专题02 实数的运算（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 实数的运算 题型一 实数的分类与性质 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①0是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24八年级上·河南开封·期末）在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 4．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期末）已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 7．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）的相反数是 . 8．（23-24八年级上·河南济源·期末）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 9．（23-24八年级上·河南沈丘·期末）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 题型二 实数与数轴 10．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·河南信阳·期末）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级上·河南太康·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（22-23八年级上·河南安阳·期末）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 16．（22-23八年级上·河南商丘·期末）已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 题型三 实数的混合运算 17．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算； (1)； (2)． 18．（23-24八年级上·河南开封·期末）计算： (1) (2) (3) 19．（23-24八年级上·河南安阳·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（23-24八年级上·河南新乡·期末）计算 (1) (2) 21．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）计算： 题型四 程序设计与实数运算 22．（22-23八年级上·河南焦作·期末）有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 23．（22-23八年级上·河南新郑·期末）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 24．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 25．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，输入，则输出的值为 ． 26．（22-23八年级上·河南济源·期末）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 27．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为 ． 28．（22-23八年级上·河南南阳·期末）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 题型五 新定义下的实数运算 29．（21-22八年级上·河南周口·期末）若规定新运算，则（    ） A． B． C． D． 30．（20-21八年级上·河南安阳·期末）定义运算：，例如：，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 31．（22-23八年级上·河南安阳·期末）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 32．（20-21八年级上·河南新乡·期末）现规定一种新运算：a*b＝，如：16*2＝＝4，则25*2﹣125*3＝ ． 33．（22-23八年级上·河南周口·期末）对于任意四个实数a，b，c，d，可以组成两个实数对与．我们规定：．例如：．若，且，求的值． 34．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如果一个两位数a的个位数字和十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位是为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)___________． (2)若将一个“跟斗数”“b”的十位数字为k，个位数字为，且．求“跟斗数”b的值． (3)若m，n都是“跟斗数”，且，则___________． 35．（20-21八年级上·河南濮阳·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题． ________； 若，求的值； 如果有理数，满足等式，求的值． 题型六 与实数运算相关的规律题 36．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 37．（24-25八年级上·河南周口·期末）观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 38．（23-24八年级上·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 39．（21-22八年级上·河南新乡·期末）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式 　 　． (2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　． (3)利用（2）中结论计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数的运算 题型一 实数的分类与性质 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①0是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义及其关系，①根据实数的定义即可判定；②根据无理数的定义即可判定；③根据无理数、有理数的定义即可判定；④根据分数和无限小数的关系即可判定；⑤根据无理数的概念即可解答． 【详解】解：①没有最小的实数，故说法错误； ②无理数就是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，故说法错误； ③不带根号的数不一定是有理数，例π就不带根号但它是无理数，故说法错误； ④无限循环小数能化成分数，故说法错误； ⑤无限不循环小数是无理数，故说法正确． 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南开封·期末）在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答． 【详解】， 在，3.14，，，，，中 无理数有：，，，共3个， 故选择：C 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 4．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断即可． 本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选C． 5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，化简绝对值，根据进行求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期末）已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了实数的性质，根据题意确定出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且、为有理数， 得到； ； 故选：A． 7．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）的相反数是 . 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的认识，相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的相反数是， 故答案为： 8．（23-24八年级上·河南济源·期末）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 9．（23-24八年级上·河南沈丘·期末）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧． 【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、和正整数；负分数为小于的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：，， 整数集合：{①④…}； 负分数集合：{②⑥⑦…}； 无理数集合：{③⑤⑧…}； 题型二 实数与数轴 10．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数、勾股定理等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数即可． 【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为， ∴点A到原点的距离为个单位， ∵点A在原点的左侧， ∴点A所表示的数为：． 故选：A． 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系． 根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ， ∴点表示的数为：， 故选：A． 12．（22-23八年级上·河南信阳·期末）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 13．（22-23八年级上·河南太康·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的特点，由数轴可得，再逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：B． 14．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 15．（22-23八年级上·河南安阳·期末）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析； (3)． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数． 根据面积的公式可知：面积为的正方形的边长为，在数轴上构造直角边长为的等腰直角三角形，以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为， 把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是； 在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，这一点在点的左侧，根据两点的位置关系比较两数的大小． 【详解】（1）解：面积为的正方形的边长为， 点表示的数是， 如下图所示，在数轴上作直角边长为的等腰直角三角形， 以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆， 圆与数轴的交点表示的数即为， 故答案为：； （2）解：把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是， 在数轴上表示点如下图所示， 故答案为：； （3）解：如下图所示，在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形， 以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为， 这一点在点的左侧， ． 16．（22-23八年级上·河南商丘·期末）已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． （1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答； （2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，即可解答． 【详解】（1）解：，， 如图， （2）解：． 题型三 实数的混合运算 17．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算； (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根化简，求立方根的计算化简，再运用有理数的加减运算计算即可； （2）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24八年级上·河南开封·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，实数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据加减混合运算法则计算即可； （2）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再加减即可； （3）直接用含乘方的有理数的混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．（23-24八年级上·河南安阳·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减法即可； （2）将除法化为乘法计算即可； （3）根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先计算平方、算术平方根、立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（23-24八年级上·河南新乡·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）去绝对值符号，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘方，算术平方根与立方根，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解题关键是正确理解绝对值的非负性是解答问题的关键． 先去绝对值和计算立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 题型四 程序设计与实数运算 22．（22-23八年级上·河南焦作·期末）有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，是整数，不是无理数； 当时，是整数，不是无理数； 当时，是无理数， ∴输出的的值为， 故选：B． 23．（22-23八年级上·河南新郑·期末）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 24．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：的算术平方根是8，是有理数， 取的立方根为，是有理数， 取的算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是． 故选：B． 25．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，输入，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规则输入，逐步运算即可． 【详解】解：输入，可得， ∴， 再输入得：， ∴此时输出， 故答案为：． 26．（22-23八年级上·河南济源·期末）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 27．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先求出，然后计算的算术平方根，再用2减去的算术平方根，求出输出的数值即可． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为：． 28．（22-23八年级上·河南南阳·期末）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 题型五 新定义下的实数运算 29．（21-22八年级上·河南周口·期末）若规定新运算，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：． 故选：D． 30．（20-21八年级上·河南安阳·期末）定义运算：，例如：，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】理解新定义的运算规则，对求解计算即可． 【详解】解：∵，根据定义 ∴ 故选A． 31．（22-23八年级上·河南安阳·期末）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】 ． 故选B． 32．（20-21八年级上·河南新乡·期末）现规定一种新运算：a*b＝，如：16*2＝＝4，则25*2﹣125*3＝ ． 【答案】0 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】25*2﹣125*3 ＝﹣ ＝5﹣5 ＝0． 故答案为：0． 33．（22-23八年级上·河南周口·期末）对于任意四个实数a，b，c，d，可以组成两个实数对与．我们规定：．例如：．若，且，求的值． 【答案】8 【分析】先表示运算结果，再利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 34．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如果一个两位数a的个位数字和十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位是为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)___________． (2)若将一个“跟斗数”“b”的十位数字为k，个位数字为，且．求“跟斗数”b的值． (3)若m，n都是“跟斗数”，且，则___________． 【答案】(1)7 (2)26 (3)19 【分析】（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出的值； （2）根据题意，可以得到关于k的方程，从而可以求得k的值，然后即可得到b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：由题意得：原数，新数， ∴ 解得：， 所以． （3）解：∵m，n都是“跟斗数”，且，设，则， ∴ ． 故答案为：19． 35．（20-21八年级上·河南濮阳·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题． ________； 若，求的值； 如果有理数，满足等式，求的值． 【答案】；；-9 【分析】（1）根据新定义的运算直接计算即可； （2）根据新定义的运算得出方程，求解即可； （3）利用题中的新定义化简得：，整理得，由此求解即可． 【详解】解：（1）依据题意得：原式； （2）根据题意化简得：， 移项、合并同类项得： 解得：； （3）已知等式，利用题中的新定义化简得：， 整理得， 则 ． 题型六 与实数运算相关的规律题 36．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和． 【详解】由题意规律可得：． ∵ ∴， ∵， ∴． ． ． …… ∴． 故． 令 ②-①，得 ∴= 故答案为：． 37．（24-25八年级上·河南周口·期末）观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见详解 【分析】该题考察了平方差公式的应用和实数运算规律以及整式混合运算的知识. （1）观察发现，每个奇数都可以表示为相邻两个整数的平方差，且较大的数为较小的数加1．奇数可以表示为：，则2025可以表示为． （2）根据观察到的规律，可知，然后验证即可． （3）相邻两个奇数的平方差可以表示为，利用平方差公式展开后得到 ．由于n为正整数，因此一定是8的倍数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 方程右边为： ， 方程左边为：， ∴方程左边等于方程右边， ∴等式成立． （3）解：设两个相邻的奇数分别为：和， 相邻两个奇数的平方差可以表示为， ∴ ， ∴n为正整数， ∴一定是8的倍数． 38．（23-24八年级上·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第④个等式为； （2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可． 【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 39．（21-22八年级上·河南新乡·期末）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式 　 　． (2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　． (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)＝7 (2)n+1 (3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据得出的结论可知，利用规律即可得． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$