专题09 等比数列6种常见考法归类-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题06 等比数列6种常见考法归类 等比数列通项及前n项和的计算 1．（2022春•昆明期末）在等比数列中，，，则　　 A．2 B．3 C． D． 2．（2022秋•保山期末）等比数列满足，，则该数列通项公式为　　． 3．（2022秋•西山区校级期末）已知为正项等比数列，且，，则　　 A．8 B．9 C．12 D．18 4．【多选】（2023春•麒麟区校级期末）在等比数列中，，则的公比可能为　　 A． B． C．2 D．4 5．（2023秋•官渡区期末）等比数列中，，则　　． 6．（2023秋•昆明期末）在等比数列中，已知，，则　　 A．1 B．3 C．9 D．27 7．（2024春•师宗县期末）在等比数列中，，公比，则　　 A．6 B． C．12 D． 8．（2023秋•沾益区校级期末）等比数列的前项和为，若，则公比　　 A．3 B． C．3或 D．2 9．（2024春•楚雄州期末）设等比数列的前项和为，，，则　　 A． B．63 C． D．31 10．（2023秋•西山区校级期末）记为等比数列的前项和，若，，则　　． 11．（2024春•玉溪期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为　　 A．2 B．1 C． D．或 12．（2023春•临翔区校级期末）已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为　　 A．2 B．1 C． D． 13．（2021秋•玉溪期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，若，，则公比　　 A． B．2 C．2或 D．4 等比数列的判定 14．（2024春•会泽县期末）数列中，“”是“数列为等比数列”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．【多选】（2022秋•官渡区期末）已知数列的首项为2，且满足，，则　　 A．数列为等比数列 B．数列为递增数列 C．数列为等差数列 D．数列是公比为的等比数列 16．【多选】（2022秋•五华区校级期末）设是数列的前项和，且，，则下列结论中，正确的是　　 A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 17．（2023春•大理州期末）已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18．【多选】（2022秋•西山区校级期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是　　 A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则为等比数列 D．若为等差数列，，则 等比中项及等比数列的性质 19．（2021秋•呈贡区校级期末）在等比数列中，若，，则与的等比中项是 　　． 20．（2021秋•巍山县校级期末）已知各项均为正数的等比数列，，，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 21．（2021秋•沧源县校级期末）已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为　　 A． B． C． D． 等比数列前n项和的性质 22．（2022春•玉溪期末）记为等比数列的前项和．若，，则　　 A． B． C． D． 23．（2022秋•丽江期末）已知数列是等比数列，且，，则　　． 24．（2022秋•五华区校级期末）已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则　　 A．40 B．56 C．72 D．120 等比数列的最值问题 25．（2023秋•昭阳区校级期末）已知等比数列的前项和为，，，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为　　 A．9 B．18 C．27 D．54 26．（2023秋•西山区校级期末）在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 27．（2024春•麒麟区期末）已知数列满足，，且．若是数列的前项积，求的最大值为 　　． 等差数列和等比数列的综合 28．（2023秋•云南期末）已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为　　 A．1 B．3 C．6 D．9 29．（2024春•昭通期末）已知等比数列的公比不为1，若，且，，成等差数列，则　　 A． B． C． D． 30．【多选】（2024春•昆明期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则　　 A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 31．（2023春•保山期末）已知首项为1的等比数列满足，，成等差数列，则公比　　 A． B． C．2 D． 32．（2022秋•保山期末）已知等比数列满足，，数列是首项为1公差为1的等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 33．（2022秋•西山区校级期末）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 34．（2021秋•西山区校级期末）在各项均为正数的等比数列中，若，，成等差数列，则　　 A． B． C．2 D．4 35．（2023秋•保山期末）已知等比数列满足：首项，公比为，前项和为，则“对任意的恒成立”是“”的　　 A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 36．（2024春•保山期末）设等比数列的前项的和为，若，，，则的近似值为　　 A．4 B．3 C．2 D． 37．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知公比为的等比数列，，则　　 A． B． C．若，则 D．若，记，则 38．（2023秋•保山期末）已知为等比数列，且为数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）令，求证：． 39．（2022秋•玉溪期末）已知等比数列满足，，，则的值为　　 A．4 B． C．8 D． 40．（2022秋•官渡区期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式　　（写出满足条件的一个的通项公式即可） 41．（2022秋•东川区校级期末）“远望巍峨塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．（选自《九章法比类大全》诗中所述的尖头有 　　盏灯． 42．（2023春•玉溪期末）在递增的等比数列中，，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 43．（2022秋•玉溪期末）已知数列是递增的等比数列，为的前项和，满足，． （1）求的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和． 44．（2022秋•泸西县校级期末）已知数列满足，，数列满足． （Ⅰ）求证数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和． 45．（2021秋•呈贡区校级期末）已知等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列． （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和． 46．（2021秋•昭通期末）等比数列中，公比为，首项为，则“对任意正整数，都有”是“且”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（2021秋•牟定县校级期末）在等比数列中，，则的公比　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等比数列6种常见考法归类 等比数列通项及前n项和的计算 1．（2022春•昆明期末）在等比数列中，，，则　　 A．2 B．3 C． D． 【解析】在等比数列中，，， ， 解得． 故选：． 2．（2022秋•保山期末）等比数列满足，，则该数列通项公式为　　． 【解析】设等比数列的公比为，首项为， 故， 由得，解得， 故． 故答案为：． 3．（2022秋•西山区校级期末）已知为正项等比数列，且，，则　　 A．8 B．9 C．12 D．18 【解析】， 则或（舍去）， 故，解得． 故选：． 4．【多选】（2023春•麒麟区校级期末）在等比数列中，，则的公比可能为　　 A． B． C．2 D．4 【解析】根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 当时，，符合题意， 当时，必有，解可得， 综合可得：或． 故选：． 5．（2023秋•官渡区期末）等比数列中，，则　　． 【解析】等比数列中，， 由题可得，， 所以． 故答案为：4． 6．（2023秋•昆明期末）在等比数列中，已知，，则　　 A．1 B．3 C．9 D．27 【解析】等比数列中，，， 所以，即， 则． 故选：． 7．（2024春•师宗县期末）在等比数列中，，公比，则　　 A．6 B． C．12 D． 【解析】在等比数列中，，公比， 则． 故选：． 8．（2023秋•沾益区校级期末）等比数列的前项和为，若，则公比　　 A．3 B． C．3或 D．2 【解析】数列为等比数列，， 设首项为，公比为，根据题意有， 即①，所以，若，则有，与不符， 所以， 所以②，联立①②两式有：，即 ， 整理得， 解得或． 故选：． 9．（2024春•楚雄州期末）设等比数列的前项和为，，，则　　 A． B．63 C． D．31 【解析】设等比数列的公比为， ，， ，， 联立解得：，， 则． 故选：． 10．（2023秋•西山区校级期末）记为等比数列的前项和，若，，则　　． 【解析】因为等比数列中，，， 所以， 则， 所以， 则． 故答案为：31． 11．（2024春•玉溪期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为　　 A．2 B．1 C． D．或 【解析】设等比数列公比为，由题意得， 故，解得． 故选：． 12．（2023春•临翔区校级期末）已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为　　 A．2 B．1 C． D． 【解析】设数列公比为， 因数列各项均为正数，故， 则， 所以，解得或（负值舍去）． 故选：． 13．（2021秋•玉溪期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，若，，则公比　　 A． B．2 C．2或 D．4 【解析】设等比数列的公比为， 由，得，解得或（舍去）， 故选：． 等比数列的判定 14．（2024春•会泽县期末）数列中，“”是“数列为等比数列”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】数列中，当“”时， 若，，，“数列为等比数列”； 若或含义0项，，“数列不是等比数列”； 故数列中，“”不能推出“数列为等比数列” 当“数列为等比数列”在数列中， 满足等比数列的定义：同一常数，则一定有“”成立． 故数列中，“数列为等比数列能推出”“ ” 所以：数列中，“”是“数列为等比数列”的必要不充分条件． 故选：． 15．【多选】（2022秋•官渡区期末）已知数列的首项为2，且满足，，则　　 A．数列为等比数列 B．数列为递增数列 C．数列为等差数列 D．数列是公比为的等比数列 【解析】数列的首项为2，且满足，， ， ，， 故对，错， ，可得，故数列为等差数列，对， ，可得，故数列是公比为的等比数列，对， 故选：． 16．【多选】（2022秋•五华区校级期末）设是数列的前项和，且，，则下列结论中，正确的是　　 A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【解析】， 当时，， ， 又，，故数列不是等比数列，故错误；错误； ， ， 数列是首项为1，公比为3的等比数列， ，故正确；正确， 故选：． 17．（2023春•大理州期末）已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）证明：由可得，即， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以，所以． （2） ． 18．【多选】（2022秋•西山区校级期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是　　 A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则为等比数列 D．若为等差数列，，则 【解析】对于：当时，，当时，， 则，又不满足上式， 所以，不是等差数列，选项错误； 对于：当时，，当时，， 则， 所以，， 所以是等比数列，选项正确； 对于：设等差数列的公差为，则为常数， 所以为等比数列，选项正确； 对于：设等差数列的公差为， 由，得，即， 所以， 所以 所以，选项正确． 故选：． 等比中项及等比数列的性质 19．（2021秋•呈贡区校级期末）在等比数列中，若，，则与的等比中项是 　　． 【解析】等比数列中，，， 所以，， 则与的等比中项． 故答案为：． 20．（2021秋•巍山县校级期末）已知各项均为正数的等比数列，，，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】各项均为正数的等比数列，，， ，， ． 故选：． 21．（2021秋•沧源县校级期末）已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ， ， ， ， 正项等比数列， ， ， ， ， ， ， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 故选：． 等比数列前n项和的性质 22．（2022春•玉溪期末）记为等比数列的前项和．若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】为等比数列的前项和， 根据等比数列的性质可知，，，成新的等比数列， 又，，，新公比为， ，， ， 故选：． 23．（2022秋•丽江期末）已知数列是等比数列，且，，则　　． 【解析】由题意，设等比数列为， 由，， 可得，故， 所以． 故答案为：243 24．（2022秋•五华区校级期末）已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则　　 A．40 B．56 C．72 D．120 【解析】设等比数列的公比为，． 又，，，， 解得．，． 则． 故选：． 等比数列的最值问题 25．（2023秋•昭阳区校级期末）已知等比数列的前项和为，，，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为　　 A．9 B．18 C．27 D．54 【解析】等比数列的前项和为，，， ，则， ， 又恒成立， 恒成立， 恒成立， 又，当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：． 26．（2023秋•西山区校级期末）在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 【解析】（1）根据题意，设正项等比数列的公比为， 由于．则有，解可得：或（舍， 又由，则， 故； （2）根据题意，由（1）的结论，， 易得， 则有， 分析可得：当时，有，即， 当时，有，即， 当时，有，即，此时有， 故数列的最大项为． 27．（2024春•麒麟区期末）已知数列满足，，且．若是数列的前项积，求的最大值为 　　． 【解析】由和知，故有，可知数列为等比数列， 公比为，首项为，故通项为：， 于是， 因，为增函数，故当或时，取得最大值，为． 故答案为：． 等差数列和等比数列的综合 28．（2023秋•云南期末）已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为　　 A．1 B．3 C．6 D．9 【解析】设正项等比数列的公比为， ，，成等差数列， ，即，解得或（舍去）， 数列中存在两项，，使得为它们的等比中项， ， ，即，故， 又，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为3． 故选：． 29．（2024春•昭通期末）已知等比数列的公比不为1，若，且，，成等差数列，则　　 A． B． C． D． 【解析】设的公比为， 则依题意有， 解方程得或（舍去），所以． 故选：． 30．【多选】（2024春•昆明期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则　　 A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，数列中，为等差数列，设的公差为， 则有，则数列为常数列， 又由数列为等比数列，则其公比，正确； 对于，由于等比数列的公比，则，故，正确； 对于，由于，则，易得为等差数列，正确； 对于，，是常数，则为等差数列，不是等比数列，错误． 故选：． 31．（2023春•保山期末）已知首项为1的等比数列满足，，成等差数列，则公比　　 A． B． C．2 D． 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以， 则， 因为，整理得，解得． 故选：． 32．（2022秋•保山期末）已知等比数列满足，，数列是首项为1公差为1的等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】解（1）因为数列是等比数列，故设首项为，公比为， 因为，所以， 所以，解得，所以， 所以数列的通项公式为， 因为是首项为1、公差为1的等差数列， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 同乘得：， 作差得：， 即， 所以． 33．（2022秋•西山区校级期末）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【解析】（1），，是公比为2的等比数列， ，公差， ，； （2）， ． 34．（2021秋•西山区校级期末）在各项均为正数的等比数列中，若，，成等差数列，则　　 A． B． C．2 D．4 【解析】设等比数列的公比为，， 由，，成等差数列，可得， 即为， 可得，解得舍去）， 则． 故选：． 35．（2023秋•保山期末）已知等比数列满足：首项，公比为，前项和为，则“对任意的恒成立”是“”的　　 A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故必要性成立； 若，且， 则， 所以由对于任意的，，推不出，故充分性不成立； 则“对任意的恒成立”是“”的必要不充分条件． 故选：． 36．（2024春•保山期末）设等比数列的前项的和为，若，，，则的近似值为　　 A．4 B．3 C．2 D． 【解析】，，所以公比， ， ， 当很大时，趋近于0，所以． 故选：． 37．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知公比为的等比数列，，则　　 A． B． C．若，则 D．若，记，则 【解析】对于选项，， 所以，错误； 对于选项，显然当首项，公比时不成立，错误； 对于选项，由，，得，选项正确； 对于选项，， 又，得，正确． 故选：． 38．（2023秋•保山期末）已知为等比数列，且为数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）令，求证：． 【解析】（1）为等比数列，且为数列的前项和，，， 公比，则， ． 证明：（2）由（1）知，， 当时，成立； 当时，， ． ． 39．（2022秋•玉溪期末）已知等比数列满足，，，则的值为　　 A．4 B． C．8 D． 【解析】设公比为，，， ，， 即，解得， ． 故选：． 40．（2022秋•官渡区期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式　　（写出满足条件的一个的通项公式即可） 【解析】设等比数列的公比， ， 则，解得， 故，令， 故（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 41．（2022秋•东川区校级期末）“远望巍峨塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．（选自《九章法比类大全》诗中所述的尖头有 　　盏灯． 【解析】设尖头至第一层分别有，，，盏灯， 由题意可知，，，成等比数列，公比为2， 故， 所以． 故答案为：3． 42．（2023春•玉溪期末）在递增的等比数列中，，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【解析】（1），，等比数列是递增数列， ，， 数列的公比， ； （2）由（1）得，则， 数列的前项和． 43．（2022秋•玉溪期末）已知数列是递增的等比数列，为的前项和，满足，． （1）求的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为， 为递增的等比数列，， ， ， 解得：（舍或， ． （2）由（1）得：， 又，， 数列是以0为首项，1为公差的等差数列， ． 44．（2022秋•泸西县校级期末）已知数列满足，，数列满足． （Ⅰ）求证数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和． 【解析】（Ⅰ）证明：当时，，故． 当时，， 则， ， 数列列是等比数列，首项为6，公比为2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ， ． 45．（2021秋•呈贡区校级期末）已知等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列． （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意知， 解得，，或，， 所以，或． （2），或， 将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列， 根据等差数和等比数列的求和公式得到： ，或． 46．（2021秋•昭通期末）等比数列中，公比为，首项为，则“对任意正整数，都有”是“且”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由于等比数列中，公比为，首项为， 则根据对任意正整数，都有，可得数列为递增数列， 且；或且，故充分性不成立． 若且，则可得对任意正整数，都有，故必要性成立， 故“对任意正整数，都有”是“且”的必要不充分条件， 故选：． 47．（2021秋•牟定县校级期末）在等比数列中，，则的公比　　． 【解析】由得：， 又， ， 解得：或． 故答案为：或6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$