2.2.2圆周角（2）（教学课件）数学湘教版九年级下册

2.2.2 圆周角（2） 主讲： 湘教版数学九年级下册 第2章 圆 学习目标 目标 1 目标 2 1. 理解“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的 弦是直径”； 2. 认识圆内接四边形、四边形的外接圆，理解其概念； 3. 能推导“圆内接四边形的对角互补”的结论； 目标 3 自学指导 阅读教材P53-55。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P53的“动脑筋”，正确理解圆周角定理的推论：“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”； 2、看P54的例3，思考怎样利用圆周角定理的推论解决问题？并理解圆内接四边形与四边形的外接圆； 3、阅读P54的“动脑筋”，理解圆内接四边形的性质。 4、阅读P55的例4，注意圆内接四边形的性质的应用方法和解题步骤。 如图，AB是⊙O的直径，那么∠C₁，∠C₂，∠C₃的度数分别是多少呢？ 探究新知 动脑筋 因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数. 因为A，O，B 在一条直线上， 所以圆心角∠AOB 是一个平角， 即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3 ＝ × 180°= 90°. 在⊙O中，若已知∠C₁=90°，它所对的弦是直径吗？ ∵ 所对圆周角和圆心角分别是 ∠C₁、∠AOB，且∠C₁=90°， ∴ ∠AOB=180°. ∴ ∠C₁所对的弦AB是经过圆心的 弦，即 ∠C₁所对的弦AB是⊙O的直径. ⁀ AB 探究新知 用于判断某条弦是否是直径 用于构造直角 圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 探究新知 如图，BC都是⊙O的直径，∠ABC=60°， 点D在⊙O上.求∠ADB的度数. 例题讲解 例3 解： ∵ BC为直径， ∴ ∠BAC=90°. 又 ∠ABC=60°， ∴ ∠C=30°. ∴ ∠ADB= ∠C= 30°. 又∵ ∠ADB与∠C都是 所对的圆周角， ⁀ AB 探究新知 观察下图，思考问题 如图，四边形ABCD的顶点有什么特点？ 观察 点A，B，C，D是⊙O 上的四点 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 四边形ABCD 称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的外接圆. 如图，在四边形ABCD中，两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？ 探究新知 动脑筋 连接 OB，OD， ∴ ∠A + ∠C = × 360°= 180° ∵ ∠A 所对的弧为BCD ， ∠C 所对的弧为BAD， 又 BCD与BAD所对的圆心角之和是周角， 由四边形内角和定理可知，∠ABC+ ∠ADC=180°. 由此可得到以下结论： 圆内接四边形的对角互补． 几何语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°． 例题讲解 例4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°.求∠BAD及∠BCD的度数. 解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为 BD，∠BOD=90°. ∴ ∵ ∠BCD+∠BAD= 180°， ∴ ∠BCD= 180°-∠BAD=130°. 36° 1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于　　． 2．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为　　． 70° 总结：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。 基础检测 基础检测 3．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 4．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 70º 100º 90º 130° 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于　　． 6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为　　． 50° 方法总结：圆内接四边形的对角互补 基础检测 1. 如图，在⊙O中，AB是直径，C，D是圆上两点，且AC=AD。求证：BC=BD. 证明：∵AB是直径，C，D是圆上两点， ∴ ∠C=∠D=90°. 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵ AC=AD，AB=AB， ∴ Rt△ABC≌Rt△ABD. ∴ BC=BD. 一展身手 2. 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径，并标出圆心. 提示：把三角板的直角顶点置于圆上，沿直角边画连接圆上两点的弦即为圆的一条直径。再把三角板的直角顶点置于圆上另一位置，画出圆的另一条直径。两条直径的交点即为圆心. 一展身手 3. 如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCE=85°，求∠A的度数. 解：∵ 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴ ∠A+∠BCD=180°. 又∵ ∠DCE+∠BCD=180°， ∠DCE=85°， ∴ ∠DCE=95°. 一展身手 4、如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径. ●O A C B E 解：连接AO并延长交⊙Ｏ于点E ，连接BE 　　　∵AE是⊙Ｏ的直径 　　　∴∠ABE＝９０° 　　又∵∠C＝30° 　　　∴∠E＝30° 　　　∵ AB=4 　　　∴AE= 8 一展身手 1、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC= ，求CD的长． （1）证明：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC； （2）解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC=4， ∴BE=CE= ， ∵∠CDE=∠B， ∠C=∠C， ∴△CDE∽△CBA， ∴ ， ∴CE•CB=CD•CA， ∴ =4CD， ∴CD= ． 挑战自我 2、如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 挑战自我 思路点拨 3、如图，四边形 内接于 ， ，延长 到点 ，使 ，连接 ．求证： ． 挑战自我 21 证明 ， . ． 四边形 内接于 ， . 又 ， ． 在 和 中， . ． 22 圆周角 定义 定理 弧 证明 定理 以圆心分类讨论 推论 圆内接四边形 圆心角 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径 圆的内接四边形的对角互补. 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级下册 $$