9.1.1 正弦定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

同步课堂讲义 第九章 解三角形 当C-60”时,B=75” -sin Bsin 75 sinC #$i8603-V3+1; 9.1 正弦定理与余弦定理 当C-120”时,B=15”,bsin Bsin 15 sinC= 120v3-1. 9.1.1 正弦定理 '$= ③+1$B-75$$C-6 60- ③-1,B- 15 $$ C-120{. 【自主学习探新知】 知识点一 微思考 [思考1][提示] BC边上的高. :'c>a.cC>A且0<A<, [思考2][提示] S.=AB·AD·sinA. 知识点二 1.正弦 2.(1)sinA:sinB·sinC 只能取A--_B---- 微判断 (1)(2)(3)(4)X 知识点三 元素 解三角形 6csin B sinC 【互动探究解疑难】 tin 探究一 [跟踪训练] [例1][解]·A=45{,C=30”,.'B=180*-(A+C -105* -_-100-10. 6 snB解得sinB-3 sin 30* sinC #3.因为0B csinB_ 由sB” 10Xsin 105* sinC得6= 180{},所以B-60{}或120{},故选B$$ sinC sin 30{ 20sin75°. 4.C 在△ABC中,BC-23,AC-2.A-由正弦定 '.sin 75-sin(30+45*)=sin 30{ cos 45{+cos30” #2,解得 sinB-.# sin 4502+ {i} .6-20×2+4-52+5、. *B-105”,a-10/②,b-52+5 >B,所以B-吾,故选C. [跟踪训练] 探究三 b [例3] [解析](1)在△ABC中,因为B=60”,a=1,6 1.C sinA i 6 -2v 1.sin60*1 -.而a<b.即A<B,则A-30”,于是得C 3 ③ 7,62.. sin B-2 2.A 'A-.cos B-27 -90{,所以S= 7 (2)由B-C-,得C-B-,可得B为锐角. sinB 7 探究二 则sin(2B+)-# [例2][解](1). sinAsinC' C . sin Ccsin A6sin 45*3 2 .ca,0”C<180”.'C-60或C-120”. 一 2.A 由题设,Sn-besinA-3,又b-2.A-120”, -分-n# sinA .-2. 3.C 由三角形的内角和定理可得A-180*-B-C-45^{, #.$gbin-× 3 -3/2. [答案](1)C(2)C , sinA [跟踪训练] 5.B '在钝角△ABC中,已知AB-c-③,AC-b-1.B$ 4.C 由正弦定理,得sinAcos C十sinCcosA=sinC. '.sin(A+C)一sinC...sinB=sinC. .三角形内角和 sinC解 等于180{。.B-C,故选C. 9.1.2 余弦定理 当C-60{时,A-180{}-30*-60-90{,不符合题意,错 误;当C-120{时,A-180 -30{-120 -30 ..S= 【自主学习探新知】 知识点 1.平方和 余弦 2 a+c-2accosB a+b -2abcos C 确的. 微判断 :cos C-.ce(0,x).i: snc一1-() (1)X (2) (③) (4)X 6.解析 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)由cba知,C最大。 “cos C3+4-37- ##0{}C< 2a 2×3×4 答案 2 180...C-120 探究四 (2):a:b:c-1:③.2. [例4] [解析] (1)由lg(sinA十sinC)一2lgsinB一 lg(sin C-sin A),则有lg(sinC-sinA)=lgsinB,即有 .设a-x.则b-3x.c-2x(r0). sinC-sinA-sin*B,于是得 sinC-sinA+sinB. 2h 。 2/3r2r 0*A180.A-30 a十b{,所以△ABC是直角三角形。 (2)因为atan B=btan A,所以a. sinB {_.sinA c0sB cosA由 [跟踪训练] 正弦定理可得sinA.sinB coB_sin B. sinA coA因为0<A 1.解 ,ac>b..A为最大角, <x,o<B<.所以sinA0,sinB云0.所以cosA 由余弦定理,得cos A-3+5-7 2×3X5 _一 cos B.又0<A<,0B<x,y=cosx在(0.r)上单调 #2 递减,所以A一B,所以△ABC为等腰三角形,故选B. [答案](1)B(2)B 又:0A180..A-120。 [跟踪训练] 7.B 由sinA-sinC及正弦定理知,a=c..',△ABC为等 cos B-+-7+53-13. 2a 2X7×5-1. 腰三角形. cos C+--3+7-51 2X7X3= C 2a 14 cos Bcos C.: in B-cos B. sin C-cos C.i.B=C- 探究二 C [例2] [解] (1)由余弦定理,得a^*}一十一2bccosA #吾..A-哥...△ABC是等腰直角三角形. -3+(23)-2×3×23cos 30-3. 所以a-③. 【随堂巩固促应用】 。 1.A 在△ABC中,a-8,b-6,由正弦定理“ (2)在ABC中,已知AC-②,AB-3,A=45,由余 sinA sinB' ##A-.以#的值是## 弦定理,得BC-AC+AB-2AC·ABeosA tsinB) - (2)+3-22×3cos45-5,所以BC-5 2第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 [学习任务] 1.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式 2.掌握正弦定理的内容及其证明方法 3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题 自主学习探新知 课前预习 君基落实 知识点一 用两边及其夹角表示三角形的面积 知识点二 正弦定理 公式 1. 正弦定理 一般地,三角形的面积等于两边长及其夹角 在一个三角形中,各边的长和它所对角的 b sinB 微思考 sinC 2. 正弦定理的变形公式 何意义是什么? (1)a.b:c- (2)asin B-bsin A,bsin C-csin B,asinC -csinA. 微判断 [思考2] 如何用AB,AD,角A表示□AB 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”). CD的面积? (1)在Rt△ABC中,若C为直角,则sinA一 _ _ (2)在△ABC中,若a>b,则A>B.( _。 _ 高中数学·必修 第四册(RJB) (3)在△ABC中,C=-A-B 知识点三 解三角形 习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都 称为三角形的 ,已知三角形的若干 ) C 元素求其他元素一般称为 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 已知两角及一边解三角形 探究二 已知两边及一边的对角解三角形 [例1] 在△ABC中,已知c=10,A=45^{},C [例2](1)在△ABC中,已知c=6,A -30{*,解这个三角形 45^{,a一2,解这个三角形 A,B,b. Il|I规律方法|I 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角; (2)由正弦定理公式的变形求另外的两条边. 注意:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦 值(这时应注意角的拆井,即将非特殊角转化为特殊角 的和或差,如75{一45{+30),再根据上述思路求解。 C跟踪训练 1.AABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c _ A.2 B.③ 2# |规律方法 D.2# 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的 方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值; 2.(2022·济南高一月考)在△ABC中,若A (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中 大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的 -2 #7,b-2,则a _ cosB27 ) 角为锐角,由正弦值可求锐角唯一: (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断 A./7 B.5 另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要 D.③ C.3 分类讨论. 2 第九章 解三角形 C跟踪训练 3.在△ABC中,已知a=1,b-/③,A=30*,则 B等于 ( ) -43,则b- A.60* B.60{或120* 探究四 判断三角形的形状 C.30{或150* D.120* [例4](1)(2022·南阳高二月考)在△ABC 4.(2022·青岛高一期末)在△ABC中,若BC 中,lg(sin A+sin C)=2lgsin B-lg(sin C- ( sinA),则△ABC的形状为 , ~ _ A.等腰三角形 #A. }B. }C. D. B.直角三角形 C.等边三角形 探究三 求三角形的面积 D.等腰直角三角形 [例3](1)(2022·贵阳高一月考)在△ABC (2)(2022·北京高一期末)在△ABC中,若 中,若B=60*,a=1,b- 3,则Sc等于$ ( atanB-btanA,则△ABC为 ~ ( 7- A.直角三角形 C### B.3 D.2 A.v2 B.等腰三角形 C.等边三角形 (2)(2022·重庆高一期中)已知△ABC中. D.等腰三角形或直角三角形 I|I规律方法|I 面积为 (1)判断三角形的形状,可以考虑从三边的关系入 ~ A.# 手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用 B.2/2 正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出 角与角的关系或角的大小,从而作出准确判断 D#7 (2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角 C.3/2 形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角 -II规律方法lI 形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直 角三角形”的区别. 三角形面积的求法 (1)已知三角形的两边及其夹角可求三角形的面 C跟踪训练 积,三角形的面积公式为s-absinC=-acsinB= 7.在△ABC中,若sinA-sinC,则△ABC是 1bhesin A. ( ) (2)一般地,解题中选择具体面积公式时,根据题 A.直角三角形 B.等腰三角形 目己知条件中出现的角或边的秉积进行求解能使计算 C.锐角三角形 更加简便. D.钝角三角形 8.在△ABC中,若 . sinAcos Bcos C C跟踪训练 ,则 5.(2022·南昌高一月考)在钝角△ABC中. △ABC是 已知AB=、 ③,AC-1,B=30*,则△ABC的$ A.等边三角形 面积是 ) _ B.有一个内角是30{的直角三角形 ## B.# D3 C.3 C.等腰直角三角形 D.有一个内角是30{}的等腰三角形 3 高中数学·必修 第四册(RJB 易错 .6sin Bsin 3Asin(A+2A) .a sin A sin A 忽视角的取值范围致误 警示 sinA sin Acos 2A+cos Asin 2A - cos 2A+ [典例] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边 __ sinA 分别为a,b,c.若B-3A,求的取值范围. 2cos^{}A-4cos^{A-1. “.A+B+C-180$*,B-3A,'A+B=4A [错解] 由正弦定理,得 sinA sin B' <180*, .6_sin B_ sin 3A_sin(A+2A) .a sinAsinA sinA 2 - sin Acos 2A+cos Asin 2A :1<4cos{A-1<3,:.1<<3,即的取 sinA a -cos2A+2cos{A-4cos^{A-1. 2 :0<cos^{}A<1,'-1<4cosA-1<3 值范围为(1,3). 又.→o..0<<3,即的取值范围为 I|I误区警示lI 8 a ① 错解中没有考虑角A的取值范围,默认0*<A<180{。 (0,3). 解决与三角形有关的问题时,确定角的范围至关重要, 有些题,角的取值范围隐含在所给的条件中,若不仔细 # [正解] 审题,深入挖掘,往往疏漏导致错解。 D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为 3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的 边,若a-8,B-60{,C-75^{},则6 ) A.4/② B.4③ C.46 D.32 _→ _~ 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b ### B c,acosC十ccosA一c,则△ABC的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, C.等腰三角形 c,=2,A-120*,△ABC的面积为3,则c D.等腰直角三角形 的值为 ( ) 提示请完成《素能提升训练》训练一 B.③ A.2 C.2③ D.4 9.1.2 余弦定理 [学习任务] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简、证明及形状判断等问题 2_