第17章 专题4 利用勾股定理解决最值或最短路径问题-【中考123·全程导练】2024-2025学年八年级下册数学全程导练（人教版 黑龙江专版）

参考答案及解析 【素养探究创新练】 3C【解折]：∠ACB=90,AC=2,BC=是AB= 14.(1)解：锐角饨角 (2)解：> √AC+BC=亭由每折，得化=B=子CE=化 (3)证明：若△ABC是锐角三角形，则有a2+62>c2 理由：如答图①，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 4c=号-2=7 1 设CD=x,则有BD=a-x 根据勾股定理，得2-x2=AD2=c2-(a-x)2, 4.95.4 3 即62-x2=c2-a2+2aw-x2, 6.2.5[解析]在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8, 则a2+b2=c2+2ax. a>0,x>0,2ax>0a2+b2>2 AC=√AB+BC=10.CE垂直平分AC,AE=CE,AD= 若△ABC是纯角三角形，则有a2+2<e2. CD=2AC=5,LCDE=90设AB=CE=,对BE=8-x 理由：如答图②，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,解得 设CD=x,则有ADP=b-x2. x=6.25.点C美于EF的对称点为点C,∴CE=CE= 根据勾股定理，得(a+x)2+b2-2=c2,即a2+62+2ax=2. a>0,x>0,2ax>0,a2+b2<c2. 6.25.在R1△CDE中，DE=√CE2-CD=√6.252-5= 3.75..CD=CE-DE=6.25-3.75=2.5. 7.解：设FG=x,由折叠的性质，得BE=EG,DF=FG ,正方形ABCD的边长为3，BE=1, ,BG=1,EC=3-1=2,CF=3-x,+.EF=1+x C B DC B 在RL△ECF中，EF2=EC2+CF2, 14题答图①14题答图② 0+)2=2+(6-),解得=是 (4)解：画法不唯一，示例如答图③④⑤所示 BF=1+2 8.解：(1)△AEC是等腰三角形 证明：由折叠的性质可知∠BAC=∠DAC 'OC∥AB,∴.∠OCA=LBAC,∴.∠EAC=∠ACE, ∴AE=CE,即△AEC是等腰三角形， 14题答图③ 14题答图④ 14题答图⑤ (2)过点D作DF⊥y轴于点F, 专题2利用勾股定理探究两点间距离公式 如答图. 令AE=CE=x,则OE=8-x 1.A【解析]P(-2,5),原点0(0,0)，0P= 在Rt△OEA中，由勾股定理 √(-2-0)2+(5-0)2=5=3，即点P(-2,w5)到原点 得(8-x)2+42=x2, 的距离是3.故选A 解得x=5, 2.B3.25 ∴AE=CE=5. 4.解：(1)MN=√(4-2)2+(2+1)了=3， 由折叠的性质，得CD=BC=4. AD=AB=8, 8题答图 ∴点M(4,2)和点N(2,-1)之间的距离是13 ∴.DE=AD-AE=3. (2)M0=√(4-0)2+(2-0)7=25 N0=√(2-0)2+(-1-0)2=√5， Sacn CD DE-CE.DF.DF- , .△MN0的周长=MN+M0+0=√+35. 点D的横坐标为-号 5.解：(1)点A(2,3),B(4,2) 专题4利用勾股定理解决最值或最短路径问题 AB=√(4-2)2+(2-3)7=5， 1.C2.1+5 A,B两点间的距离为5 3.解：如答图，作点A关于直线MN对称的点C,连接CB交MW (2)点A,B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7，点 于点P,连接AP,则点P为所建的出口，此时A,B两个城镇到 B的横坐标为-5， 出口P的距离之和最小，最小距离为BC的长 AB=7-(-5)-12,A,B两点间的距离为12 过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D (3)A(1,4),B(1,-4), .AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km, 点A和点B在平行于y轴（或垂直于x轴）的直线x=1上， .'BD =A'B'=8 km,A'D BB'=4 km,AC =4 km, .AB=4-(-4)=8. ∴AD=2km,∴.CD=6km, 当1-a=1,即a=0时，点C(1-a,5)在直线x=1上，此时 ∴.在Rt△CDB中，CB=√6+82=10(km), A,B,C三点共线，不能构成三角形： ∴.这个最小距离为10km 当1-a≠1，即a≠0时，点C(1-a,5)到直线AB的距离为 Dr--------- B 1-a-1l=lal, A Sag=子×8×al=4al 六△ABC的面积S=4|al(a≠0). M 专题3利用勾股定理解决折叠问题 C 1.D2.C 3题答图 7 全程导练·数学八年级·下册日 4.D[解析]将台阶展开，如答图.固为DC=AE+BE=3+1= CD=√DE2+CE=√30+40=50（千米），即两个村 4,AD=2,所以AC2=DC2+AD2=20,所以AC=25.故选D. 庄的距离为50千米 C B D B D 10题答图① 10题答图② 4题答图 (2)点P的位置如答图②所示.16[解析]连接CD,作CD 5.D 的垂直平分线交AB于点P,点P即为所求设AP=x千米，则 6.5cm[解析]圈柱的侧面展开图如答图 BP=(40-x)千米.在Rt△ADP中，PD2=AP2+AD=x2+ 所示.：图柱的底面周长为6cm,AC= 242.在R△BPC中，PC2=BP2+BC2=(40-x)2+162 3 cm.BG=6cm,PCPG PC=PD,x2+242=(40-x)2+162,解得x=16,即AP 的距离为16千米 子x6=4(m.在△ACP中，AP= A (3)15[解析]如答图③，AD⊥AB,BC⊥ D 6题答图 AB,AD=7,AB=9,BC=5.设BP=x,别 AC2 +CP2,..AP=2+4=5(cm). 7 5 7.20 PC+PD=√2+25+√(9-x)2+49. 作点C关于AB的对称点F,连接DF,过A 9-x B 8.25cm[解析]把长方体的右侧面剪开与前面所在的平面形 5 成一个长方形，如答图①.：长方体的宽为10cm,高为20cm, 点F作FE⊥DA,交DA的延长线于点 点B离，点C的距离是5cm,∴，BD=CD+BC=10+5= E,则DF是PC+PD的最小值，即代数E: 15(cm),AD=20cm在直角三角形ABD中，根据勾殷定理，得 式W+25+√(9-)2+49(0<x< 10题答图③ AB=√BD2+AD=√/152+202=25(cm):把长方体的右侧面 9)的最小值.AE=BF=5,EF=AB=9,DE=DA+AE=7+ 剪开与上面所在的平面形成一个长方形，如答图②：长方体的 5=12,.代数式爱+25+√(9-x)2+49(0<x<9)的最 宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,∴.BD=CD+ 小值为DF=√DE+Er=√/122+9=15. BC=20+5=25(cm),AD=10cm.在直角三角形ABD中，根据 第十七章易错强化训练 勾股定理，得AB=√B0+AD=√252+10=52四(m): 1.5或52.7或53.4或34 把长方体的上面剪开与后面所在的平面形成一个长方形，如 4.解：①当边长为8的边为斜边时，该直角三角形另一直角边为 答图③.，长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距 离是5cm,∴AC=AD+CD=20+10=30(cm).在直角三角形 27,故该直角三角形斜边上高为6×2万+83万 2 ABC中，根据勾股定理，得AB=√AC+BC=√302+5了= ②当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得，斜边长为 5,37(cm).…25<5√29<5√37，妈蚁爬行的最短距离 √62+82=10， 是25cm. 故该直角三角形斜边上高为6×8÷10=4.8. 5.3-56.(1)2-2(2)22-22 7.解：过点M作x轴的垂线，垂足为N,则ON=2 20 在Rt△OMN中，∠M0N=30°，∴，0M=2MN. 10 设MN=x,则OM=2x.由勾股定理，得MN2+ON2=0M2, 10 B5C 20 即2+22=(2)，解得x=子5（负值已合去）. 8题答图① 8题答图② 0P=0M=号5点P的坐标是(-子5,0 8.14或4 9.解：分两种情况： ①如答图①，，AD是BC边上的高 A 20D10C 8题答图③ ∴，∠ADB=∠ADC=90°， 9.解：如答图，展开图中AC=12dm,BC=9dm BD=√AB-AD=√17-8=15，CD=√AC-AD= 在R△ABC中，AB=√AC+BC=√122+92=15(dm). √102-82=6，BC=BD+CD=15+6=21: 答：这段葛藤的长是15dm B D C B 9题容图 9题答图① 9题答图② 10.解：(1)50[解析]如答图①，连接CD,作CE⊥AD于，点E ②如答图②，同①得BD=15,CD=6. AD⊥AB,BC⊥AB,,AD∥BC,AB∥CE,∴，BC=AE=5千米， .BC=BD-CD=15-6=9. CE=AB=40千米，∴，DE=AD-AE=35-5=30(千来). 综上所述，BC的长为21或9. .8.第十七章勾股定理 专题4利用勾股定理解决最值或最短路径问题 [答案7刚 类型平面图形中的最值问题 类型2立体图形中的最短路径问题 模型】 模型】 两点之间，线段最短 B 圆柱 @/h 轴对称最值 D E F 长方体 垂线段最短 阶梯 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC= 4.如图是楼梯的一部分，若AD=2,BE=1,AE=3, 4,P是边AC上的一个动点，则线段BP长度的最 一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁 小值为 ( 吃到糖所走的最短路程为 () A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 4题图 1题图 2题图 A.5 B.3 C.13 D.25 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2,Q5.如图，ABCD是长方形地面，长AB=20,宽AD= 为BC的中点，P为边AC上一动点，则△PBQ周 10,中间有一堵砖墙高MN=2.若一只蚂蚁从点A 长的最小值为」 爬到点C,过程中必须翻过中间那堵墙，则它爬行 3.如图，高速公路MN的同一侧有A,B两个城镇，它 的最短路程为 () 们到高速公路的距离分别为AA'=2km,BB'= 4km,且A'B'=8km.现要在高速公路上的A',B 之间建一个出口P,使A,B两个城镇到出口P的 距离之和最小，求AP+PB的最小值。 5题图 A.20 B.24 C.25 D.26 B N 6.(数材母题变式)如图，圆柱的底面 B 3题图 周长为6cm,AC是底面圆的直径， 高线BC的长为6cm,P是高线BC 上一点且PC=号BC,一只蚂蚁从点 6题图 A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离 是 见此图标国抖青/微信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 全程导练·数学八年级·下册0 7.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为( 类型3数形结合求最短路径的长 32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂 10.【知识运用】 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm (1)如图，铁路上A,B两点（看作直线上的两点） 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 相距40千米，C,D为两个村庄（看作两个 B处的最短距离为 cm.(杯壁厚度不计) 点)，AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B, B5 AD=35千米，BC=5千米，则两个村庄的距 蚂蚁 A 20 离为 千米； B蜂蜜 15 7题图 8题图 8.(哈尔滨道外区期末)如图，长方体的长为15cm, 宽为10cm,高为20cm,点B离点C5cm,一只蚂 10题图 蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去 (2)在(1)的背景下，若AB=40千米，AD=24千 吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供 9.跨学科葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多 应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图中 的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短 作出点P的位置，AP= 千米； 路线盘旋而上.如图，如果把树干看成圆柱体，它 【知识迁移】 的底面周长是12dm,当一段葛藤绕树干盘旋1圈 (3)借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 升高9dm时，这段葛藤的长是多少？ √x2+25+√(9-x)2+49(其中0<x<9) 的最小值为 9题图 30 见此图标国国科音/微信扫码领取你的考场冲剩玫酪！