精品解析：湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

孝南区2024-2025学年度九年级上学期期中学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图案是中国移动、中国联通、中国电信以及华为公司的，其中图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. 无解 B. ， C. D. ， 7. 如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为( ) A y＝2﹣2 B. y＝2﹣2 C. y＝2﹣1 D. y＝2+1 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论正确是（ ） A. B. C D. 若点，均在该抛物线上，则 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 12. 已知点与点关于原点对称，则的值是_____． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 14. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当_____时，的长最小，此时的面积为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、，求证：． 18. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 19. 已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 20. 如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到． （1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度； （2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形； （3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求实数m的取值范围； （2）若 ，求m的值． 22. 我市首衡城是华中地区最大的农副产品集散地和批发市场．某品牌水果经销商计划在2024年中秋节期间开展“阳光玫瑰”葡萄的促销活动，经过调查统计发现，在首衡城批发“阳光玫瑰”葡萄的最低价格为每斤10元，若按每斤20元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． （1）若降价4元，则每天的销售利润是_____元； （2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价应降价多少元？（其它成本忽略不计） （3）当售价降价多少元时，该水果商每天销售“阳光玫瑰”葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点． 【观察猜想】（1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由． （3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝南区2024-2025学年度九年级上学期期中学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义：“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程．”是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是一元一次方程，故不符合题意； B.是分式方程，故不符合题意； C.含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，故不是一元二次方程，不符合题意； D.是一元二次方程，故故合题意； 故选：D． 2. 下面的图案是中国移动、中国联通、中国电信以及华为公司的，其中图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义理解；将一元二次方程化为一般形式后得，可得一次项为，由单项式的系数，即可求解；理解一元二次方程的项是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 一次项为， 一次项系数， 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 5. 某超市一月份营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x， ∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2. ∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律. 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. 无解 B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由图象结合抛物线的对称性可求出与轴的一个交点为、，即可求解；理解二次函数与一元二次方程的关系，能熟练利用图象进行求解是解题的关键． 【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点为， 对称轴为直线， 设抛物线与轴的一个交点为 ， 解得：， ， 关于的一元二次方程的解为： ，， 故选：D． 7. 如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案． 详解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t， 则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3-t）×2t=-t2+3t， 故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下． 故选C． 点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键． 8. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，线段的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据旋转性质以及角的运算或线段的运算得出逐项判断即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ，，，，故B选项正确，不符合题意； ，即，故A选项正确，不符合题意； ， ，故C选项不正确，符合题意； 设和交于点H， 在，，， ， ，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 9. 将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为( ) A. y＝2﹣2 B. y＝2﹣2 C. y＝2﹣1 D. y＝2+1 【答案】B 【解析】 【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，﹣2)，根据抛物线的顶点式求解析式. 【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，﹣2)， ∴平移后抛物线解析式为y＝2(x﹣1)2﹣2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 若点，均在该抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质； A. 对称轴为直线，即可判断； B.由抛物线的对称性得与轴的另一个交点在和之间，即可判断； C.由选项B得当时，，即可判断； D.由抛物线的性质得即可判断； 理解二次函数的图象及性质，并能熟练利用性质进行判断式子的符号是解题的关键． 【详解】解：A.对称轴为直线， ， ， 结论错误，故不符合题意； B.对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， 与轴的另一个交点在和之间， ，结论错误，故不符合题意； C.由选项B得当时，， ，结论错误，故不符合题意； D.，， ，结论正确，故符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 12. 已知点与点关于原点对称，则的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，代数式求值，熟练掌握其性质是解题关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反求出，，然后代入进而得出即可． 【详解】∵点与点关于原点对称 ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 若关于一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得，由此即可求解． 【详解】解：把代入一元二次方程得，，且， 解得，，且， ∴， 故答案为： ． 14. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案：能． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当_____时，的长最小，此时的面积为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】过点作于点，连接，由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得，设，则，，由勾股定理求可得，可证得是等边三角形，结合等边三角形的性质可推出，由勾股定理得，据此即可求出最小时的以及此时的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由旋转的性质得：， ， ， ， 由三线合一可得：， 设，则， ， ， ， ，， ， 点为的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 当时，的值最小， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，根据题意作出恰当的辅助线，熟练运用勾股定理及二次函数的性质进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）因式分解得的形式可得或，即可求解； 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， 或， ，． 17. 如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定；由菱形的性质，，由旋转性质得，，由即可判定；掌握菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形为菱形， ，， 由旋转性质知：，， ， ， 在和中， （）． 18. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 【答案】小路的宽应为1． 【解析】 【分析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：设小路的宽应为x米， 根据题意得：， 解得：，． ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 答：小路的宽应为1米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 19. 已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （3）抛物线与轴的交点坐标为：，；抛物线与轴的交点坐标为： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）等号右边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，进行配方即可； （2）根据二次函数的图象与性质求解； （3）分别令进行求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：令，则，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为：，， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度； （2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形； （3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理． 【答案】（1）O(0，0)；90度 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【详解】解：(1)旋转中心坐标是O(0，0)，旋转角是90度； (2)画出的图形如图所示； (3)有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形． ∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC， ∴(a＋b)2＝c2＋4×ab， 即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求实数m的取值范围； （2）若 ，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用一元二次方程根的判别式大于或等于零，求得m的范围． （2）由题意，利用一元二次方程根与系数的关系解方程求得m值． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是； 【小问2详解】 ，， 又∵， ∴， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴即的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，属于基础题． 22. 我市首衡城是华中地区最大的农副产品集散地和批发市场．某品牌水果经销商计划在2024年中秋节期间开展“阳光玫瑰”葡萄的促销活动，经过调查统计发现，在首衡城批发“阳光玫瑰”葡萄的最低价格为每斤10元，若按每斤20元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． （1）若降价4元，则每天的销售利润是_____元； （2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价应降价多少元？（其它成本忽略不计） （3）当售价降价多少元时，该水果商每天销售“阳光玫瑰”葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）600 （2）3元 （3）当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低4元，则可增加40斤，再根据每斤利润销量可得解； （2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元，根据每天盈利630元列方程，解出x的值即可求解； （3）设水果商每天获得的利润为元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得． 本题考查了二次函数的实际应用问题，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键． 【小问1详解】 （元）， ∴若降价4元，则每天的销售利润是600元； 【小问2详解】 设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降3元； 【小问3详解】 设水果商每天获得的利润为元， 根据题意得：， ， 当时，， 答：当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元． 23. 【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点． 【观察猜想】（1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由． （3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长取值范围． 【答案】（1）AP＝BE，PA⊥BE；（2）成立，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题． （3）利用三角形的三边关系求出AJ的取值范围，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O． ∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE， ∵∠DAC＝90°，DP＝PC， ∴PA＝CD＝PC＝PD， ∴PA＝BE．∠C＝∠PAE， ∵∠CAP+∠BAO＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE， 故答案为：AP＝BE，PA⊥BE． （2）结论成立． 理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O． ∵PA＝PJ，PD＝PC，∠APD＝∠CPJ， ∴△APD≌△JPC（SAS）， ∴AD＝CJ，∠ADP＝∠JCP， ∴AD∥CJ， ∴∠DAC+∠ACJ＝180°， ∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠EAB+∠DAC＝180°， ∴∠EAB＝∠ACJ， ∵AB＝AC，AE＝AD＝CJ， ∴△EAB≌△JCA（SAS）， ∴BE＝AJ，∠CAJ＝∠ABE， ∵PA＝AJ， ∴PA＝BE， ∵∠CAJ+∠BAO＝90°， ∴∠ABE+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE． （3）∵△AED，△ABC都是等腰三角形，DE＝4，BC＝8， ∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝4 由（2）可知CJ＝AD＝2，∵AC＝4， ∴4﹣2≤AJ≤4+2， ∴2≤AJ≤6， ∵AJ＝2AP， ∴≤PA≤3． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，以及三角形的三边关系，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或3 （3） 【解析】 【分析】（1）将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）①由待定系数法得直线的解析式为，可求，，即可求解； ②分类讨论：当时， 当时，即可求解； （3）过作交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质可求得，待定系数法求出直线的解析式，联立一次函数与二次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当时， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②，， ， ， 轴， 轴， ， 当时，如图， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，（舍去）， ； 当时， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可求：， ， ， 解得：，（舍去）， 综上所述：或3； 【小问3详解】 解：过作交于，过作轴交于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立得， 解得：或（舍去） ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，等腰三角形是判定，全等三角形的判定及性质等，能构建全等三角形及根据直角不同进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$