最值与范围问题 [例门在△ABC中，角A,B,C的对边分别 川规律方法川 求与三角形边相关的最值问题，一般先通过正弦、 为a,b,c,cosA十3sinA=2. 余弦定理求相关边，再利用基本不等式或面数解决最 (1)求角A: 值问愿， (2)若点D满足A0=子AC.且BC=2求 题型二 与三角形的角有关的最值问题 △BCD面积的取值范围. [例2]在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形，且满 足b-a2=ac, tan A tan B的取值范围 1 1 是 川规律方法川 求三角函数式的范围一般先确定角的范国，利用 三角面数的单调性及有界性求范图与最值，有时也利 用均值不等式求最值： 题型三三角形周长的最值或范围问题 川规律方法川 面积问题是边长与角问题的综合，解题中既要考 [例3]在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 虑边的变化，也要考虑相关角的变化，通常是利用面积 为a,b,c,且(b-2a)cosC+ccos B=0,请在①b 公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角西数范围 或者实数的不等关系求解。 =2,②c=√/7，③a=c这三个条件中任选两个， 8理ABC得b驰台v6水 3 2A由题设，5m=之tesin A=E,又6=2.A=120, =3w2 sin A 1 .c=2. 3.C由三角形的内角和定理可得A=180°一B一C=45°， 5ax=ainC-号×6x32×5-3wE [答案](1)C(2)C sin A sin Bsin B 8X3 由正弦定理 sin A =4√6. 跟踪训练 2 5.B:在钝角△ABC中，已知AB=c=5,AC=b=1,B 4,C由正弦定理，得sin Acos C十sin Ccos A=sinC, =30由运孩花程白B后C得0一品C新 ∴.sin(A十C)=sinC,∴.sinB=sinC.三角形内角和 等于180°，.B=C,故选C 得mC-号C=60或120. 9.1.2余弦定理 当C=60°时，A=180°-30°-60°=90°，不符合题意，错 误：当C=120°时，A=180°-30°-120°=30°，.Se= 【自主学习探新知】 nA=号×1×5×号=只所以B递项是正 知识点1.平方和余弦2a+c-2 accos B a+b -2abcos C 确的」 微判断 (1)×(2)√(3)√(4)X 6.解析 cos C= 【互动探究解疑难】 =22 探究一 3 [例1门[解](1)由c>b>a知，C最大， 又Sm=in C-号×3w2xbx22 1 2 3 =4w3..b=23. “ac-t-装2-又0<c< 2ah 2×3×4 答案23 180°，.C=120° 探究四 (2)a:b￥c=1::2. [例4][解析](1)由g(sinA十snC)=2 gsin B- lg(sinC-sinA),则有lg(sinC-sinA)=lgsin B,即有 ∴.设a=x,则b=3x,c=2.x(x>0). sinC-sinA=sinB,于是得sinC=sinA+sinB. 由余弦定理，得0sA=+Cd=3+4r-父-5】 2 在△ABC中，由正孩定理品ABC·得C b c 2w3x·2x 0°<A180°..A=30 a2+b,所以△ABC是直角三角形. ②)周为am书=nA,所以a·部=·票会由 可里得osB=7e0sC=0B=60.C=90 [跟踪训练 o5A周为0<A 正接定理可得sinA·职号-sinB·加A 1,解：a>c>b,∴.A为最大角， <x,0<B<x,所以sinA≠0，sinB≠0.所以cosA= 由余孩定理，得0sA=+c-d-3+5-7 2be 2×3×5 c0sB.又0<A<x,0<B<x,y=cosx在(0，r)上单调 递减，所以A=B,所以△ABC为等腰三角形，故选B. [答案](1)B(2)B 又0°<A<180°，.A=120 [跟踪训练] 7.B由sinA=sinC及正孩定理知，a=c,.△ABC为等 cos Bt 7+5-313 2ac 2×7×514 腰三角形， 8.C在△ABC中，由于 in A sin Bsin C,且0A osC=+a-c_3+7-5山 2ab 2X7×314 a 探究二 cos Bcos C.'sin B-cos B.sin C=cos C.B-C- b [例2][解](1)由余弦定理，得a=6+2-2 occos A 子A=受△ABC是等腰直角三角形， =3+(23)-2×3×25cos30°=3. 所以a=√3】 【随堂巩固促应用】 (2)在△ABC中，已知AC=2,AB=3,A=45”,由余 1.A在△ABC中，a=8,b=6,由正孩定理sin A sin B' 4 弦定理，得BC=√/AC十AB-2AC·ABsA 释出合8-青·所以温合的推是号 =√(W2)+3-2√2×3os45°=5，所以BC=5. 2 [跟踪训练] 2.解由余弦定理，得c2=a2+6-2 abeos C=8-4V5, asC=么.由余孩定理，得心+-名，化商，得。 2ab 所以c=√6一2. =b+c,所以△ABC是直角三角形. 5.D在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 由正弦定理，得inA=asin C-L 2 分+d=+b.利osC-+=骆=含由于 2ab 图为b>a,所以B>A, 所以A为锐角，所以A=30° 0<C<,故C-牙由于sin Asin B=simC,利用正孩 探究三 定理，得ab=c,所以b+a一2ab=0,故a=b,所以 [例3][解]方法一 由余弦定理=a十c △ABC为等边三角形. 2accos B, 【随堂巩固促应用】 ∯3=a+(33)2-2a×33×c0s30, 1.A在△ABC中，已知a=√13，b=4,c=3, .u2-9a十18=0.得a=3或6. 当a=3时，A=30°.∴.C=120°： 由余定里，得0sA=4十3二13=16+g-13.1 2×4×3 24 2 故选A 当a=6时，由正孩定理，得inA=asin B 6×2 =1. 2.D由余弦定理，得a=6+-2 becos A=8+1-2× 3 ,.A=90°，.C=60 2x =5,所以a=5. 方法=由b<c,B=30.b>csin30°=33×↓=3E 2 3,C在△ABC中，由余弦定理可得BC 2 知，本题有两解 =JAC+AB-2AC·ABCOs A 由正孩定理，得inC=csin B =√+-2X1X4os号，所以BC=√区，故选C 3 2, ,.C=60°或120 4.Da=osC,由余孩定理可得a=b·4C则 当C=60°时.A=90°，△ABC为直角三角形. 2a=a十i一2，则a十c=6,所以△ABC为直角三 由勾股定理，得4=√+C=√3十(33)=6， 角形. 当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，∴.a=3. 专题1解三角形中的最值与范围问题 [跟踪训练] 3.解析A为b,c的夹角，由余弦定理，得a2=b十 题型一 2 heos,A16=9+2-6×寻，娄理，得52-1c-35 [例1][解] (1):asim(受-B）+bsim(受+A） =0,解得(=5或6=-名（合） 2ccos C..'.acos B++bcos A=2ccos C. 由正弦定理，得sin Acos B+cos Asin B=2 sin Ccos C, 答案5 即sin(B+A)=2 sin Ccos C.文A+B=π-C,∴，sin(A 探究四 十B)=sinC. [例4幻[解析](1)由a2+一2=ab.别cosC= .sinC=2 sin Ccos C.文C∈(0，π)，.sinC>0, 。=路-又为0<C<180,所以C 1 2ab cos C=1 2...C=I 3 =60°. :nA=号a<b,A为锐角，i@sA=V-n万 因为a2十-2≥2ah-e2,当且仅当a=b时取等号，即 ab≥2ab-c2,解得ah≤c. 又因为ab≥c2,所以ah=c,且当a=b时取等号。 'cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C= 因为C=60,所以△ABC一定是等边三角形. (2)由(a十b+c)(a-b十c)=3ac,整理，得a'+c'-b= 2 ac,所以cosB=士-B=是 10 2ac 2 (②：5w-b,g-原6= 1 2 因为B∈(0，，所以B=子 又周为2aoC-曲只可得nB=2 incosC 由余孩定理，得2=a+6-2abX号-a+B-ab>ab =4,当且仅当=b时等号成立， 即b=2a.a+6-c 2ab二，可得a=,解得a=c c≥2，.边长c的最小值为2. 题型二 所以△ABC是等边三角形. [例2][解析]由正弦定理，得sinB-sinA=sinA [答案](1)A(2)A sin C, 跟踪训练] 由降系公式，得os2A,c0s2B=sin Asin C,即 4D题意m号-，即C-所以 2 2 2 -2sin(A+B)·sin(A-B)=2sinA·sinC. 3 又：sin(A+B)=inC≠0，化简，得sin(B-A)=inA 在△ABC中，得B=2A,.C=π一3A. 停n2B+片2B 0<2A< +号n(eB-吾 由△ABC为锐角三角形，得 0<-3A<受， :(2B-晋)(-晋晋)ce0,4. 1 ∴<A<，<B<登，而tan A tan B sinB 1 .S。r= 2 ein A∈(0w3. <B<受imB∈（ sin B 3 :点D满足AD=AC.S= -SA .s.me( [答案] 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 题型三 [例3][解](1)因为(b-2a)cosC+ccos B=0, 第1课时解三角形在实际测量中的应用（一） 由正弦定理可得(sinB-2sinA)cosC+sin Ccos B=0, 【自主学习探新知】 Ep sin Beos C-2sin Acos C++sin Ccos B=0, 知识点一微练习 所以sin(B+C)-2 sin Acos C=0,即sinA-2sinA 1,B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图所示， cos C=0. 知a=B,故选B. 1 又sinA≠0，所以cosC-,而0<C<,故C-于 若选①b=2,②c=√7，则由余弦定理c2=a+6 2abeos C. 视线 得7=a2+4-2a,解得a=3, 一水平线 所以△Ax的面积为nC-X3X2x号-3号 知识点二 微练习 22 2.A PM MN 若选②c=7,③a=c,附△ABC是等边三角形，所以a 知图所示，在△PMN中，snF sin 1208, =c=b=√7， 所以△MBC的面款为合ainC=是X厅×，7×号 739 45d 45 M N -1g MN-68X5=34v6, 若选①b=2,③a=c,则△ABC是等边三角形，所以a= 2 c=h=2, 0M-号6（海里小时. 4 所以△ABC的面叔为inC-号×2×2x-尽。 知识点三微练习 3.D在△BCD中.∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD 2)由基本不等我v函<，得ad长a叶 4 10v2,由正袋定里mCRD=m光D丽得 CB 由余弦定理，得25=a2+-ab=(a+b)产-3ab≥ (a+b)-3(a+b)_(a+b) 10/2 CB 4 4 sn30in180-15-30得CB=202×9 》 所以a十b≤10，当且仅当a=b=5时等号成立， 20.在Rt△ABC中，∠ACB=45.所以塔高AB=BC 所以△ABC的周长=a+b+c≤15，当且仅当a=b=5 =20m. 时等号成立， 【互动探究解疑难】 即△ABC的周长的最大值为15. 探究一 题型四 [例1门(1)[解析]∠ACB=180°-45°-75°=60°，在 [例4][解](1)，cosA+√3sinA=2, AB BC 六2m(A+吾）-2，且A∈0，.A=吾 △ABC中，sn∠ACB=sinCAB'六BC=120· 血5-1202，河宽为BCsin∠CBA=120sin75 (2”Bc后 4 sin 60 3 3 20(√5+3)米。 .sin Bsin c sin Bsin(B) [答案]20(W3+3) （停sin Beos B+之snB)】 (2)[解]'∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°，∠ACD =60,