专题02 二元一次方程组的应用（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 二元一次方程组的应用 题型一 分配问题 1．（21-22八年级上·河南郑州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 2．（23-24八年级上·河南开封·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·河南安阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·河南焦作·期末）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 5．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 6．（21-22八年级上·河南新乡·期末）小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 7．（21-22八年级上·河南济源·期末）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 8．（21-22八年级上·河南平舆·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 题型二 方案问题 9．（21-22八年级上·河南开封·期末）已知：用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 10．（21-22八年级上·河南商丘·期末）某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 11．（21-22八年级上·河南信阳·期末）中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少？ (2)已知座客车的日租金为每辆元，座客车的日租金为每辆元，要使每位同学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？ 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 13．（23-24八年级上·河南新乡·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 14．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 题型三 行程问题 15．（23-24八年级上·河南焦作·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 16．（23-24八年级上·河南太康·期末）A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 17．（23-24八年级上·河南济源·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 18．（23-24八年级上·河南新郑·期末）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 19．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 20．（23-24八年级上·河南新密·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 题型四 销售利润问题 21．（23-24八年级上·河南周口·期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 22．（23-24八年级上·河南南阳·期末）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车隹售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，该公司最多购买型车12辆，该汽车销售公司销售1辆型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 23．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）麦麦蛋糕店促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售两种蛋糕共136份，获利1438元． (1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上增加，“香草泡芙”的售价在原来的基础上减少，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多165元，求a的值． 24．（23-24八年级上·河南漯河·期末）一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同． (1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元； (2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？ (3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 26．（23-24八年级上·河南新密·期末）麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元． (1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 题型五 几何图形问题 27．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·河南太康·期末）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，正方形和正方形的顶点、、、、在长方形的边上．已知，，则长方形的面积为（      ） A．320 B．480 C．640 D．800 31．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（   ） A．600 B．500 C．300 D．200 32．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 33．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 35．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 题型六 开放型问题 36．（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）某礼品店为迎接阳历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 37．（23-24八年级上·河南信阳·期末）已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 38．（23-24八年级上·河南焦作·期末）为了进一步提升学生体质健康水平，某校计划用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如表所示． 备选体育用品 足球 篮球 排球 单价（元/个） 80 60 40 (1)若640元全部用来购买足球和排球，求足球和排球各买多少个？ (2)若学校先用一部分资金购买了个排球，再用剩下的资金购买了足球和篮球（足球和篮球的购买个数相同），此时正好剩余40元，求的值． 39．（23-24八年级上·河南平舆·期末）生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强键体魄，更能愉悦身心．某校为了增强学生的身体素质，决定为体育组添置一批篮球和排球，共买了个篮球和个排球，共花费元，并且每个排球比篮球便宜元．篮球和排球的单价分别是多少元？（用方程组的知识解答） 40．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克． (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？ 41．（23-24八年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点的“3级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，点B的“2级关联点”是，求和点B的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，求的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二元一次方程组的应用 题型一 分配问题 1．（21-22八年级上·河南郑州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 2．（23-24八年级上·河南开封·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据每人出钱，会多出钱，可得方程，根据每人出钱，又差钱，可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 由题意得：， 故选：C． 3．（21-22八年级上·河南安阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式求出答案． 【详解】解：根据题意，可列方程组为：， 故选：D． 4．（21-22八年级上·河南焦作·期末）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 5．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 6．（21-22八年级上·河南新乡·期末）小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 【答案】(1)；；； (2)方法2剪28根，方法3剪4根； (3)方法1剪14根，方法3剪18根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键． （1）由总数每份数份数解答即可； （2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可； （3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可． 【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根； 方法2：，最多可剪根； 方法3：，最多可剪根； 故答案为：；；； （2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； （3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； 7．（21-22八年级上·河南济源·期末）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 8．（21-22八年级上·河南平舆·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 题型二 方案问题 9．（21-22八年级上·河南开封·期末）已知：用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； (2)有3种租车方案：方案一：型车9辆，型车1辆；方案二：型车5辆，型车4辆；方案三：型车1辆，型车7辆； (3)租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据，都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵，都是正整数， ∴或或， ∴有3种租车方案： 方案一：型车9辆，型车1辆； 方案二：型车5辆，型车4辆； 方案三：型车1辆，型车7辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元． 10．（21-22八年级上·河南商丘·期末）某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 11．（21-22八年级上·河南信阳·期末）中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少？ (2)已知座客车的日租金为每辆元，座客车的日租金为每辆元，要使每位同学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？ 【答案】(1)240人 (2)单独租用座客车更合算 【分析】（1）设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15个人没座，若租用同样数量的60座客车则多出一辆，其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金每辆车的租金租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据题意得： ， 解得：； 答：学生总人数为人； （2）解：只租用45座，需要6辆，费用：（元）， 只租用60座，需要4辆，费用：（元）， ∵， ∴单独租用座客车更合算． 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且均为正整数， 或 共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元） 第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 13．（23-24八年级上·河南新乡·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)A型车15万元/辆，B型车20万元/辆； (2)①A型车4辆，B型车8辆；②A型车8辆，B型车5辆；③A型车12辆，B型车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计50万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 依据题意可得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价为15万元，每辆B型汽车的进价为20万元． （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进4辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案2：购进8辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进12辆A型汽车，2辆B型汽车． 14．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； (2)租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于，的二元一次方程，根据，均为非负整数，即可得出各租车方案；利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ． 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车；所需租车费为（元）； 方案2：租用5辆型车，4辆型车；所需租车费为（元）； 方案3：租用1辆型车，7辆型车；所需租车费为（元）． ， 费用最少的租车方案为：租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 题型三 行程问题 15．（23-24八年级上·河南焦作·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒根据题意和题目中的数据，可知，然后即可列出相应的方程组并解出，本题得以解决． 【详解】解：设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒， 由题意可得， ， 解得：， 则快车速度为米/秒， 故选：A． 16．（23-24八年级上·河南太康·期末）A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，根据第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得：， 解得：， ∴甲的骑行速度为． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·河南济源·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 18．（23-24八年级上·河南新郑·期末）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 19．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 20．（23-24八年级上·河南新密·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 【答案】(1)360，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，求一次函数解析式． （1）根据图象可知：甲乙两地相距360千米，求出甲乙两车速度，即可求出的值； （2）根据线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）等于360减去甲走的路程求出； （3）设时间为时，两车相距70千米，分三种情况，分别找出等量关系式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，甲乙两地相距360千米， 设甲车的速度为，乙车速度为：， 由题可得：， 解得：， ， 故答案为：360，120； （2）解：由图可知：乙车到达A地的时间为：（小时），故， 甲车到达B地的时间为：（小时），故， ∵线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象， ∴线段的解析式为：； （3）解：设时间为时，两车相距70千米，则分以下三种情况： 当两车未相遇前：，解得：； 当两车相遇后：，解得：； 当甲车返回时：，解得：； 综上所述：或或． 故答案为：或或． 题型四 销售利润问题 21．（23-24八年级上·河南周口·期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元 (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元，由题意得， 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）解：设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， 获利， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当，取最大值，最大值为， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 22．（23-24八年级上·河南南阳·期末）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车隹售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，该公司最多购买型车12辆，该汽车销售公司销售1辆型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元 (2)当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，利用利润1辆车的利润数量求解． （1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆，由题意得，设所获利润为W万元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元． 由题意，得 解得 答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆． 由题意，得； 设所获利润为W万元．则 ． ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W有最大值46万元． 答：当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元． 23．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）麦麦蛋糕店促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售两种蛋糕共136份，获利1438元． (1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上增加，“香草泡芙”的售价在原来的基础上减少，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多165元，求a的值． 【答案】(1)“葡式蛋挞”的销量为97份，“香草泡芙”的销量为39份 (2)3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设“葡式蛋挞”的销量为x份，“香草泡芙”的销量为y份，根据第一天销售两种蛋糕共136份，获利1438元，列出方程组，解方程组即可； （2）根据两种蛋糕调价后获利比第一天多165元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设“葡式蛋挞”的销量为x份，“香草泡芙”的销量为y份， 由题意得：， 解得， 答：“葡式蛋挞”的销量为97份，“香草泡芙”的销量为39份； （2）解：由题意得： ， 解得：， 答：a的值为3． 24．（23-24八年级上·河南漯河·期末）一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同． (1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元； (2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？ (3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【答案】(1)，， (2)甲种商品8件，乙种商品12件 (3)亏损8元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，正负数的应用，理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，求解即可； （2）设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件，根据题意可列出关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）先计算出甲、乙两种商品的成本，再计算总利润即可． 【详解】（1）解：设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元， 根据题意有：， 解得：， 则乙商品原销售单价为：（元）， 打折之后，两种商品的价格为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件， 根据题意有：， 解得：， 答：本次活动中售出甲种商品8件，乙种商品12件； （3）解：两种商品售价均为元， 则甲商品的成本价为：（元）， 乙商品的成本价为：（元）， 则总利润为：（元）， 答：商家总的是亏损，亏损8元． 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用；根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元． ， 解得， ∴中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）由题可得， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值为， ∴该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元． 26．（23-24八年级上·河南新密·期末）麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元． (1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 【答案】(1)97份，39份 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，根据“已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元”，进行列二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）依题意，列出一元一次方程，再解出，即可作答． 【详解】（1）解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，由题意得 解得； ∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份， （2）解：由题意得, ， ∴ 解得． 题型五 几何图形问题 27．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为x，y，大长方形的长为，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【详解】设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为， 则，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选C． 28．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 29．（23-24八年级上·河南太康·期末）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 30．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，正方形和正方形的顶点、、、、在长方形的边上．已知，，则长方形的面积为（      ） A．320 B．480 C．640 D．800 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，先证，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组即可，从而求出长方形的面积． 【详解】解：过点作于点， 四边形是正方形 ， 四边形是长方形 ，， 在和中 ， 同理可证 ， 设， ， ， ，即 ，， ，即 联立①②，解得：， ， 故选：C． 31．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（   ） A．600 B．500 C．300 D．200 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键． 假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积． 【详解】设小长方形的长、宽分别为a，b． 由题意可列方程组：， 解得：， ∴每块小长方形地砖的面积为． 故选：C． 32．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 33．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 35．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 【答案】 4 400 【分析】本题主要考查函数的图像及应用，二元一次方程组的应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键．根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方体铁块的体积，设注水的速度为，圆柱的底面积为，结合题意建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得，12秒时，水槽内水面的高度为，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为； 没有立方体时，水面上升从到，所用的时间为：秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满； 根据题意：正方体的体积为：， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意得：， 解得， 水槽的底面面积为． 故答案为：4；400． 题型六 开放型问题 36．（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）某礼品店为迎接阳历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】(1)A礼品每件的进价是15元，B礼品每件的进价是25元 (2)，元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），一次函数的实际应用（最大利润问题）等知识点，根据题意正确列出方程组以及正确运用一次函数的性质作出判断是解题的关键． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出W与m之间的关系式，再结合一次函数的性质求出该店所获利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设A礼品每件的进价是x元，B礼品每件的进价是y元， 依题意可得：， 解得：， 礼品每件的进价是15元，B礼品每件的进价是25元； （2）解：设购进B礼品n件， 依题意可得：， ∴，          表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值，即：A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为：（元）． 37．（23-24八年级上·河南信阳·期末）已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在关于的函数图像上 【分析】本题主要考查了求函数解析式、函数图像上点的坐标特征等知识，根据题意确定关于的函数解析式是解题关键． （1）设，，根据题意可得，再将所给的点代入可求得的值，即可求得函数解析式； （2）将代入关于的函数解析式，即可判断点是否在关于的函数图像上． 【详解】（1）解：根据题意，可设，， 则， ∵当时，；当时，， 所以，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）由（1）可知，关于的函数解析式为， 则当时，可有， ∴点不在关于的函数图像上． 38．（23-24八年级上·河南焦作·期末）为了进一步提升学生体质健康水平，某校计划用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如表所示． 备选体育用品 足球 篮球 排球 单价（元/个） 80 60 40 (1)若640元全部用来购买足球和排球，求足球和排球各买多少个？ (2)若学校先用一部分资金购买了个排球，再用剩下的资金购买了足球和篮球（足球和篮球的购买个数相同），此时正好剩余40元，求的值． 【答案】(1)购买足球4个，购买排球8个 (2)的值为8 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程或方程组是解答关键． （1）设购买足球个，排球个，根据题意列出方程组求解； （2）购买了个排球，则购买足球和排球的数量均为个，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：设购买足球个，排球个， 根据题意得：， 解得：． 答：购买足球4个，购买排球8个． （2）解：依题意得：购买了个排球，则购买足球和排球的数量均为个， 所以有：， 解得：． 答：的值为8． 39．（23-24八年级上·河南平舆·期末）生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强键体魄，更能愉悦身心．某校为了增强学生的身体素质，决定为体育组添置一批篮球和排球，共买了个篮球和个排球，共花费元，并且每个排球比篮球便宜元．篮球和排球的单价分别是多少元？（用方程组的知识解答） 【答案】篮球的单价是元，排球的单价是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列方程组解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是个篮球的费用个排球的费用元，排球的单价篮球的单价元；设篮球的单价是元，排球的单价是元，根据相等关系列方程组求解即可． 【详解】解：设篮球的单价是元，排球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：篮球的单价是元，排球的单价是元． 40．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克． (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？ 【答案】(1)每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克； (2)A型球、型球各有3只、2只． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， （1）直接利用1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克得出方程求出答案； （2）利用分类讨论得出方程的解即可， 熟练掌握分类讨论列方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题意可得： ，解得：， 答：每只型球的质量是3千克、型球的质量是4千克； （2）现有型球、型球的质量共17千克， 设型球1个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球2个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球3个，设型球个，则， 解得：， 设型球4个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球5个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述：型球、型球各有3只、2只． 41．（23-24八年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点的“3级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，点B的“2级关联点”是，求和点B的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“关联点”的定义，直接计算得到点；设，根据“关联点”的定义列关于x和y的二元一次方程并求解即可； （2）根据“关联点”的定义将含m的代数式将点的横坐标和纵坐标分别表示出来，再根据坐标轴上坐标的特征求出对应m的值，从而求出点的坐标． 本题考查点的坐标，新定义，理解题意、掌握二元一次方程的解法和坐标轴上坐标的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点的“级关联点”是点， ∴， ∴． 设， ∵点B的“2级关联点”是， ∴， 解方程组，得， ∴点． （2）解：∵点的“级关联点”是， ∴， ∴． ∵位于坐标轴上， 故或， 解得或， ∴或， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$