精品解析：福建省南市建瓯市2024-2025学年上学期九年级期中质量监测数学试题

建瓯市2024-2025学年第一学期九年级期中质量监测 数 学 试 题 友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 建瓯铁井栏—紫芝街历史文化街区，积淀着浓厚的历史文化底蕴，承载着建瓯人民难以割舍的历史记忆．它涉及范围16.1万平方米，数据161000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：161000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可． 【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C． 4. 以下图案是2024年巴黎奥运会设计的射箭、乒乓球、游泳、跳水四个项目的象形图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的图标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则A符合题意； B、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法分别进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 某运动记录中了小明10月份每天的步数，小明统计了每周走路的平均步数并制成如下图表，能反映他一周走路运动情况最平稳的是（ ） 周数 第一周 第二周 第三周 第四周 平均步数 8509 8523 8507 8516 方差 4 1.3 3 A. 第一周 B. 第二周 C. 第三周 D. 第四周 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差，一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好．比较方差得到第四周最稳定． 【详解】解：由题可知，第四周的方差第二周的方差第三周的方差第一周的方差， ∴第四周走路运动情况最平稳； 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，绕坐标原点O顺时针旋转一定角度后，得到，且，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图象变换与坐标，勾股定理，旋转的性质，掌握坐标与图形，旋转的性质是解题的关键． 根据旋转可得，从而列出方程求解即可． 【详解】解：根据旋转可得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 故选：B． 8. 如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形的性质得出，根据即可解答． 【详解】解：过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质和一元一次方程的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确列出方程． 首先设正方形A的边长是，正方形B的边长是，由于原来该大长方形的周长是20，得出；据此解答即可． 【详解】解：如图，设正方形A的边长是，正方形B的边长是， ∵原来该大长方形的周长是20， ， 即， ， 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是确定点所在象限． 根据二次函数开口向上得到，由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ， ∴在轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与轴无交点， ， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一，二，四象限，不经过第三象限， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 的余角是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义． 根据和为的两个角互为余角计算即可． 【详解】解：的余角是． 故答案为：． 12. 已知一次函数，随着的增大而增大，则的值可以是______．（请写出一个符合题意的的值） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小． 根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数（为常数，），随的增大而增大， ， ∴（答案不唯一）， 故答案为：1． 13. 将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 14. 若，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，由题意得，等式两边同时除以得：，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时除以得：， 故答案为：2 15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A顺时针旋转得到，且，则的度数是______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】该题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．根据平行线的性质得出，根据旋转的性质得出，证出，结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为________米．（参考数据： ） 【答案】或23 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：把实际问题归结为直角三角形中边角关系问题加以解决是解题的关键． 在和中，根据三角函数解答即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在中，米， 在中，，即， 解得：米，或米， ∴米或23米， 故答案为：或23． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 18. 如图，C是的中点，，． 求证：． 【答案】 证明：是中点， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握定理． 直接利用判定全等即可． 【详解】略． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】略 20. 设是方程的两个实数根． 求证：能被2整除． 【答案】 证明：因为a，b是方程的两个实数根， 所以，，， 所以 ， 因为，所以16能被2整除， 即能被2整除． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到，进而代值求解即可． 【详解】略 21. 某小区停车场24小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如图所示： 停车时段 收费单价 15元/时（最高收取费用80元） ~次日 5元/时（最高收取费用30元） 备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如∶停车时间为1小时10分钟则按照2小时收费． （1）小明某日汽车驶入小区停车场a（a为整数）小时，在当日的时间段内离开，用含a的代数式表示小明汽车的停车费用． （2）若小明此次的停车费用为95元，请你估计小明的汽车离开的时间？ 【答案】（1） （2）~分 【解析】 【分析】此题考查了列代数式和一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，小明汽车的停车费用为． 【小问2详解】 由题意可知，令， 所以，． （小时）， 答：小明汽车离开的时间段为~分． 22. 如图，已知二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D是二次函数图像上的一点，且点D在第一象限，轴于点F，交于点E，当线段的长为最大值时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，以及二次函数的最值问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，再设，则，即可根据二次函数的性质求解最值． 【小问1详解】 解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的表达式为： 【小问2详解】 解：令 解得 设直线解析式为： 把代入 得：， 解得： ∴直线解析式为 是二次函数图像上的一点，轴于点F，且交于点E， 设 当时，取最大值 ． 23. 如图，在矩形中，是矩形的对角线． （1）求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求． （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的作图和性质、勾股定理等知识． （1）作的垂直平分线分别交、于点E,F．则线段即为所求； （2）根据垂直平分线性质得到，设，则，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得垂直平分， ， 设，则， 在矩形中， 在中，， 即， 解得， 24. “科学控体重，健康常相伴”，体重是衡量个人健康的重要指标之一．成年人利用身高(米)计算理想体重(公斤)的两种方式如下表(由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考)． 算法 女性理想体重 男性理想体重 ① 身高 身高 ② 身高 身高 （1）已知小明妈妈米，她用算法①和算法②计算出自己的理想体重分别为54公斤和53公斤；据此，她认为算法①比算法②算出的理想体重一定会更重．你认为小明妈妈说的对不对？请举例说明你的理由． （2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表的其中一种类别 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 小明的爸爸身高米，实际体重公斤，请你根据算法①算出的理想体重，评估小明爸爸可能被归类为哪一种类别？ 【答案】（1） 小明妈妈说的不对， 理由：设女性身高为， 则算法①的理想体重为， 算法②的理性体重为， 令 ， 解得：， 令 ， 解得：， 令 ， 解得：， ∴当时，算法①与算法②的理想体重相等， 当时，算法①的理想体重大于算法②的理想体重， 当时，算法①的理想体重小于算法②的理想体重， 举例：当女性身高时， 算法①的理想体重为：， 算法②的理想体重为：， 当女性身高时， 算法①的理想体重为：， 算法②的理想体重为：， 答：小明妈妈说的不对． （2）归为体重过重 【解析】 【分析】该题主要考查了列代数式，一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是理解题意． （1）设女性身高为，根据算法①和算法②的计算方法表示出理想体重，列出等式或不等式求解即可． （2）由题意算出小明的爸爸身高米时的标准体重，再结合实际体重算出百分比即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知：， ， 答：小明爸爸可能被归为体重过重． 25. 在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）如图2，交于点P，交于点G， ①当的周长最小时，求证； ②已知交的延长线于点H，求证． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵四边形是菱形， 在和中， 是等边三角形． （2） ①证明：如图2，连接， 当时，的周长最小 由（1）得 在中， ②证明：如图2，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，则，即可证明结论； （2）①连接，当时，的周长最小，由（1）得，得到，在中，，由即可得到结论；②连接，证明，则 ，证明，则，结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识．添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯市2024-2025学年第一学期九年级期中质量监测 数 学 试 题 友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 建瓯铁井栏—紫芝街历史文化街区，积淀着浓厚的历史文化底蕴，承载着建瓯人民难以割舍的历史记忆．它涉及范围16.1万平方米，数据161000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 4. 以下图案是2024年巴黎奥运会设计的射箭、乒乓球、游泳、跳水四个项目的象形图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的图标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某运动记录中了小明10月份每天的步数，小明统计了每周走路的平均步数并制成如下图表，能反映他一周走路运动情况最平稳的是（ ） 周数 第一周 第二周 第三周 第四周 平均步数 8509 8523 8507 8516 方差 4 1.3 3 A. 第一周 B. 第二周 C. 第三周 D. 第四周 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，绕坐标原点O顺时针旋转一定角度后，得到，且，则a的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 的余角是______． 12. 已知一次函数，随着的增大而增大，则的值可以是______．（请写出一个符合题意的的值） 13. 将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______． 14. 若，则的值是______． 15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A顺时针旋转得到，且，则的度数是______． 16. 鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为________米．（参考数据： ） 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程：． 18. 如图，C是的中点，，． 求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 设是方程的两个实数根． 求证：能被2整除． 21. 某小区停车场24小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如图所示： 停车时段 收费单价 15元/时（最高收取费用80元） ~次日 5元/时（最高收取费用30元） 备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如∶停车时间为1小时10分钟则按照2小时收费． （1）小明某日汽车驶入小区停车场a（a为整数）小时，在当日的时间段内离开，用含a的代数式表示小明汽车的停车费用． （2）若小明此次的停车费用为95元，请你估计小明的汽车离开的时间？ 22. 如图，已知二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D是二次函数图像上的一点，且点D在第一象限，轴于点F，交于点E，当线段的长为最大值时，求的面积． 23. 如图，在矩形中，是矩形的对角线． （1）求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 24. “科学控体重，健康常相伴”，体重是衡量个人健康的重要指标之一．成年人利用身高(米)计算理想体重(公斤)的两种方式如下表(由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考)． 算法 女性理想体重 男性理想体重 ① 身高 身高 ② 身高 身高 （1）已知小明妈妈米，她用算法①和算法②计算出自己的理想体重分别为54公斤和53公斤；据此，她认为算法①比算法②算出的理想体重一定会更重．你认为小明妈妈说的对不对？请举例说明你的理由． （2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表的其中一种类别 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 小明的爸爸身高米，实际体重公斤，请你根据算法①算出的理想体重，评估小明爸爸可能被归类为哪一种类别？ 25. 在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）如图2，交于点P，交于点G， ①当的周长最小时，求证； ②已知交的延长线于点H，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $