专题04 一次函数的应用（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题04 一次函数的应用 题型一 分配方案问题 1．（23-24八年级上·河南新乡·期末）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)见解析 (3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）由已知条件可以得出两个方案的解析式； （2）根据函数关系式画出图形即可； （2）列出方程，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案． 【详解】（1） 解：方案一：， 方案二：． （2）解：如图． （3）解：由题意得：， 得，， 解得， 由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以； 当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一； 当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小李在某网店选中两款玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表： 类别价格 款 款 进货价（元个） 销售价（元个） (1)第一次小李用元购进了两款玩偶共个，求两款玩偶分别购进了多少个？ (2)第二次进货时，网店规定款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)款玩偶购进个，款玩偶购进； (2)按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元 【分析】（）设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润； 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意得：， 解之得：， ∴， 答：款玩偶购进个，款玩偶购进； （2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得， ∵款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半， ∴， ∴， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，取得最大值元， ∴款玩偶有， 答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 3．（23-24八年级上·河南济源·期末）某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如表所示： 黄瓜 茄子 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） (1)某天该蔬菜经营户花了元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克？ (2)如果该蔬菜经营户每天批发黄瓜千克，黄瓜和茄子全部售完共获得利润为元，请求出与之间的函数关系式． 【答案】(1)黄瓜批发了千克，则茄子批发了千克 (2)与之间的函数关系式为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设黄瓜批发了千克，则茄子批发了千克，根据题意列方程即可求解； （2）根据利润每千克的利润数量，分别求出黄瓜和茄子的利润，再相加即可． 【详解】（1）解：设黄瓜批发了千克，则茄子批发了千克， 根据题意得：， 解得：， 茄子批发：（千克）， 答：黄瓜批发了千克，则茄子批发了千克； （2）根据题意得：， 与之间的函数关系式为． 4．（23-24八年级上·河南焦作·期末）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价2万元．经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．学校想购进A，B两种健身器材共80套，若A型健身器材买x套，共花费y元． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)若A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，此时总费用最少为114.7万元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据题意先得出A型健身器材的购进价格为万元，再根据费用数量价格，列出函数关系式即可； （2）由（1）得总费用y与x的函数关系式为，再由A型健身器材的数量不超过53套，得，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，A型健身器材买x套，则B型健身器材的数量为套， B型健身器材的购进价格为万元，A型健身器材的购进价格为万元， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得总费用y与x的函数关系式为， ∴y随x的增大而减小，x最大时，y最小即总费用最少， ∵A型健身器材的数量不超过53套，即， ∴，y最小，总费用最少为万元，此时， ∴A型健身器材应购买53套，B型健身器材应购买27套， 答：学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，此时总费用最少为114.7万元． 5．（23-24八年级上·河南安阳·期末）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 【答案】(1)，图象见解析 (2)①该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损②当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出是解题关键． （1）利用，进而得出函数解析式即可，进而利用两点法画出直线即可； （2）①利用函数图象得出时，的取值范围即可；②将代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 如图所示：    （2）解：①当时能保证不亏损， ∴， 解之：； ∴该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损； ②当时，， 解之：， ∴ 当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 6．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． (1)该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） (2)在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 【答案】(1)购进A商品26件，购进B商品8件才能使超市经销这两种商品所获利润最大 (2)小明付款382.2元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用， （1）两个关系式为：利润＝A种商品的利润＋B种商品的利润，进而根据函数的特点及自变量的取值得到利润最大的购买方案； （2）易得小颖购买的商品没有打折，让总价钱除以商品的单价即为相应的件数，小华购买的商品打了8折，求得小华购买商品的原价，进而得到相应的数量，根据打折方案得到相应的价钱即可； 得到总利润的关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）设利润为W，B种商品购进x件， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵，且为整数，A种商品的件数也为整数， ∴时，利润最大，A种商品的件数为件， 答：A种商品26件，B种商品8件时，利润最大； （2）小颖购买A商品的件数为：（件）, ∵不是48的整倍数， ∴小华购买B商品的件数为（件）， 小明一次购买需付原价为：， ∴实际付款为：（元）． 7．（23-24八年级上·河南新密·期末）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【答案】(1)个月万元 (2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月 【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可． （2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得， 解得， 答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作． 费用为万元 （2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且， 解不等式，得， 得w随x的增大而增大，为确保费用最低， 故x去最小值，此时， 答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意． 题型二 最大利润问题 8．（23-24八年级上·河南新密·期末）某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)， (2)当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的；当（为整数）时，乙旅行社更优惠；当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 【分析】本题考查一次函数应用题的择优方案选取问题，解题的关键是求出两种方案的解析式分类讨论． （1）根据两家旅行社的活动列式即可得到答案； （2）令，，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ，； （2）解：①当时，， 解得：， 当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的； ②当时，， 解得：； 当（为整数）时，乙旅行社更优惠； ③当时，， 解得：， 当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 9．（23-24八年级上·河南信阳·期末）某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收2元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收元印制费，不收制版费． (1)分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (2)若公司需印制800份宣传材料，通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？ 【答案】(1) (2)公司需印制800份宣传材料，选择乙印刷厂比较合算 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意，可以直接写出两印刷厂的收费（元）与印制数量（份）之间的关系式； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的的值，然后比较大小，即可解答本题； 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：当时，， ， ， ∴若公司需印制800份宣传材料，选择乙印刷厂比较合算． 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 【答案】(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 11．（23-24八年级上·河南周口·期末）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：， 的函数表达式为． （3）选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则； 代入，则； ， 选乙商店比较合算． 12．（23-24八年级上·河南禹州·期末）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 题型三 行程问题 13．（23-24八年级上·河南郑州·期末）某种汽车的油箱最多可储20升汽油，油箱中的余油量（升）与汽车行驶路程（千米）之间的关系如图所示，则10升汽油可供汽车行驶 千米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用、根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为0时行驶的路程，此题得解． 【详解】解：设该一次函数解析式为， 将、代入中， ，解得：， 该一次函数解析式为． 当时， 解得： 故答案为：． 14．（23-24八年级上·河南开封·期末）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程与所用的时间之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．前，甲比乙的速度慢 B．经过，甲、乙都走了 C．甲、乙两名同学相距时， D．甲的平均速度为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．结合函数关系图逐项判断即可． 【详解】A．前分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙的速度慢， 故A选项正确，故不符合题意； B．经过分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了千米， 故B选项正确，故不符合题意； C．经过分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙少走了千米， 经过分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙多走了千米， 则甲、乙两名同学相距千米时，分钟或分钟，故C选项错误，故符合题意； D．甲分钟走了千米，则其平均速度为：， 故D选项正确，故不符合题意； 故选：C． 15．（23-24八年级上·河南周口·期末）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得：， ， 把代入， 得． 故答案为：3． 16．（23-24八年级上·河南太康·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t（小时）的所有可能的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确识图，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间． 【详解】设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 把（5，300）代入可得， 解得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把（1，0）和（4，300）代入可得， 解得， ∴， 令，可得， 解得：或， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达B城，， 综上，当甲、乙两车相距50千米时，或或或， 故答案为：或或或． 17．（23-24八年级上·河南焦作·期末）西银高铁于年月日正式开通运营，从“千年古都”到“塞上江南”，由原来的个小时变为小时，沿途风景如画，尽显西北风情．试运行期间，一列动车从西安开往银川，到达目的地后停留一段时间，以原速返回西安，设动车从西安出发，动车离西安的距离为，与的函数关系如图所示． (1)动车单趟行驶的时间为______小时，点坐标是______； (2)求动车往返西安时与之间的函数关系式； (3)求动车从西安出发小时后离西安的距离． 【答案】(1)， (2) (3)动车从西安出发小时后离西安千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，涉及了分段函数的知识，解题的关键是数形结合，求出每段函数的解析式． （1）根据题意及图象可知，动车单趟行驶的时间，根据“到达目的地后停留一段时间，以原速返回西安，”可求出点坐标； （2）分三段写出与之间的函数关系式：①当时，②当时，③当时，利用待定系数法求解即可； （3）结合（2）中所求出的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：动车单趟行驶时间为小时， 往返的行驶时间为：（小时）， 点坐标是， 故答案为：，； （2）①当时，与之间的函数关系式为，将点代入得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为：； ②当时，； ③当时，设与之间的函数关系式为，将，，代入得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 综上所述，； （3）将代入得：中得： ， 答：动车从西安出发小时后离西安千米． 18．（23-24八年级上·河南新郑·期末）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)折线表示赛跑过程中_________的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中________的路程与时间的关系．（填“乌龟”和“兔子”）赛跑的全程是_________米． (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ (3)兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算一算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】(1)兔子，乌龟， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），从函数的图象获取信息等知识点，能够读懂函数图象，获取正确信息是解题的关键．需要注意的是，解答图象信息题首先是读懂题目，分析图象，弄清楚每一个点所表示的实际意义，图象上的特殊点最为重要，是帮助理解题意，确定运动状态的重要信息． （1）通过观察图象即可直接得出答案； （2）先根据“速度路程时间”求出乌龟的速度；由图象可知，兔子睡觉时的路程为米，然后根据“时间路程速度”即可求出乌龟追上兔子所用的时间； （3）用兔子全程用时减去开始时跑的分钟和醒来后跑的分钟，即可得出答案． 【详解】（1）解：从图象可知： 折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系，赛跑的全程是米， 故答案为：兔子，乌龟，； （2）解：乌龟的速度是：（米分）， 乌龟追上兔子所用时间为：（分钟）， 答：乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； （3）解：兔子全程共用时：（分钟）， 其中，开始时跑了分钟，醒来后又跑了：（分钟）， 兔子中间停下睡觉共用时：（分钟）， 答：兔子中间停下睡觉用了分钟． 19．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 【答案】(1)，； (2) (3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． (4)或． 【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用： （1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的解析式为，代入，求出的值即可； （2）设的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （3）联立方程组，再解方程组求出方程组的解即可； （4）根据题意四种情况：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当不符合题意，舍去，从而可得答案． 【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是； 设的函数表达式为， 把代入函数表达式得：， 解得， ∴的函数表达式为； （2）解：由图象知，， 设的函数表达式为， 则， 解得， ∴的函数表达式为． （3）解：联立方程组， 解得， ∴点K的坐标为； ∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． （4）解：当时，小华离家， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当不符合题意，舍去， ∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或． 20．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）上游A地与下游B地相距，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离与航行时间之间的关系图象． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若一艘货船在A地下游处，货船与A地的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为，求游船在前往B地的航行途中与货船相遇的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，一次方程与方程组的应用，掌握待定系数法求函数表达式和速度、时间、路程之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解，用分段函数表示与的函数关系式即可； （2）分别将游船在静水中的速度和水流速度设为未知数，根据题意列方程组并求解，利用方程计算游船从地到地与货船相遇的时间即可． 【详解】（1）解：上游地与下游地相距， 当时，． ①当时，设， 当时，， ，解得， ； ②当时，设， 当时，；当时，， ，解得， ； 综上，． （2）解：设游船在静水中的速度为，水流速度为， 根据题意，得，解得， 游船在静水中的速度为，水流速度为． 设经过，货船与游船相遇，此时， 由题意得：，解得； 货船在前往地的航行途中与游船相遇的时间为． 题型四 一次函数与几何综合问题 21．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．其中正确的结论有 ．（写序号即可） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了函数的图象、一次函数的应用、平移的性质等知识点，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点P得到P所在的直线表达式，然后作出图象即可判定④． 【详解】解：根据函数图图象可得： ①当时，或，故①错误； ②、当时，y有最小值，故②正确； ③、将该函数图象向右平移1个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移3个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④、令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③． 故答案为：②③． 22．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； （2）解：当时， ， ； （3）解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 23．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 24．（23-24八年级上·河南济源·期末）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法． (1)尝试：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，若是的边上的高，求的长； (2)拓展：如图坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： 写出点和点的坐标； 点到轴的距离． 【答案】(1)； (2)，； 【分析】（）先求出，，然后利用等面积法即可求解； （）当时，；当时，即可求出点和点的坐标； 由等面积法求出，然后由勾股定理求出，最后利用等面积法即可求解； 本题考查了一次函数的性质，网格与勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由勾股定理知， 由网格可知， ∴， ∴， 解得； （2）解：由直线：得， 当时，；当时，， ∴，； 由，， ∴，， ∴， 由面积得， ∴， 在中，由勾股定理得， 设点到轴的距离为， ∴， ∴， 解得， ∴点到轴的距离为． 25．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则； 令则， （2）解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 题型五 其它问题 26．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，首先确定点，坐标，利用勾股定理解得的值，由折叠的性质可得，，，，即，进而可得，设，则，在中，利用勾股定理解得，易知，，利用面积法解得，即，将代入直线，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， 对于直线， 令，可得， 令，可得，解得， 即，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ，，，即， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴，， ∵，即， 解得，即， 将代入直线，可得， 解得， ∴． 故选：C． 27．（23-24八年级上·河南禹州·期末）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“坐标和距离”．若，为直线上任意一点，则，的“坐标和距离”的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，绝对值的意义，关键是明确、两点的“坐标和距离”的含义．由坐标和距离的定义得P，Q的“坐标和距离”为，由绝对值的意义求出最小值即可． 【详解】解：为直线上任意一点， 设， ， ，的“坐标和距离”为， 而表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为； 故答案为： 28．（23-24八年级上·河南商丘·期末）为筹备乒乓球比赛，学校决定购买一批新乒乓球拍和乒乓球用于队员训练，商场里某品牌球拍定价为120元/只，乒乓球定价5元/个．商场搞促销活动，有两种方案可供选择，A方案：买一只球拍，赠送4个球；B方案：球拍和球均按定价的9折优惠．如果学校计划购买球拍20只，购买乒乓球若干个（不低于球拍的4倍）． (1)设购买乒乓球数为（个），请分别写出两张方案付款金额、（元）与之间的函数关系式； (2)当购买多少个乒乓球时，费用最少？ 【答案】(1) (2)80个 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次方程的应用． （1）根据题意分别列出、（元）与之间的函数关系式即可； （2）由得，两种方案，总费用都随的增大而增大，故当时可得最少费用． 【详解】（1）解：根据题意可得：； ； （2）解：∵购买乒乓球若干个（不低于球拍的4倍）， ∴， 由（1）得，， ∴两种方案，总费用都随的增大而增大， ∴当时，方案费用最少为， 方案费用最少为． 即当购买80个乒乓球时，费用最少，最少费用元． 29．（23-24八年级上·河南安阳·期末）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从到内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量与时间之间的关系如图所示． (1)求线段的关系式； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入（1）中解析式，即可求解； （3）根据题意得出出水速度为，进而结合（2）可得第24分钟时的水量为：，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得线段经过点和点， 设的解析式为，代入和， ， 解得：， ∴线段的解析式为； （2）解：当时， （3）解：由图象可知，进水的速度为：， 出水的速度为：， ∵第开始只出水不进水，由（2）可得，第24分钟时的水量为： ∴ 30．（23-24八年级上·河南沈丘·期末）如图，反映了某公司产品的销售收入（元）与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本（元）与销售量的关系，根据图象回答下列问题： (1)写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ (2)写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ (3)该公司要想获利1000元，销售量要达到多少吨？ 【答案】(1)；每吨销售收入是元 (2)；每吨销售成本是元 (3)如果该公司要盈利1000元，销售量要达到6吨． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是正确理解和把握题目中隐含的数量关系，熟练掌握待定系数法求出函数解析式． （1）利用待定系数法求的函数关系式即可； （2）利用待定系数法求的函数关系式即可； （3）根据“盈利=销售收入-销售成本”列式计算即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象得：过点，则， 解得：， ∴； 表示的实际意义是：每吨销售收入是元； 故答案为：；每吨销售收入是元； （2）解：设， 由函数图象得：过点，，则， 解得：， ∴； 表示的实际意义是：每吨销售成本是元； 故答案为：；每吨销售成本是元； （3）解：由题意得：，即， 解得：， 答：如果该公司要盈利1000元，销售量要达到6吨． 31．（21-22八年级上·河南周口·期末）如图所示为1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都一样．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：cm）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由． (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，则此时碗的数量最大为多少个？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)碗的数量最多为11个 【分析】（1）考查了一次函数的实际应用，理解与之间的数量关系是解题的关键. （2）根据不超过31.2cm以及依据前问的与之间的函数解析式列出一元一次不等式进行求解即可. 【详解】（1）解： ． 理由：由表中的数据，的增量不变，y的增量也不变， ∴y是的一次函数．设， 由题意得，解得． ∴y与的函数解析式为． （2）设碗的数量有个， 由题意得． 解得． ∴的最大整数解为11． 答：碗的数量最多为11个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的应用 题型一 分配方案问题 1．（23-24八年级上·河南新乡·期末）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小李在某网店选中两款玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表： 类别价格 款 款 进货价（元个） 销售价（元个） (1)第一次小李用元购进了两款玩偶共个，求两款玩偶分别购进了多少个？ (2)第二次进货时，网店规定款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 3．（23-24八年级上·河南济源·期末）某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如表所示： 黄瓜 茄子 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） (1)某天该蔬菜经营户花了元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克？ (2)如果该蔬菜经营户每天批发黄瓜千克，黄瓜和茄子全部售完共获得利润为元，请求出与之间的函数关系式． 4．（23-24八年级上·河南焦作·期末）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价2万元．经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．学校想购进A，B两种健身器材共80套，若A型健身器材买x套，共花费y元． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)若A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 5．（23-24八年级上·河南安阳·期末）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 6．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． (1)该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） (2)在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 7．（23-24八年级上·河南新密·期末）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 题型二 最大利润问题 8．（23-24八年级上·河南新密·期末）某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 9．（23-24八年级上·河南信阳·期末）某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收2元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收元印制费，不收制版费． (1)分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (2)若公司需印制800份宣传材料，通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？ 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 11．（23-24八年级上·河南周口·期末）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 12．（23-24八年级上·河南禹州·期末）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 题型三 行程问题 13．（23-24八年级上·河南郑州·期末）某种汽车的油箱最多可储20升汽油，油箱中的余油量（升）与汽车行驶路程（千米）之间的关系如图所示，则10升汽油可供汽车行驶 千米． 14．（23-24八年级上·河南开封·期末）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程与所用的时间之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．前，甲比乙的速度慢 B．经过，甲、乙都走了 C．甲、乙两名同学相距时， D．甲的平均速度为 15．（23-24八年级上·河南周口·期末）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 16．（23-24八年级上·河南太康·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t（小时）的所有可能的值为 ． 17．（23-24八年级上·河南焦作·期末）西银高铁于年月日正式开通运营，从“千年古都”到“塞上江南”，由原来的个小时变为小时，沿途风景如画，尽显西北风情．试运行期间，一列动车从西安开往银川，到达目的地后停留一段时间，以原速返回西安，设动车从西安出发，动车离西安的距离为，与的函数关系如图所示． (1)动车单趟行驶的时间为______小时，点坐标是______； (2)求动车往返西安时与之间的函数关系式； (3)求动车从西安出发小时后离西安的距离． 18．（23-24八年级上·河南新郑·期末）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)折线表示赛跑过程中_________的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中________的路程与时间的关系．（填“乌龟”和“兔子”）赛跑的全程是_________米． (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ (3)兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算一算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 19．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 20．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）上游A地与下游B地相距，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离与航行时间之间的关系图象． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若一艘货船在A地下游处，货船与A地的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为，求游船在前往B地的航行途中与货船相遇的时间． 题型四 一次函数与几何综合问题 21．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．其中正确的结论有 ．（写序号即可） 22．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 23．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级上·河南济源·期末）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法． (1)尝试：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，若是的边上的高，求的长； (2)拓展：如图坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： 写出点和点的坐标； 点到轴的距离． 25．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 题型五 其它问题 26．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·河南禹州·期末）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“坐标和距离”．若，为直线上任意一点，则，的“坐标和距离”的最小值为 ． 28．（23-24八年级上·河南商丘·期末）为筹备乒乓球比赛，学校决定购买一批新乒乓球拍和乒乓球用于队员训练，商场里某品牌球拍定价为120元/只，乒乓球定价5元/个．商场搞促销活动，有两种方案可供选择，A方案：买一只球拍，赠送4个球；B方案：球拍和球均按定价的9折优惠．如果学校计划购买球拍20只，购买乒乓球若干个（不低于球拍的4倍）． (1)设购买乒乓球数为（个），请分别写出两张方案付款金额、（元）与之间的函数关系式； (2)当购买多少个乒乓球时，费用最少？ 29．（23-24八年级上·河南安阳·期末）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从到内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量与时间之间的关系如图所示． (1)求线段的关系式； (2)求的值； (3)求的值． 30．（23-24八年级上·河南沈丘·期末）如图，反映了某公司产品的销售收入（元）与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本（元）与销售量的关系，根据图象回答下列问题： (1)写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ (2)写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ (3)该公司要想获利1000元，销售量要达到多少吨？ 31．（21-22八年级上·河南周口·期末）如图所示为1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都一样．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：cm）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由． (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，则此时碗的数量最大为多少个？ 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