山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高一上学期数学期末综合练习题

高一数学期末综合练习题 一、选择题： 1．设M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，N＝{α|α＝k·45°，k∈Z}，则(　　) A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅ 2．若a，b为正实数，则a>b的充要条件为(　　) A B． C． D． 3．已知，＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．已知函数f(x)＝ln＋asin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝(　　) A．－5 B．－3 C．－1 D．3 5．　已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 6．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A． 7　已知55<84, 134<85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 8．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、选择题： 9．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点p(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y＝sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是(　　) A．该函数的值域为[－，] B．该函数的图象关于原点对称 C．该函数的图象关于直线x＝对称 D．该函数为周期函数，且最小正周期为2π 10．已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<k<1 11．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－ 三、填空题： 12．若不等式4x<logax在上有解，则实数a的取值范围为__________． 13．　若，α∈，则＋cos2α＝________． 14．已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围是_________________ 四、解答题： 15．(1）已知cos α＝，求的值 （2）计算． 16． 已知f(x)＝a－(a为常数)为奇函数， (1) 证明f(x)的单调性并解不等式 f(ax)＞f(1) 　 （2）,y=f(x)的值域为A，-2ax-30的解集为B,若A是B的充分不必要条件，求a的取值范围 17．f(x)=(3m2+4)x2+6mx-9的零点为 (1)求 的最大值 (2)y=f(x)与x轴的交点为A,B,求|AB|的最大值 18．若f(x)=2cos2x－sin 2x- (1)在区间上有且只有一个解，求m的取值范围. (2)当x∈，不等式||<3恒成立，求实数m的取值范围． 19．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若，都有成立，则称函数f(x)为理想函数． (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值； (2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数f(x)为理想函数，假定∃x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期末综合练习题 一、选择题： 1．设M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，N＝{α|α＝k·45°，k∈Z}，则(　　) A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅ 解析：　∵N＝{α|α＝k·45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，α＝k·45°＝2n·45°＝n·90°，n∈Z，当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，α＝k·45°＝(2n＋1)·45°＝n·90°＋45°，n∈Z，又M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，∴M⊆N．故选A． 2．若a，b为正实数，则a>b的充要条件为(　　) A B． C． D． 　解析 因为，故A选项错误；因为a，b为正实数，a-1与,b-1不一定为正，故B选项不正确； 取a＝e2，b＝e，则e2lne2＝2e2，eln e＝e，且2e2>e，即，故C选项错误； 设y＝ex－x，因为y′＝(ex－x)′＝ex－1，当x>0时，y′>0，所以y＝ex－x在x∈(0，＋∞)上单调递增， 即a>b⇔ea－a>eb－b⇔a－b<ea－eb，故D正确．故选B、D． 3．已知，＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析： 4．已知函数f(x)＝ln＋asin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝(　　) A．－5 B．－3 C．－1 D．3 解析：　根据题意，函数f(x)＝ln＋asin x＋2，则f(－x)＝ln＋asin(－x)＋2＝－ln－asin x＋2，则有f(x)＋f(－x)＝4，故f(m)＋f(－m)＝4，若f(m)＝5，则f(－m)＝－1，故选C． 5．　已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 　解析 由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝或tan θ＝－．又角θ的终边在第三象限，故 θ－cos2θ＝＝＝＝． [答案]　D 6．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A． [解析]　∵定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，f(x)的大致图象如图所示，∴f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0，故f(－1)＜0；当x＝0时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x－1＝2或x－1＝－2时，即x＝3或x＝－1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≥0，此时此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≤0，即得－1≤x＜0，综上－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]，故选D． [答案]　D 7　已知55<84, 134<85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b [解析]∵log53·log58<2＝2<2＝1，且log58>0，∴log53<＝log85．∴log53<log85．∵55<84,134<85，∴5log85<4,4<5log138，∴log85<log138，∴log53<log85<log138，即a<b<c．故选A． 8．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：B　由题得f(x)＝－10＋2，x∈令t＝sin x，则f(x)＝g(t)＝－10＋2，令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－≤t≤0时，f(x)的值域为所以－≤m≤0．故选B． 二、选择题： 9．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点p(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y＝sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是(　　) A．该函数的值域为[－，] B．该函数的图象关于原点对称 C．该函数的图象关于直线x＝对称 D．该函数为周期函数，且最小正周期为2π [解析] A中，由三角函数的定义可知x0＝rcos x，y0＝rsin x，所以y＝sos x＝＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，所以是正确的； B中，y＝sos x＝sin，所以f(0)＝sin＝1≠0，所以函数关于原点对称是错误的； C中，当x＝时，fsin＝sin π＝0≠±，所以图象关于直线x＝对称是错误的； D中，y＝sos x＝sin所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的．故选A、D． 10．已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<k<1 解析：BCD　由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示， 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1；当y＝1时，|log2x|＝1，解得x＝或x＝2；所以<x3<1<x4<2；由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，由图可知0<k<1，故选B、C、D． 11．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1 解析：BCD　对于A：2x0＋x0＝x0无解，所以A不满足；对于B：x－x0－3＝x0，解得：x0＝3或x0＝－1，所以B满足题意；对于C：x0＋1＝x0，解得：x0＝>0，所以C满足题意；对于D：|log2x0|－1＝x0，在同一直角坐标系下画出函数f(x)以及y＝x的图象，可确定两个函数的图象有交点，即方程有解，所以D满足题意；故选B、C、D． 三、填空题： 12．若不等式4x<logax在上有解，则实数a的取值范围为__________． [解析]若不等式4x<logax在有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a<． 13．　若，α∈，则sin＋cos2α＝________． [解析]　∵tan α＋＝，α∈，∴tan α＝3或tan α＝(舍)，则sin＋cos2α＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·＝sin 2α＋cos 2α＋＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0． [答案]　0 14．已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围是_________________ 解析：　作出y＝|f(x)|，y＝ax在[－1,1]上的图象如图所示，因为|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，所以y＝|f(x)|的图象在y＝ax的图象的上方(可以部分点重合)，且|f(－1)|＝|1－2|＝1，令3x－2＝0，得x＝，所以A(－1,1)，B根据图象可知：当y＝ax经过点A(－1,1)时，a有最小值，amin＝－1，当y＝ax经过点B时，a有最大值，amax＝0，综上可知a的取值范围是[－1,0]， 四、解答题： 15．(1）已知cos α＝，求的值 解析：由cos α＝得sin α＝±．＝＝＝＝2(sin α＋cos α)，所以当sin α＝时，原式＝；当sin α＝－时，原式＝－． （2）计算． 解析：＝－＝－＝－＝2． 答案：2 16． 已知f(x)＝a－(a为常数)为奇函数， (1) 证明f(x)的单调性并解不等式 f(ax)＞f(1) 　 （2）,y=f(x)的值域为A，-2ax-30的解集为B,若A是B的充分不必要条件，求a的取值范围 [解析] 因为函数f(x)＝a－为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝2a－－＝2a－－＝2a－＝2a－2＝0，解得a＝1，所以f(x)＝1－，任取x1＞x2，则3＞3，则f(x1)－f(x2)＝－－＝＞0，所以f(x1)＞f(x2)，则函数f(x)为R上的增函数，由f(x)＞f(1)，解得x＞1． (2)若A是B的充分不必要条件,即AB 由f(x)＝1－，函数单调递增，所以f(x)∈，∴,A= 又-2ax-30 ∴（x-3a）（x+a）0 a=0 0 x=0 不合题意 ② a>0 -a≤x≤3a ∴ ∴0< ③a<0 3a≤x≤-a ∴∴0 综上 0<0 17．（15分）f(x)=(3m2+4)x2+6mx-9 (1)求 的最大值 (2)y=f(x)与X轴的交点为A,B,求|AB|的最大值 [解析] (1) ==-2=--2 ∵，∴∴最大值为-2 （2）(3m2+4)x2+6mx-9=0 即，= =- |AB|=|==设，则，，又函数在上单调递增，即当，即时，取得最小值为，此时取得最大值为. 18．若cos2x－ (1)在区间上有且只有一个解，求m的取值范围. (3)当x∈时，不等式|<3恒成立，求实数m的取值范围． [解析]　由cos2x－可得＝，化简可得cos＝－，即y＝cos的图象和直线只有1个交点．又x∈，则2x＋∈．当2x＋＝－，即x＝－时，可得y＝cos＝；当2x＋＝0，即x＝－时，可得y＝1；当2x＋＝，即x＝时，可得y＝0．要使得y ＝cos的图象和直线只有1个交点，可得或，解得．． (3)当x∈时，，所以f(x)∈[-1,]． 又，即，所以，即．故实数m的取值范围是(－4,＋3)． 19．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数． (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值； (2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数f(x)为理想函数，假定∃x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0． [解析]：(1)若函数f(x)为理想函数，取x1＝x2＝0，由条件③可得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0． 由条件①对任意的x∈[0,1]，总有f(0)≥0． 综上所述，f(0)＝0． (2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])为理想函数，证明如下： 函数g(x)＝2x－1在[0,1]上满足g(x)≥0，即满足条件①． ∵g(1)＝21－1＝1，∴g(x)满足条件②． 若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则 g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)] ＝2－1－[(2－1)＋(2－1)] ＝2－2－2＋1 ＝(2－1)(2－1)≥0， 即满足条件③． 综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数． (3)证明：由条件③知，任给m，n∈[0,1]，当m＜n时，n－m∈[0,1]， ∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)． 若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾； 若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾． 综上所述，x0＝f(x0)． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$