5.5 用二次函数解决问题课件2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.5 用二次函数解决问题（1） 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 1.当x＝ 时, 函数 y＝3（x－5）2＋6 有最____值，最____值＝ . 2.当x＝ 时,函数y＝－2x2＋8x－7有最___值，最___值为 . 5 6 2 1 小 小 大 大 y＝－2（x－2）2＋1 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 生产、生活中的一些实际问题，有时可以用二次函数来揭示其中的变量之间的关系，运用二次函数的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决． 问题1：某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式： h＝－5t2＋150t＋10 表示．经过 s,火箭达到它的最高点． 15 h＝－5（t－15）2＋1135 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 问题2 用16m的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可以使小兔的活动范围最大呢？ 分析：若设长方形生物园一边长为xm,则与该边垂直的边长为________m，根据题意可得面积y与x之间的关系式： . （8－x） y＝x（8－x） y＝－（x－4）2＋16 ∵a＝－1＜0, 当x＝4时,y最大＝16 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 某种粮大户去年种植水稻300亩，平均每亩收益400元．他计划今年多承租若干亩稻田，预计原300亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使今年的总收益最大？ 分析：若设今年多承租x亩稻田，新承租的稻田每亩收益 元,新承租的稻田共收益 元； 设总收益为y元，根据题意可得函数关系式： . （400－2x）x y＝400×300＋x（400－2x） 即：y＝－2x2＋400x＋120000 （400－2x） 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 y＝400×300＋（400－2x）x ＝－2x2＋400x＋120000 ＝－2（x－100）2＋140000 答:要承租100亩水稻,才能使总收益最大,最大收益是140000元. 解:设该种粮大户的今年总收益为y元. ∵a＝－2＜0, 当x＝100时,y最大＝140000 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾，平均每千尾鱼的产量为1000 kg．今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50 kg．应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？ 今年应投放鱼苗5千尾，才能使总产量最大，最大总产量为11 250 kg． 分析：如果今年向鱼塘投放鱼苗x千尾，那么鱼塘里共鱼苗有 千尾，每千尾鱼的产量为 kg.根据题意可得函数关系式： . 即：y＝－50（x－5）2＋11250 （10＋x） （1000－50x） y＝（1000－50x）（10＋x） 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 3.两个数的和是16，这两个数积的最大值是多少？ 1.小球被抛出后,距离地面的高度h（m）和飞行时间t（s）满足下列函数关系式:h＝－5（t－1）2＋6,则小球距离地面的最大高度是（　　）． A．1m B．5m C．6m D．7m 2.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出（８－x）个,则当x＝　　　　元时,一天出售该种手工艺品的总利润y最大． C 4 64 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 4.某超市以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m（件） 与每件的销售价x（元）满足关系为m＝140－2x,则超市卖这种商品每天的销售利润y的最大　 　　元． 5.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为 元. 1250 5 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 6.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元 D 7.把一根长80 cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少？ 200cm2 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. 8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数表达式； （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ （1）y＝－10x2＋1400x－45000； （2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元． 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元. 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 最大利润为1750元． 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图像如图所示. （1）销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元？ 5 16 7 O x y 13 （1）y＝－x2＋20x－75 y＝－（x－10）2＋25 （2）当7≤x≤13时, y≥16 汇文实中汇杰校区 5.3用待定系数法确定解析式 $$5.5二次函数的应用(2) ------拱桥问题 学习目标： 1.建立适当的平面直角坐标系将生活中呈 抛物线形的建筑的有关问题数学化； 2.体验由形（函数图像）到数（函数表达式） 的逆向思维，从而解决有关实际问题的过 程和方法． 问题1 一座抛物线拱桥架在一河流上,这座桥下的水面离桥顶部3m时,水面宽6m.当水位上升1m时,水面宽多少?（精确到0.1m） 3米 6米 X y o A B C D 问题1 一座抛物线拱桥架在一河流上,这座桥下的水面离桥顶部3m时,水面宽6m.当水位上升1m时,水面宽多少? x y O A B C D 思考：你还有其他方法建立直角坐标系吗？ 探究新知: 解: 建立如图所示的直角坐标系 由题意知: A(3,-3) 设桥孔抛物线对应的二次函 数为y=ax2 所以有 -3=a×32 … 问题1 一座抛物线拱桥架在一河流上,这座桥下的水面离桥顶部3m时,水面宽6m.当水位上升1m时,水面宽多少? 解: 建立如图所示的直角坐标系 设桥孔抛物线对应的二次函 数为y=a(x-3)2+3 答:水位上升1m时,桥下水面宽CD约为4.9m. x y O A B C 由题意知 A(6,0) ----- 问题1 一座抛物线拱桥架在一河流上,这座桥下的水面离桥顶部3m时,水面宽6m.当水位上升1m时,水面宽多少? 一艘装满防汛器材的船在这条河流中航行,露出水面部分的高为0.5m,宽为4m.当水位上升1m时,这艘船能从桥下通过吗? x y O A B C D 探究新知: 1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m。请判断这辆汽车能否顺利通过大门。 2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; x y O A B C D 问题2 某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛 物线形组成的,为牢固起见,每段护拦需按0.4m的间 距加装不锈钢管(如图)作成的立柱. (1)试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应 的二次函数关系式. (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度. 探究新知: 问题2 某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛 物线形组成的,为牢固起见,每段护拦需按0.4m的间距加装不锈钢管(如图)作成的立柱. (1)试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式. 应建成如图的直角 坐标系比较简单. 由题意得, C(1,0) ,B(0,0.5)且B为抛物线的顶点,从而可以求出抛物线的解析式. 探究新知: 问题2 某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛 物线形组成的,为牢固起见,每段护拦需按0.4m的间距加装不锈钢管(如图)作成的立柱. (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度. 要求不锈钢立柱的总长度,就要求出B1C1、B2C2、 B3C3、B4C4的长度,即B1 、B2 、B3 、B4纵坐标. B1C1 =B4C4=0.32m B2C2= B3C3=0.48m 探究新知: 2.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用 表示. (1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ （1）卡车可以通过. 提示:当x=±1时,y =3.75,3.75＋2>4. （2）卡车可以通过. 提示：当x=±2时,y =3,3＋2>4. x y －1 －3 －1 －3 1 3 1 3 O （3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？ 这节课，我的收获是--- 如图,某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m.抛物线可以用y=- x2+8表示． (1)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后， 其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离 均为7m，它能否完全通过这个隧道？ 请说明理由； （2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由； (3)为完全起见，你认为 隧道应限高多少比较适宜？ 为什么？ 目标检测： 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m达到该地警戒水位时,水面CD的宽是10m. x y O A B C D 5 10 (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解 析式; 拓展延伸: 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m达到该地警戒水位时,水面CD的宽是10m. x y O A B C D 5 10 (2)如果该地连降暴雨,造成水位以0.25米/时的速 度持续上涨,那么达到警戒水位后,再过多长时间 水位达到桥拱最高点O? 4小时 问题研究 拓展延伸: x y O A B C D 5 原速不能通过 若安全通过v>60千米/时 10 (3)现有一辆载有救灾物资的货车,从甲地出发经过此桥开往乙地,已知甲地距离此桥280千米(桥长忽略不计),货车正以40千米/时的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知“前方连降暴雨,造成水位以0.25米/时的速度持续上涨”(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 拓展延伸: $$(二次函数与几何图形) 二次函数的应用（3） y O x 若抛物线y=-x2-x+12 (1)交x轴于A_____ B_____ (A左B右) (2)交y轴于C________; (3)顶点M_________; (-4,0) (3,0) (0,12) A B M C (4)求四边形AMCB的面积. D (5)在抛物线上是否存在点P,使 S△PAB=7.若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. P (x,y) 例1. A B C D x y o (m,m2+3m) 例2.如图,A是抛物线y=x2+3x上位于x轴下方,且在对称轴左侧的一个动点,AD∥x轴,交抛物线于另一点D,作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.若设A点的横坐标为m. (1)AB的长= (用含m的代数式表示); -m2-3m BC=2(-1.5-m) =-3-2m L=-2m2-10m-6 x=-1.5 (2)试求矩形ABCD的周长L关于自变量m的函数关系式； A B C D x y o (m,m2+3m) 例2.如图,A是抛物线y=x2+3x上位于x轴下方,且在对称轴左侧的一个动点,AD∥x轴,交抛物线于另一点D,作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.若设A点的横坐标为m. (1)AB的长= (用含m的代数式表示); -m2-3m (3)试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值,并指出此时点A的坐标;如果不存在,请说明理由. L=-2m2-10m-6 x=-1.5 例3.已知:抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=-1,与x轴交于A,B,与y轴交于点C.A(-3,0),C(0,-2). (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P坐标． A C x y B O P -3 -2 例4.阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h)．我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ,即三角 形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题： 如图2,抛物线顶点C为(1,4),交x轴于A(3,0),交y轴于B． (1)求抛物线和直线AB的解析式； (2)求△CAB的铅垂高CD及△CAB的面积. (3)设点P是第一象限的抛物线上一动点,是否存在一点P,使S△PAB=　S△CAB， 若存在,求出P点坐标;不存在, 说明理由. (1,4) (3,0) y=-(x-1)2+4 yAB=-x+3 (1,2) (2) CD=2 S△CAB=3 例5.已知:抛物线顶点M坐标为(2,0),直线y=x+2与该抛物线交于A、B两点,其中点A在y轴上. (1)求该二次函数的解析式； (2)P为线段AB上一动点(A,B两端点除外),过P作x轴垂线与抛物线交于点Q,设线段PQ的长为L,点P的横坐标为x,求出L与x 之间的函数关系式,并求 出自变量x的取值范围. x o y A B M P Q C (x,x+2) (0,2) (6,8) (3)求△ABQ面积的最大值. 如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． (1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式； (2)第一象限上,是否存在一点P, 使得△P B′ B的面积最大, 最大面积是多少？ 检测评学 y=-x2+x+2 P Q 例6.如图,抛物线y=-x2+5x+n经过点A(1,0),与y轴交于点B. ⑴求抛物线的解析式； ⑵P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的 等腰三角形,试求P点坐标. o A B x y y=-x2+5x-4 -4 P1 P2 1 P1(0,4) P2(0, -4) 我的收获我来说… $$