重难点01 规律探究与新定义型问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第一章 数与式 重难点01 规律探究与新定义型问题 类型一 规律探究 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果. 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律. 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 .3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验. 题型01 规律探究 1．（2024·北京·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·北京·期中）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第n个图案中的“”的个数是49，则n的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（2021·北京·一模）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第行第列表示的数记为（其中，都是不大于4的正整数），例如，图中，．对第行使用公式进行计算，所得结果，，，分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，，，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：①；②图中代表的居民居住在11号楼；③，其中正确的是（    ） A．③ B．①② C．①③ D．①②③ 4．（22-23九年级下·北京·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为-1和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 6．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 7．（22-23九年级下·北京海淀·期末）从正整数中，选出组数，满足以下三个条件： ①每组2个数不相等； ②任意两组都不含有相同的数； ③每组2个数的和互不相同且不超过15． 根据以上条件，回答下列问题： （1）若，请写出一种选取方案：第1组： ，第2组： ； （2）的最大值为 ． 类型二 新定义 方法总结： 题型02新定义 1．（2023·北京·模拟预测）将4个数、、、排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 2．（21-22九年级下·北京海淀·阶段练习）定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到S2，…，最终得到序列Sn﹣1（n≥2）与序列Sn相同，则下面的序列可作为Sn的是（　　） A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（3，2， 3，3，2） 3．（2022·北京·模拟预测）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（　　） A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2） 1．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ． 2．（2021·北京海淀·模拟预测）从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有则的最大值 ． 3．（2020·北京东城·一模）从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数对Mk＝{ak，bk）（其中k＝1，2，…，s，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数对），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj）（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj，则s的最大值是 ． 4．（2017·北京房山·二模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，由于i4n＝（i4）n＝1n＝1，i4n+1＝i4n•i＝1•i＝i同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，那么i6＝ ；i2017＝ ． 5．（2015·北京·一模）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为＝．记，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则＝ ；＝ ． 6．（2020·北京·一模）抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，将第i行第j列表示的数记为ai，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图1中，a1，2＝0．对第i行使用公式Ai＝ai，1×23+ai，2×22+ai，3×21+ai，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图1中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+1×1＝3，说明该居民住在9层，3号房间，即903号．    （1）图1中，a1，3＝　 　； （2）图1代表的居民居住在　 　号楼　 　单元； （3）请仿照图1，在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案． 7．（2022·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0． (1)已知，点，． ①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______； ②当点C的坐标为时，且的“全距”为4，求m的取值范围； (2)已知，等边的三个顶点均在半径为3的上．求的“全距”d的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 重难点01 规律探究与新定义型问题 类型一 规律探究 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果. 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律. 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 .3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验. 题型01 规律探究 1．（2024·北京·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可． 【详解】解：解：∵， ， ， ， ， …… 由上可知，第n个单项式是：． 故选：C． 2．（22-23九年级下·北京·期中）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第n个图案中的“”的个数是49，则n的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】 根据前三个图案中的个数，找出第n个图案有个三角形，进而求出答案． 【详解】 解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， … ∴第4个图案中有个， 第n个图案中有个， 则， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 3．（2021·北京·一模）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第行第列表示的数记为（其中，都是不大于4的正整数），例如，图中，．对第行使用公式进行计算，所得结果，，，分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，，，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：①；②图中代表的居民居住在11号楼；③，其中正确的是（    ） A．③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0；②根据题意，求楼号，把代入公式即可；③根据题意，把代入公式即可． 【详解】解：①表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0，即，故①正确； ②图中代表的居民的楼号 ， 图中代表的居民居住在11号楼；故②正确； ③， 故③错误， 综上，①②是正确的． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形规律题，准确分析判断是解题的关键． 4．（22-23九年级下·北京·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为-1和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知转一周后， C、D 、A、B分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2019所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是C，2所对应的点是D，3所对应的点是A，4所对应的点是B， ∴四次一循环， ∵2019÷4=504…3， ∴2019所对应的点是A． 故选：A． 【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是找出问题中的规律，根据发现的规律可以推测出数轴上数2019所对应的点． 5．（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 【答案】 32 【分析】本题主要考查了几何体中点，面，棱之间的数量关系，数字类的规律探索： （1）观察表格中的数据可知，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，据此规律求解即可； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个，则一共有个顶点，一共有条棱，根据（1）的结论可得，则，再由每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻，得到，据此列出方程求解即可． 【详解】解（1）， ， ， ， ……， 以此类推可得， 故答案为：； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个， ∵每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面， ∴一共有个顶点， ∴一共有条棱， ∵， ∴， ∴； ∵每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共32个， 故答案为：32． 6．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 【答案】 1 19 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得． 【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数， ∴第2个空格所填入的数为1， ∵前36个数的和是第37个数的倍数， ∴这37个数的和也是第37个数的倍数， 又∵ ， ∴第37个空格所填入的数为19， 故答案为：1，19． 7．（22-23九年级下·北京海淀·期末）从正整数中，选出组数，满足以下三个条件： ①每组2个数不相等； ②任意两组都不含有相同的数； ③每组2个数的和互不相同且不超过15． 根据以上条件，回答下列问题： （1）若，请写出一种选取方案：第1组： ，第2组： ； （2）的最大值为 ． 【答案】 1和2， 3和4 5 【分析】（1）根据题意，写出2种组合，满足条件即可； （2）根据题意，每组2个数的和互不相同且不超过15，从和为15开始选取，列举法即可求解． 【详解】（1）根据题意，若，满足题意的一种选取方案为：第1组：1和2，第2组：3和4； 故答案为：1和2，3和4（答案不唯一） （2）根据③，15与其他数的和会超过15，则不能选15， 第1组，和为15，1和14； 第2组，和为14，可以选2与12， 第3组，和为13，可以选3与10， 第4组，和为12，可以选4与8， 第5组，和为11，可以选5与6， 还剩下7，9，11，13，无论怎么组合都超过15， ∴最多有5组，即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的加法，列举试验可能，列举出符合题意的可能组合是解题的关键． 类型二 新定义 方法总结： 题型02新定义 1．（2023·北京·模拟预测）将4个数、、、排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出关于x的方程，再求出解即可． 【详解】根据题意，得， 即， 解得． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了解方程，根据新定义列出方程是解题的关键． 2．（21-22九年级下·北京海淀·阶段练习）定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到S2，…，最终得到序列Sn﹣1（n≥2）与序列Sn相同，则下面的序列可作为Sn的是（　　） A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（3，2， 3，3，2） 【答案】D 【分析】根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择． 【详解】解：根据题意可知，Sn﹣1（n≥2）和Sn相同， 若A选项作为Sn﹣1，变换后为Sn：（2，3，2，3，3），与Sn﹣1不同，故排除． 若B选项作为Sn﹣1，变换后为Sn：（3，3，3，2，2）与Sn﹣1不同，故排除． 同理C选项变换后为Sn：（2，2，2，2，1），与Sn﹣1不同，故排除． 故选D． 【点睛】属于规律型：数字的变化类，读懂题目中的变化规律是解题的关键． 3．（2022·北京·模拟预测）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（　　） A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2） 【答案】D 【分析】根据已知中有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，可得S1中2的个数应为偶数个，由此可排除A，B答案，而3的个数应为3个，由此可排除C，进而得到答案． 【详解】解：由已知中序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1， A、2有三个，即序列S0：该位置的三个数相等，按照变换规则，应为三个3，故A不满足条件； B、2有三个，即序列S0：该位置的三个数相等，按照变换规则，应为三个3，故B不满足条件； C、3有一个，即序列S0：该位置的数出现了三次，按照变换规则，应为三个3，故C不满足条件； D、2有两个，即序列S0：该位置的两个数相等，1有三个，即这三个位置的数互不相等，满足条件， 故选D． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类． 1．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ． 【答案】 0 15 1 【分析】根据当时，．当时，进行解答即可；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个． 【详解】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析： 当时，， ∴； 当时，， 由图表可知共有15个1； ， ∵是不大于5的正整数， ∴， ∴． 故答案为：0；15；1． 【点睛】本题考查数字的变化，理解当时，．当时，，是解题的关键． 2．（2021·北京海淀·模拟预测）从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有则的最大值 ． 【答案】5 【分析】找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出S的最大值． 【详解】解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6， ∴ai+bi共有5个不同的值． 又∵对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj， ∴S的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义，规律型：数字的变化类，找出ai+bi共有几个不同的值是解题的关键． 3．（2020·北京东城·一模）从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数对Mk＝{ak，bk）（其中k＝1，2，…，s，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数对），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj）（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj，则s的最大值是 ． 【答案】5 【分析】找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj）（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出s的最大值． 【详解】∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+3＝2，0+2＝2，0+3＝3，2+3＝5， ∴ai+bi共有5个不同的值． 又∵对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj）（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj， ∴s的最大值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题是一道考查数字的变化类的题型，找出ai+bi共有几个不同的值是解题的关键． 4．（2017·北京房山·二模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，由于i4n＝（i4）n＝1n＝1，i4n+1＝i4n•i＝1•i＝i同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，那么i6＝ ；i2017＝ ． 【答案】 ﹣1 i   【分析】由i2＝﹣1，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，可得i6＝i2•i4＝﹣1，i2017＝i2016•i＝（i4）504•i＝i． 【详解】解：∵i2＝﹣1，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， ∴i6＝i2•i4＝﹣1， i2017＝i2016•i＝（i4）504•i＝i， 故答案为﹣1，i． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的应用以及新定义新数“i”等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 5．（2015·北京·一模）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为＝．记，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则＝ ；＝ ． 【答案】 2 2 【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，… 2015÷3=671…2． ∴与相同，为2． 故答案为2，2． 考点：1．规律型；2．倒数；3．新定义． 6．（2020·北京·一模）抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，将第i行第j列表示的数记为ai，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图1中，a1，2＝0．对第i行使用公式Ai＝ai，1×23+ai，2×22+ai，3×21+ai，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图1中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+1×1＝3，说明该居民住在9层，3号房间，即903号．    （1）图1中，a1，3＝　 　； （2）图1代表的居民居住在　 　号楼　 　单元； （3）请仿照图1，在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案． 【答案】（1）1；（2）11，2；（3）图见解析． 【分析】（1）根据白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，第i行第j列表示的数记为，观察图形即可得答案； （2）分别表示居民楼号，单元号，按照题中公式计算即可； （3）按照题中公式及8号楼4单元602房间求出的值，然后画图即可． 【详解】（1）由题意得：表示第一行第三列的数 由图1可知，第一行第三列为白色正方形，表示数字1，则 故答案为：1； （2） 则图1代表的居民居住在11号楼2单元 故答案为：11，2； （3）由题意得：只能等于1或0， 解得 则第一行正方形的颜色依次为白色、黑色、黑色、黑色 解得 则第二行正方形的颜色依次为黑色、白色、黑色、黑色 解得 则第三行正方形的颜色依次为黑色、白色、白色、黑色 解得 则第四行正方形的颜色依次为黑色、黑色、白色、黑色 因此，8号楼4单元602房间居民的身份识别图案如下图所示：    【点睛】本题考查了新定义下的图形变化类规律题，较难的是题（3），掌握理解新定义是解题关键． 7．（2022·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0． (1)已知，点，． ①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______； ②当点C的坐标为时，且的“全距”为4，求m的取值范围； (2)已知，等边的三个顶点均在半径为3的上．求的“全距”d的取值范围． 【答案】(1)①6，2；②2<m≤6； (2)≤d≤． 【分析】（1）①画出直线AB的图象即可得解；②结合图象及全距的意义可得解； （2）当点O与等边三角形的一边共线时，△DEF的“全距”为，当等边△DEF的一个顶点在线段OM的延长线上时，△DEF的“全距”为，因此得解． 【详解】（1）如图， 设直线AB为y=kx+b，由题意可得： ， 解之可得：k=0，b=2， ∴直线AB即y=2，可知OA>OB， ①由勾股定理可得：OA=， ∴原点O到线段AB上一点的最大距离为6，最小距离为2， 故答案为6，2； ②如图，由全距的意义可知，当2<m≤6时，的“全距”为4； （2）O与等边三角形的一边共线时，如图，△DEF的“全距”为， 当等边△DEF的一个顶点在线段OM的延长线上时，如图，△DEF的“全距”为， ∴△DEF的“全距”的范围为≤d≤． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了两点间的距离公式，点与线段的位置关系，点与圆的位置关系等知识，准确理解新定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$