九年级上学期期末真题7大压轴考法专练-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

九年级上学期期末真题7大压轴考法专练 题型一：二次函数 1 题型二：圆 30 题型三：相似三角形 40 题型四：旋转 61 题型五：反比例函数 74 题型六：最值问题 84 题型一：二次函数 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图、已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求m的值： (2)求二次函数的解析式； (3)已知点是二次函数图象上两点．且，当时，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）与轴的两个交点分别为、．点是轴上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点是线段的中点，当点和点不重合时，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的边的长为3． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当时，的取值范围是______； (3)当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点，点，，与抛物线交于点．连结、． (1)直接写出的长度为_________． (2)求的长度． (3)求这个二次函数的表达式． (4)如图②，点从点出发，沿射线向点运动；同时，点从点出发，沿射线向点运动，两点运动的时间为秒，速度均为1个单位长度/秒，当点到达终点时，点也随之停止运动．作轴，交于点．当直线垂直于的一条边时，直接写出值． 7．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图1，抛物线经过、两点，与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若抛物线的对称轴（E为抛物线顶点）与直线相交于点F，M为直线上的任意一点，过点M作交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点M的坐标；若不能，请说明理由． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，则点E的坐标为_______； (3)当时，求点D的坐标； (4)在（3）的条件下，在x轴上存在一点F，则最小值为_______，此时点F的坐标为_______． 10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧）， ①若的面积是面积的两倍，求k的值； ②以为直径作，若与直线所截的弦长恒为定值，求t的值． 11．（24-25九年级上·天津南开·期末）抛物线（为常数，）的顶点为，抛物线与轴相交于和两点，抛物线与轴相交于点． (1)若，点在抛物线上，设点的横坐标为，且． ①求抛物线的解析式和顶点的坐标； ②若的面积与的面积相等，求的值； (2)和是轴上的两动点，当的最小值为时，直接写出和的值． 12．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点K是抛物线的对称轴直线l上一动点，点在直线l左侧的抛物线上，点N在点M的左侧，已知为等腰直角三角形，且，设点的横坐标分别为，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (3)如图2，点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作轴，垂足为点D，直线与直线交于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求点P的坐标． 题型二：圆 13．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，点是圆上一动点，弦，是的平分线，．当 （度）时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 14．（24-25九年级上·北京·期末）如图所示， 是的直径，，， 的切线与直线交于点，点是上一个动点． 过作， 垂足为， 则 的最大值为 ． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，内接于，点是的中点，连接、． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若平分的邻补角，求证：； (3)在的条件下，若，求的值． 16．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为，它的一条弦作两次变换：关于点作中心对称后得到线段，关于点作中心对称后得到线段．我们称点、为的对称点，称线段为的对称弦． (1)如图，点，，，的横、纵坐标都是整数． 在线段，，，中，的对称弦是 ； 若线段上的点都是的对称点，求的取值范围； (2)若的对称弦过点，直线与线段有公共点，的取值范围是 ． 题型三：相似三角形 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，D、E分别为边上的点，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则= ． 19．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 20．（24-25九年级上·安徽六安·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为 “准等腰梯形 ”．如图 1 ，四边形即为“准等腰梯形 ”，其中. (1)在图 1 所示的“准等腰梯形 ” 中，选择一个合适的顶点引一条直线将四边形 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 （画出一种示意图即可）； (2)如图 2，在“准等腰梯形 ” 中， ，E 为边 上一点，若，，求证： (3)如图 3 ，在由不平行于 的直线截 所得的四边形 中，与的平分线交于点 E，若，则四边形 是否为“准等腰梯形”？ 请说明理由． 21．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令， (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论． 22．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)求出是轴对称图形时的值； (3)如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 23．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，四边形是矩形，点E是边上的中点，在上找一点G，使得，连接并延长交的延长线于点H，过点E作的垂线交于点F． 求证：①； ②； 【问题应用】 （2）如图2，四边形是菱形，，点E、F分别在、边上，连接，点G是上一点，连接，，延长交的延长线于点H，M是上一点，连接，，，，，求的长度． 24．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比； 【拓展提升】 （3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．    题型四：旋转 25．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． (1)填空：　　　，　　　； (2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； (3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 26．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 27．（24-25九年级上·广东江门·期末）【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 28．（24-25九年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求点的坐标和的长； (2)如图2，当时，求点的坐标； (3)当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）． 29．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点F在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，求的最小值． 题型五：反比例函数 30．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以为边的正方形的对角线的交点都在函数的图像上，边都在轴上，则点的坐标是 ． 32．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 33．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 题型六：最值问题 34．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，是线段上的一动点（不与点重合），分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ． 35．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ． 36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 37．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答． (1)课本再现 如图（1），四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ； (2)变式探究 如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长； (3)延伸拓展 如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？并求出最短距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期期末真题7大压轴考法专练 题型一：二次函数 1 题型二：圆 30 题型三：相似三角形 40 题型四：旋转 61 题型五：反比例函数 74 题型六：最值问题 84 题型一：二次函数 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出的符号，即可判断①；由时，，即可判断②；画出函数的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， 即， ∴，故②正确； 由方程得，， 画函数的图象如下， 由图象可知，直线与抛物线相交于两点，交点横坐标满足，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时, 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵, ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得， 故错误； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点 故④正确； 综上所述，正确的结论为： 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图、已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求m的值： (2)求二次函数的解析式； (3)已知点是二次函数图象上两点．且，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，求出y的值，即得出m的值； （2）由二次函数的对称轴和经过点，即得出方程组，求解即可； （3）将点代入（2）所求解析式，结合和，即，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴，即； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴，解得：， ∴该二次函数解析式为； （3）解：将点代入二次函数， 得：，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）与轴的两个交点分别为、．点是轴上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点是线段的中点，当点和点不重合时，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的边的长为3． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当时，的取值范围是______； (3)当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或 (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据矩形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）由可知二次函数开口向上，顶点坐标为，结合对称轴分别求出当和时y的值，然后结合二次函数的图像可求出答案． （3）由题意知点，，，分情况讨论：当P、Q落在抛物线上，根据，结合对称轴列等式求解；当P、N落在抛物线上，N点坐标为，根据列关系式求解即可； （4）由（3）知，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小；当和时，抛物线在矩形内部没有点；当时，点P、点D、点M和点B重合，即可求得解得． 【详解】（1）解：把、代入， 可得出， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为：， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，的取值范围是； （3）解：∵，过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 当P、Q落在抛物线上时，， 则P、Q关于对称轴对称，故Q点的横坐标为：， 由对称性可得， 解得：； 当P、N落在抛物线上时， ∵以为边，在的右侧作矩形， 此时N点坐标为， 从而可得， 即 解得 ，， 综上，当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，的值为或或； （4）解：由（3）知，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，抛物线在矩形内部没有点； 当时，点P、点D、点M和点B重合，抛物线在矩形内部没有点； 当时，抛物线在矩形内部没有点； 故当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数的区间最值、矩形的性质和函数值的结合以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质和矩形的结合． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、判断三边能否构成直角三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得到方程组，求出解即可； （2）先求出点B，C，D的坐标，进而得出线段长，再说明是直角三角形，根据正切的定义得出答案； （3）先确定点B，E的坐标，进而求出直线的解析式，可分两种情况进行解析， ①时，点P在x轴上，根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，求出点P的坐标；②时，求出，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入抛物线表达式． 可得， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：， . ， ． ， ， ， 是直角三角形，， ； （3）解：∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，的对称轴为直线， . 又， 可设直线的解析式为，将点B、E的坐标代入， 得， 解得， ∴直线为， 当时，， ； 由（2）知是直角三角形，， 若和相似，可分两种情况进行解析： ①时，点P在x轴上， ， ， ， ， 和相似， ； ②时， ， . 和相似， ， ， 解得， ∴点的纵坐标为， ． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定，求一次函数的关系式，注意分情况讨论，不能丢解． 6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点，点，，与抛物线交于点．连结、． (1)直接写出的长度为_________． (2)求的长度． (3)求这个二次函数的表达式． (4)如图②，点从点出发，沿射线向点运动；同时，点从点出发，沿射线向点运动，两点运动的时间为秒，速度均为1个单位长度/秒，当点到达终点时，点也随之停止运动．作轴，交于点．当直线垂直于的一条边时，直接写出值． 【答案】(1)3 (2)5 (3) (4)当或2时，直线垂直于的一条边； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，待定系数法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键.． （1）由点O和点B的坐标得出抛物线的对称轴，从而求出点C的坐标，可得 的长； （2）由两点间距离公式可求出； （3）设抛物线的解析式为，把点A、B的坐标代入，求出的值即可； （4）分和两种情况结合相似三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴抛物线的对称轴为直线， 又轴，且，点与点关于对称， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵二次函数的图象经过原点和点，点， ∴设抛物线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （4）解：设直线的解析式为 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为 当时，延长交于点，过点作轴，如图， 则 ∴ 又， ∴ ∴ 根据题意得， ∴， 解得，； 当时， ∵轴，轴，则在同一直线上，如图， ∴ ∴ 又，， ∴， 解得，， 综上，当或2时，直线垂直于的一条边 7．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图1，抛物线经过、两点，与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若抛物线的对称轴（E为抛物线顶点）与直线相交于点F，M为直线上的任意一点，过点M作交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)能，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴，交直线于Q，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解； （3）由二次函数的顶点式求出，由直线解析式求出，过点M作，交直线于M，设，则，当与平行且相等时，四边形是平行四边形，可得，解此方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，有：， 解得， 抛物线的解析式：； （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点P作轴，交直线于Q， 设，则， ∴ ； ； ， 当时，取最大值， ， ； （3）解：存在； 抛物线 ， ， 当时，， ， ， 如图，过点M作，交直线于M， 设， 则； ； 当与平行且相等时，四边形是平行四边形， ， 当时， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 当时， 解得：，， 同理可求：，， 综上所述，存在平行四边形，，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，能熟练利用二次函数的性质进行求解是解题的关键． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积为 (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）过点Q作x轴的垂线，交于点M，求出直线的解析式，设，则，求出，根据的面积为列关系式，再利用二次函数的性质即可解答； （3）先求出抛物线的对称轴为，设，再求出，由等腰三角形性质，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【详解】（1）解：把点代入抛物线中， 得：， 解得： 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M， 抛物线中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 此时，的面积为； （3）解：∵抛物线的对称轴为， 设， ∴， ①当时， 则， 解得：， 此时，三点共线，不存在； ②当时， 则， 解得：， ∴点的坐标为或； ③当时， 则，即， 解得：， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，二次函数与问题的问题，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 9．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，则点E的坐标为_______； (3)当时，求点D的坐标； (4)在（3）的条件下，在x轴上存在一点F，则最小值为_______，此时点F的坐标为_______． 【答案】(1) (2)或或 (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）设二次函数的表达式为，再将点代入求出的值即可； （2）根据等腰三角形的性质，分别分为和两种情况讨论即可； （3）设，过作轴交于，设直线为，用待定系数法求出直线的表达式，再得出，根据求出即可； （4）找出点关于轴的对称点，由共线时，最小，即可得出结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， 且与y轴交于点， 设， 将点代入得， 即，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）设，， ∵是以为腰的等腰三角形， 当时，， ∴或， 或 ∴或， 当时，， ∴， ∴， 其中与点重合， ∴，点， 综上所述，或或． （3）设，过作轴交于， 设直线为， 将代入得， ，解得， ∴直线为， ∴， ， ∴ ， ∵， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点． （4）取关于轴的对称点， ∴， 连接交轴于点， 此时， ∴， ∴，即最小值为的长， ∵， ∴， ∴最小值为， 设所在直线的表达式为， 则，解得， ∴所在直线的表达式为， 当时，得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质、二次函数的应用—面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧）， ①若的面积是面积的两倍，求k的值； ②以为直径作，若与直线所截的弦长恒为定值，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用垂径定理求值、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①根据抛物线的解析式，求出点坐标，根据，当时，，得到，联立两个解析式，得到，求出，设点的横坐标为，点的横坐标为，根据的面积是面积的两倍，得到，求解即可； ②设， 根据为直径，得到点坐标，过点作轴，延长交于点，得到，垂径定理，得到，求出，勾股定理得到，化简得到，根据是定值，得到的值与的值无关，求解即可． 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点和， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①∵， ∴， ∵，当时，时， ∴， ∴轴，， 联立，整理，得：， ∴， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ∵点在点的左侧，则：， ∴，， ∵的面积是面积的两倍， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：； ②如图，直线与交于，设， ∵，为的中点， ∴， 过点作轴，延长交于点， ∵直线平行于轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵为定值， ∴为定值， ∴且， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理及圆的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题． 11．（24-25九年级上·天津南开·期末）抛物线（为常数，）的顶点为，抛物线与轴相交于和两点，抛物线与轴相交于点． (1)若，点在抛物线上，设点的横坐标为，且． ①求抛物线的解析式和顶点的坐标； ②若的面积与的面积相等，求的值； (2)和是轴上的两动点，当的最小值为时，直接写出和的值． 【答案】(1)①，；②，或，或 (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）①，和代入，求得，配方 ，得；②求出，解析式，根据 ，得，求出解析式，得，解得，点A关于点B的对称点为，则，同理得解析式为，则，解得，或； （2）和代入，求得，得， ，取点C关于x轴的对称点，向右作线段，，连接，则，， ，当N运动到上时， 取得最小值，，，∴解得，得，，求出直线的解析式，当时，，得，解得． 【详解】（1）解：①，和代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴ ∵， ∴， 当点Q在下面时， 设解析式为， 则， ∴， ∴， ∵点Q为与抛物线的交点， ∴， 解得，或（舍去）； 当点Q在上面时， 作点A关于点B的对称点， 则， 同理可得的解析式为， 则， 解得，或； 综上，，或，或； （2）解：和代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 取点C关于x轴的对称点， 向右作线段，使，连接， 则，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当N运动到上时，，取得最小值， ∵，的最小值为， ∴， ∵， ∴解得， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数和图象和性质，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，两点之间线段最短，是解题的关键． 12．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点K是抛物线的对称轴直线l上一动点，点在直线l左侧的抛物线上，点N在点M的左侧，已知为等腰直角三角形，且，设点的横坐标分别为，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (3)如图2，点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作轴，垂足为点D，直线与直线交于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的值是定值，定值为 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将代入，利用待定系数法求解即可； （2）设直线l与x轴交于点Q,过M作于H，过N作于G，先证，再得出，根据化简可得，即可得出结论； （3）当点P在第二象限和第三象限两种情况，设，求出直线的解析式，证明，列出等式，求出p值即可． 【详解】（1）将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）由（1）知抛物线的函数解析式为， ∴对称轴l为直线， ∵点的横坐标分别为， ∴， 设直线l与x轴交于点Q，过M作于H，过N作于G， 则， ∵为等腰直角三角形，, ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的值是定值，定值为． （3）分两种情况，当点P在第二象限时，如图： 设，则， ∵， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点E关于直线的对称点落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或0(舍去)， ∴点P的坐标为， 当点P在第三象限时，如图， 同理可得， ， 解得或0(舍去)， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数，两点间距离公式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 题型二：圆 13．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，点是圆上一动点，弦，是的平分线，．当 （度）时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推论；先求得，再根据已知条件得，当最大时，四边形面积最大，求出，从而计算出最大面积； 【详解】平分， ， ， 如图所示，过点作于点， ， 在中，＝，则，＝， ， ， ，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 在中，边不变，其最长的高为过圆心与垂直（即的中垂线）与圆交于点，此时四边形面积最大． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∵为圆的直径， ∴， ， ， 四边形的最大面积为． 故答案为：；． 14．（24-25九年级上·北京·期末）如图所示， 是的直径，，， 的切线与直线交于点，点是上一个动点． 过作， 垂足为， 则 的最大值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】在延长线取点，使得，则有，即求的最大值，然后求出，故有当平移至与相切时，有最大值，延长交于点，证明为等腰直角三角形，再根据角所对直角边是斜边的一半，得，从而有，再通过等腰直角三角形的性质可得，所以，，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：在延长线取点，使得， ∴，即求的最大值， ∵， ∴， ∴随着的运动，时， 当平移至与相切时，有最大值，延长交于点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，内接于，点是的中点，连接、． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若平分的邻补角，求证：； (3)在的条件下，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据点是的中点，可知，又因为，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知； （2）根据邻补角定义可知，根据圆内接四边形对角互补可知，根据同角的补角相等可知，根据角平分线定义可知，所以可得，根据在同圆中同弧所对的弦相等可证结论成立； （3）连接交于，交于，过点作于，连接，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，根据在同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，设，则，根据正弦的定义可知，所以可得，从而可以求出，根据可以求出，从而可以求出，利用勾股定理可以求出的长． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）证明：平分， ， ，， ， ， ， ； （3）解：连接交于，交于，过点作于，连接， ， ，， 点是弧中点， ， ， ， ． 设，则， ，， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 作于， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一、锐角三角函数，解决本题的关键是根据圆的基本性质找到角和边之间的相等关系． 16．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为，它的一条弦作两次变换：关于点作中心对称后得到线段，关于点作中心对称后得到线段．我们称点、为的对称点，称线段为的对称弦． (1)如图，点，，，的横、纵坐标都是整数． 在线段，，，中，的对称弦是 ； 若线段上的点都是的对称点，求的取值范围； (2)若的对称弦过点，直线与线段有公共点，的取值范围是 ． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、圆和圆的位置关系、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据新定义可得的对称弦得满足，且，且线段与有交点，结合图形，即可求解； ②先固定，连接，作两次变换：关于点作中心对称后得到线段，关于点作中心对称后得到线段．得出在以为圆心为半径的圆上运动，在以为圆心为半径的圆上运动；当运动时，始终以为切点运动，则的运动轨迹在以为圆心，半径分别为和的圆环内运动（不包括上），进而根据线段上的点都是的对称点，结合点，的半径为，分别求得临界值，即可求解； （2）根据题意设，由（1）②可得的对称弦过点，则在以为圆心为半径的圆上运动，在以为圆心为半径的圆上运动，进而可得直线与,相切时，取得临界值，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：①由定义可知，，且， 的对称弦得满足，且，且线段与有交点，、符合题意； 故答案为：、． ②依题意，的半径为，弦的范围为，， 如图所示，先固定，连接，作两次变换：关于点作中心对称后得到线段，关于点作中心对称后得到线段． ∴，， 又∵ 在中， ∴， ∵ 则是的中位线， ∴ ∴在以为圆心为半径的圆上运动，在以为圆心为半径的圆上运动； 当运动时，始终以为切点运动，则的运动轨迹在以为圆心，半径分别为和的圆环内运动；不包括上， 如图所示阴影部分， ∵线段上的点都是的对称点， ∴是上述圆环内， 当在半径为的圆上时，， ∵，, ∴，即， 当与相切时，，则 ∴ （2）设，由（1）②可得的对称弦过点，则在以为圆心为半径的圆上运动，在以为圆心为半径的圆上运动，如图所示 ∵直线与线段有公共点， ∴直线与,相切时，取得临界值， 如图所示，设直线与,相切时，切点分别为， 设直线，分别交轴于点，交轴分别为， ∴，，，， ∴，则 ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， 同理可得， 根据函数图象可得，直线与线段有公共点，的取值范围是： 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何新定义，中心对称，圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，解直角三角形，理解新定义，得出的轨迹图形是解题的关键． 题型三：相似三角形 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，D、E分别为边上的点，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据，得到，即可判断各个选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D错误，不符合题意， 故选：A． 18．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则= ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】由，得出，设，，推出，根据，，得出，，再分别用勾股定理求出，，故，再运用解直角三角形得出，，根据平行线分线段成比例，代入，化简得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作垂足为，过点作垂足为， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键． 19．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明A、B、E、F四点共圆，则，即可判断①；延长，截取，连接，证明，则证明，得到，则，即可判断②；作交的延长线于点H，连接，证明，则,得到,则，即可判断③；作，截取，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，得到，则，即可判断④；证明，设，则，得到，由得到，解得,则，即可判断⑤；证明，则，由②可知，，则,证明，得到连接证明，则，证明，则，得到，则，即可判断⑥． 【详解】解：①∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴A、B、E、F四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故①正确； ②由①可知，， ∴A、G、P、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， 延长，截取，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③作交的延长线于点H，连接，如图， 由正方形的对称性得到， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， 故③正确； ④作，截取，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤由②可知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得, ∴， ∴， 故⑤正确； ⑥∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 由②可知，， ∴, ∵ ∴， ∴ 连接 则， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故⑥正确， 综上可知，①②③④⑤⑥均正确． 故选：A 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，综合性非常强，难度大，添加合适的辅助线是解题的关键． 20．（24-25九年级上·安徽六安·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为 “准等腰梯形 ”．如图 1 ，四边形即为“准等腰梯形 ”，其中. (1)在图 1 所示的“准等腰梯形 ” 中，选择一个合适的顶点引一条直线将四边形 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 （画出一种示意图即可）； (2)如图 2，在“准等腰梯形 ” 中， ，E 为边 上一点，若，，求证： (3)如图 3 ，在由不平行于 的直线截 所得的四边形 中，与的平分线交于点 E，若，则四边形 是否为“准等腰梯形”？ 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质求解是关键． （1）过点A作交于点E，则和四边形就是所求作的图形； （2）由，，就可以得出，就可以得出，就可以得出结论； （3）作于F，于G，于H，由角平分线的性质就可以得出，就可以得出，就可以得出，从而得出而得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，不平行， ∴四边形是梯形． ∴和四边形就是所求作的图形； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：四边形是“准等腰梯形”． 理由：作于F，于G，于H， ∵平分，平分， ∴． 在和中 ， ∴； ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是“准等腰梯形”． 21．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令， (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)为定值，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据点、坐标得出，根据等边对等角推出，根据，结合三角形外角的性质，推出，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明； （2）过点作于点，根据点、点得出，推出，推出，，根据等角对等边得出，结合勾股定理求出，利用证明，计算角度推出，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出，则，计算求出的值即可； （3）过点作于点，过点作于点，由（1）得，根据相似三角形的性质得出，则，推出，，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据勾股定理推出，，进一步得出，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点坐标为，点坐标为，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵点坐标为，点坐标为，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∵过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，； （3）解：为定值，理由如下， 如图，过点作于点，过点作于点， 由（1）得， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，综合性较强，灵活运用知识点、作辅助线推理证明是解题的关键． 22．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)求出是轴对称图形时的值； (3)如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三线合一、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由题意得，，，，再分和两种情况解答即可求解； （）当为等腰三角形时，是轴对称图形，分、、三种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解； （）解：过作于点，交于点，先证明可得，即得，，，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 在中，，，， ∴， 当时，有， 即， 解得； 当时，有， 即， 解得； 综上，若与相似，的值为或； （2）解：当为等腰三角形时，是轴对称图形，分以下三种情况解答： ①当时，有， 解得； ②当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； ③当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或或时，是轴对称图形； （3）解：过作于点，交于点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 23．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，四边形是矩形，点E是边上的中点，在上找一点G，使得，连接并延长交的延长线于点H，过点E作的垂线交于点F． 求证：①； ②； 【问题应用】 （2）如图2，四边形是菱形，，点E、F分别在、边上，连接，点G是上一点，连接，，延长交的延长线于点H，M是上一点，连接，，，，，求的长度． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）的长度为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①先证，结合平行线与互余的含义可得结论； ②证明，结合矩形性质及①的结论可得； （2）先证是等边三角形，可得，，易得，，从而可得，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题． 【详解】证明：（1）①∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ②∵E是中点， ∴． ∵， ∴．   在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴ ， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证到是解决应用的关键． 24．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比； 【拓展提升】 （3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，4或10 【知识点】根据三线合一证明、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）在和中，易得，，故可得； （2）易得正方形的面积，根据，可得，再求出，，即可求解. （3）分两种情况讨论：和，根据两种情况列出关系式进而求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴． ∵， ∴ （2）解：∵正方形的边长为8， ∴正方形的面积 ， ∴ ∵，点E 是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为． （3）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图2，连接，    若，则， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴，即． 如图3，连接．    若，则，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点 ∴， ∴． ∵，即 ， ∴， ∴，即． 综上所述，满足条件的x的值为4或10． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率． 题型四：旋转 25．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． (1)填空：　　　，　　　； (2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； (3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)， (2) (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）过作于，由直角三角形斜边中线的性质得，由勾股定理得，进而可求出的长度； （3）连接交于F，交于G，证明得，再证明得，进而可求出． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴． 故答案为：，； （2）解：过作于， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接交于F，交于G 在和中，， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 又∵且 ∴ ∵是公共边 ∴ ∴ 又∵在等腰中，是斜边 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 26．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①或；② 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（24-25九年级上·广东江门·期末）【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转性质得，，，，，则可求得，是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，，，， 为等边三角形 ， 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， ， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）如图３，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，，， ，是等边三角形， ，， ∵， 、、、四点共线， 过作交延长线于H，则， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 28．（24-25九年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求点的坐标和的长； (2)如图2，当时，求点的坐标； (3)当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变且对应线段夹角为旋转角，通过设点的坐标，利用勾股定理和旋转性质来求解点的坐标和的长； （2）依据旋转的性质，可得，再根据边角关系可得，求出点的坐标； （3）根据四边形的面积公式，通过分析，，时四边形的组成部分来用含的式子表示面积． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点， ∵是由逆时针旋转得到，且点在轴上， ∴， ∴， 且， ∴， ∴， 由勾股定理可知 解得； ∴点的坐标为； （2）解：如图2，由（1）可知，且， ∵是由旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图， 当时， 绕点逆时针旋转得到，且轴，，， 轴， ，， ； 如图，当时， 绕点逆时针旋转得到，，， ， ； 如图，当时， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质的性质是解题的关键． 29．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点F在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，为的长，过点作， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，证明三角形相似，是解题的关键． 题型五：反比例函数 30．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 31．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以为边的正方形的对角线的交点都在函数的图像上，边都在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、点坐标规律探索、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明 【分析】先设出各个正方形的边长，如图所示，表示出正方形、、坐标，再由中点坐标公式求出坐标，根据都在函数的图像上，代入表达式解一元二次方程即可求出、、坐标，进而得到横坐标满足的规律是，从而确定答案． 【详解】解：如图所示： 设， ， 为正方形对角线的交点， ， 在函数的图像上， ，解得或（负值，舍去），即； 设，则， ， 为正方形对角线的交点， ， 在函数的图像上， ，解得或（负值，舍去），即； 设，则， ， 为正方形对角线的交点， ， 在函数的图像上， ，解得或（负值，舍去），即； 综上所述，横坐标满足的规律是，即， 横坐标为，即点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标规律，涉及正方形性质、反比例函数图象与性质、中点坐标公式、解一元二次方程等知识，熟记正方形性质、反比例函数图象与性质、中点坐标公式求出相关点的坐标找出规律是解决问题的关键． 32．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、面积问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）把点代入一次函数，把点代入反比例函数，即可求解； （2）把点代入一次函数解析式可得，结合图形即可求解； （3）根据题意，设，得到，则有，当，的面积最大，最大值为，当时，，当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， 把点代入反比例函数得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：把点代入一次函数得，， 解得，， ∴， ∴由图形可得，当或时，， ∴满足的自变量x的取值范围为：或； （3）解：∵点P是线段上一点， ∴设， ∴， ∴， ∴当，的面积最大，最大值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的取值范围为． 33．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据反比例函数的图象分别与，交于点，，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可； （2）连接交于点，求得直线的解析式为，则，根据翻折的性质可得，，，根据点、分别为、的中点，建立方程，解方程求解即可； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质求得，，根据即可求得的坐标，②如图，过点作于点，过点作于点，方法同①，根据即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与，交于点，， ，，，， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为； （2）如图，连接交于点，    反比例函数的图象交于点，交于点， ，，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ， 将沿所在直线翻折得到， ，， ， 点、分别为、的中点， ，解得：； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，    ，，点为线段中点 ，，， 在中，， 由旋转得：， ，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，    ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 题型六：最值问题 34．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，是线段上的一动点（不与点重合），分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，过作于，过作于，由等边三角形的性质求出，设，则，结合解直角三角形求出，再根据二次函数的最值求解即可，熟练掌握二次函数的性质并能根据题意求出是解决此题的关键． 【详解】解：过作于,过作于，如图， 和是等边三角形， ，， ， 设，则， ， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 当时，四边形面积的最小值是， 故答案为：． 35．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求一点到圆上点距离的最值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则为最小值，求解即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，由，得，， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D， ∴， 作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则，， ∴为最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、两点距离坐标公式、最短路径问题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解答的关键． 36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)、； (2)； (3)最小值是1，最大值是． 【知识点】一次函数与几何综合、判断点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据新定义可知，，所以是的中点，连接，根据垂径定理可知，，据此判断可得出结果； （2）可推出点在以为直径的圆上运动，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，解求得，进而得出，解求得结果，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，同样的方法得出结果； （3）根据，，可求得的最小值是，此时点在点或点处，；连接，，可得出，从而，进而得到，从而得到，进一步得出结果． 【详解】（1）如图， 图中， ∵，，则应为，但此时不在圆上，故点不是点关于⊙的倍关联点， 图中， ∵，，则在圆上，故点是点关于⊙的倍关联点， 图， 连接，作于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是点关于⊙的倍关联点． 故答案为、． （2）如图， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 连接， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴的最小值是， 当点在点或点时，， 如图， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即点是的中点，最大，当，最小，此时， 此时， 综上所述，的最小值是，最大值时． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关键是根据新定义转化题意． 37．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答． (1)课本再现 如图（1），四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ； (2)变式探究 如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长； (3)延伸拓展 如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？并求出最短距离． 【答案】(1) (2)； (3)当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为1． 【知识点】勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，证明，得到，据此计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， 设交于点G． ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$