精品解析：辽宁省协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

高一考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 两个单位向量是相等向量 C. 共线的两个向量方向相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数是偶函数，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 1或3 4. 某学校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别为1600，1200，2000，现按年级采用分层随机抽样的方法从中选取120人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是函数图像上不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（ ） A 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 10. 数据，，，，的平均数、中位数都是，则（ ）． A. 数据，，，，与数据，，，的平均数相等 B. 数据，，，，与数据，，，的方差相等 C. 数据，，，，与数据，，，的极差相等 D. 数据，，，，与数据，，，的中位数相等 11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件A与B互斥，且，则________． 13. __________． 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地发起“低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了n份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为20． （1）求m，n值； （2）若该地计划按得分从高到低选取的参赛选手为低碳生活知识宣传员，估计当选宣传员的选手的最低分． 16. 已知函数． （1）证明：是奇函数． （2）求值． 17. 如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． （1）试用基底表示； （2）记的面积为，的面积为，求的值． 18. 学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立． （1）求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率； （2）求学生甲两题均答对的概率． 19 已知函数，且． （1）求值； （2）若函数存在零点，求a的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 两个单位向量是相等向量 C. 共线的两个向量方向相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式以及绝对值不等式化简两个集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】因为， 所以． 故选：B 3. 若幂函数是偶函数，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求的值，再结合奇偶性取舍后可求的值. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意． 故选：C. 4. 某学校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别为1600，1200，2000，现按年级采用分层随机抽样的方法从中选取120人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设高二年级被选中的学生人数为x，由分层抽样的等比例性质列式求解即可. 【详解】设高二年级被选中的学生人数为x， 则. 故选：. 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，可得的最小值. 【详解】因为，所以, 又，所以，当且仅当时，等号成立. 故选：D 6. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由在R上单调递增求得取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】由在上单调递增，得，解得， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知是函数图像上不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断A，B，利用对数函数的性质结合基本不等式判断C，D即可. 【详解】由题意不妨设，因为是增函数， 所以，即． ， 当且仅当时取等，则， 即，故C正确，D错误． 取，则，故A错误， 取，则，故B错误． 故选：C 8. 先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式求出各事件的概率，然后根据相互独立的概率关系逐一判断即可. 【详解】由题可知，， 先后投掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有： ，共36种. 两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3的结果有： ，共24种. 两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数的结果有： ，共9种. 所以，. 事件包含的结果有：共4种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 所以，，，， 因为，，，． 所以与相互独立，A正确，BCD错误. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 10. 数据，，，，平均数、中位数都是，则（ ）． A. 数据，，，，与数据，，，的平均数相等 B. 数据，，，，与数据，，，的方差相等 C. 数据，，，，与数据，，，的极差相等 D. 数据，，，，与数据，，，的中位数相等 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数以及方差的计算公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设数据，，，，的平均数为，则， 数据，，，的平均数为，A正确． 数据，，，，的方差， 数据，，，的方差， 所以数据，，，，与数据，，，的方差不一定相等，B错误． 数据，，，，与数据，，，的极差相等，C正确． 数据，，，，与数据，，，的中位数不一定相等， 如数据2，2，5，7，9的平均数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，D错误． 故选：AC 11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可判断A；令得，通过迭代可判断B；举反例可判断C；令，结合条件可判断D. 【详解】对A，令，得，A正确． 对B，令，得， 所以， 据此类推可得，所以，B正确． 对C，令，则， 且定义域为，当时，，满足题意，C错误． 对D，令，则． 当时，．因为当时，，所以， 即，，所以是增函数，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件A与B互斥，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由互斥事件的概率加法公式及对立事件概率公式可得答案. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以，则． 故答案为： 13. __________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用有理数指数幂及对数的运算法则即可求解. 【详解】 故答案为：1. 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的平移变换，比较的图象与的图象的高低，即可得到答案. 【详解】当时，显然恒成立． 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）． 当时，由的图象可知，，解得； 当时，的图象始终在的图象的下方． 故a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地发起“低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了n份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为20． （1）求m，n的值； （2）若该地计划按得分从高到低选取的参赛选手为低碳生活知识宣传员，估计当选宣传员的选手的最低分． 【答案】（1）， （2）87.5 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，可得答案； （2）根据中位数的求解思路，利用频率分布直方图中面积的概念，可得答案. 【小问1详解】 由，得． 因为竞赛成绩落在内的人数为20，所以， 则． 【小问2详解】 估计当选宣传员的选手的最低分为x， 因为竞赛成绩落在内的频率为0.1，竞赛成绩落在内的频率为0.2， ，所以x在内， 且， 解得，即当选宣传员的选手的最低分为87.5 16. 已知函数． （1）证明：是奇函数． （2）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）首先证明定义域关于原点对称，再证； （2）由（1）得关于对称，观察到与分别之和都为2，所以分成两组求和. 【小问1详解】 证明：由，得． 的定义域为，关于原点对称． 因为， 所以是奇函数． 【小问2详解】 解：由（1）可得， 即． 因为， 所以， 从而． 17. 如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． （1）试用基底表示； （2）记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可 【小问1详解】 由图可知， 因为，所以． 因为，所以 【小问2详解】 由AC与EF交于点G，可设． ， ， 则解得 设边AB上的高为，边CE上的高为，则， 则． 18. 学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立． （1）求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率； （2）求学生甲两题均答对的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）学生甲两题选择A，B两种试题作答是指第一题选择A种试题作答并且答对或答错的两种情况，或第一题选择B种试题作答并且答对或答错的两种情况，再两种情况的概率求和即可． （2）学生甲两题均答对，分两题都选择A种试题作答；两题都选择B种试题作答；第一题选择A种试题作答，第二题选择B种试题作答；第一题选择B种试题作答，第二题选择A种试题作答，四种情况求出概率，再求和即可 【小问1详解】 若学生甲第一题选择A种试题作答，则第二题选择B种试题作答概率 ， 若学生甲第一题选择B种试题作答，则第二题选择A种试题作答的概率 ， 故学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率． 【小问2详解】 若学生甲两题都选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率， 若学生甲两题都选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率， 若学生甲第一题选择A种试题作答，第二题选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率 ， 若学生甲第一题选择B种试题作答，第二题选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率 ， 故学生甲两题均答对的概率. 19. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若函数存在零点，求a的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求的值； （2）函数存在零点等价于存在实数解，结合基本不等式可求a的取值范围； （3）可证明当时，成立，从而可证题设中不等式. 【小问1详解】 因为，所以 ， 则，即． 当时，， 此时， 结合的定义域为，故为奇函数，故. 【小问2详解】 由（1）可知，则． 由，得，则，其中． 若，则，不可能成立． 若． 由，得，则，当且仅当时，等号成立， 则， 故a的取值范围为． 【小问3详解】 证明：因为，所以． 任取，令． 因为，所以，从而，即，故在上单调递增． 当时，，则， 则当时，，则， 由在上单调递增，得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$