2.3垂径定理（教学课件）数学湘教版九年级下册

2.3 垂径定理 主讲： 湘教版数学九年级下册 第2章 圆 学习目标 目标 1 目标 2 1.证明和理解垂径定理（重点） 2、能运用垂径定理解决相关问题．（难点） 自学指导 阅读教材P58-59。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P58的“动脑筋”，从垂径定理的推理证明过程从而掌握垂径定理；知道用几何语言表示垂径定理。 2、看P59的例1和例2，思考怎样运用垂径定理进行计算或证明？并掌握做题格式和步骤。 探究新知 动脑筋 如图，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.试问：AE与BE，AC与BC，AD与BD分别相等吗？ 根据圆是轴对称图形，你能发现什么结论？ 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，我们发现AE与BE重合，AC，AD分别与BC，BD重合，即AE=BE，AC=BC，AD=BD. 怎样证明这个结论呢？ 证明: 连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵ OE⊥AB， ∴ AE=BE， ∠AOD=∠BOD. 从而 ∠AOC=∠BOC. ∴ AC=BC，AD=BD. 探究新知 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 · O A B C D E ③AM=BM, 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⑤ . ④ , 几何语言表述 探究新知 6 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长. 分析： 1. 由垂径定理得，AE= . 2. 设圆的直径为rcm，则OE= . 3. 连接OA，则OA=r，在Rt△AEO中， 由 定理即可求出半径r的长，从而可得直径CD的长. (r-2)cm 勾股 例题讲解 例1 解：连接OA. 设OA=rcm，则OE=r-2(cm) ∵ CD⊥AB， 在Rt△AEO中，由勾股定理得 OA²=OE²+AE²， 即r²=(r-2) ²+4². 解得 r=5. ∴ CD=2r=10(cm). 由垂径定理得 例题讲解 过圆心作弦的垂线构成直角三角形 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行. 求证：AC=BD. . 例题讲解 例2 根据命题画图； 写出已知求证； 写出证明过程. 证明：作直径EF⊥AB， 又∵ AB∥CD， EF⊥AB， ∴ AE=BE. ∴ EF⊥CD. ∴ CE=DE. 因此 AE-CE=BE-DE， 即 AC=BD. 例题讲解 1、下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 不是 是 不是 O E D C A B 基础检测 11 2、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ） A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE D、BD=BC ⌒ ⌒ · O A B E C D C 12 3. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论正确是 （ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. ∠B=∠C D. ∠B=∠AOD B 基础检测 4．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA =8， AB=12，∠A =∠B =60°，则BC的长为( ) A.16 B.20 C.18 D.22 解:延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E. ∵∠A=∠B=60， ∴ADB =60°; ∴△ADB为等边三角形; ∴BD=AD =AB =12; ∴OD = 4， ∴OD= 4， 又∵∠ADB =60°， ∴DE= OD = 2; ∴BE=10; ∴BC=2BE = 20; 故选:B. 基础检测 5、如图，圆弧形拱桥的跨径AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的半径为 。 解：根据垂径定理，则圆心O一定在弦AB的垂直平分线上，因而在CD的延长线上。 设圆心为O，⊙O的半径OA为rm. ∵ AB=12，∴ AD=6，OD=r-4. 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OD²+AD²=OA²，即(r-4)²+6²=r²，解得r=6.5. 因此拱桥的半径为6.5m. 1、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC= 8cm， AB =10cm， OD⊥BC与点D，求BD的长. 解：∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴ ∠C=90°. 在Rt△AOD中，由勾股定理易得BC=6cm. ∵ OD⊥BC与点D， ∴ BDcm . 一展身手 一展身手 2、 如图，AB是⊙Ｏ的弦，点C、D在弦AB上，且OC= OD. 求证:AC= BD. 证明:过点O作OH⊥AB，垂足为H, ∴ AH=BH, ∵OC=OD，且OH⊥CD, ∴CH=DH, ∴AH-CH=BH-DH, ∴AC=BD. 挑战自我 1.已知⊙O的半径为10，弦AB//CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为______________． 14或2 分两种情况： ①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1， 过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F， 连接OD、OB， ∵AB//CD， ∴EF⊥AB， ∴ED= CD，BF= AB， ∵AB=12，CD=16， ∴ED=8，BF=6， 由勾股定理得： OE2=OD2-ED2 =102-82 =62， OF2=OB2-BF2 =102-62=82， ∴EF=OE+OF=6+8=14 挑战自我 ②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2， 同理得： EF=OF-OE=8-6=2， 综上所述，AB和CD的距离为14或2． 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 挑战自我 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连接半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 课堂小结 21 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级下册 $$